Лицей №1329 из 4 в 5 класс 2023 год вариант 1-1

Школа № 1329

2023

1. Найдите значение выражения:
   
   \[ 2021 \cdot 131 + 176 \cdot 2021 - 18 \cdot 307 \]
   
   Все вычисления должны быть записаны в чистовике.
   
   
2. Решите уравнение:
   
   \[ 1329 - 5544 : (39 + x) \cdot 9 = 438 \]
   
   
3. Винни Пуху подарили горшочек с медом. Он съел 257 г меда из горшочка. Когда Винни Пух съест еще 115 г, то в горшочке останется четверть всего меда. Сколько граммов меда было в горшочке первоначально?
   
   
4. Маня и Ваня клеили обои. Им не хватило обоев на стенку высотой 2 м и шириной 3 м. Ее они решили обклеить листами из папиного конспекта по математике. Сколько листов им придется использовать, если длина листа 3 дм, а ширина 25 см?
   
   
5. Надя начала читать очень интересную книгу во вторник. Каждый день она читала на 4 страницы больше, чем в предыдущий. Оказалось, что в воскресенье она прочитала в 5 раз больше, чем во вторник. Сколько страниц прочитала Надя в четверг? (все действия задачки происходят в течение одной недели)
   
   
6. На прямой дороге находятся три деревни в таком порядке — Школьная, Лесная, Закатная. Денис выехал на велосипеде из деревни Школьная в деревню Лесная со скоростью 15 км/ч. Через 4 часа, когда Денис проехал половину расстояния между деревнями Школьная и Лесная, по тому же маршруту выехал Глеб со скоростью 20 км/ч. В деревне Лесная Денис сделал привал на 30 минут и поехал дальше. Когда Глеб доехал до деревни Лесная, Денис доехал до деревни Закатная. Определите расстояние между деревнями Школьная и Закатная.
   
   
7. Три товарища Петя, Игорь и Никита приняли участие в поедании конфет. Каждый из них ел с постоянной скоростью и одинаково долго. Известно, что у Пети за каждые 3 секунды съедал на 2 конфеты больше Игоря, а Игорь за каждые 6 секунд — на 3 конфеты меньше Никиты. Кто съел больше, Петя или Никита и на сколько?
   
   
8. Проиграв спор 30 цветочницам, один поэт должен был купить у каждой по 2 букета и, чтобы расплатиться, должен был отдать 55 цветков (пока цветы не закончились). При этом цветочницы не согласны были брать деньги и просили цветы одного или двух сортов. Под каким количеством цветов поэт мог купить букеты по 2 цветка?
   
   
9. У Коли задумано число. При делении его на 53, получилось неполное частное 54 и остаток 10. При делении на 51, получилось неполное частное 54 и какой-то остаток, и этот остаток на 70-ой строке равный нулю. Найдите это число.

Решения задач

1. Найдите значение выражения:
   
   \[ 2021 \cdot 131 + 176 \cdot 2021 - 18 \cdot 307 \]
   
   Решение:
   $2021 \cdot 131 + 176 \cdot 2021 - 18 \cdot 307 = 2021(131 + 176) - 18 \cdot 307 = 2021 \cdot 307 - 18 \cdot 307 = 307 \cdot (2021 - 18) = 307 \cdot 2003 = 307 \cdot (2000 + 3) = 614000 + 921 = 614921$
   Ответ: 614921.
2. Решите уравнение:
   
   \[ 1329 - 5544 : (39 + x) \cdot 9 = 438 \] Решение:
   $1329 - \frac{5544 \cdot 9}{39 + x} = 438$
   $\frac{5544 \cdot 9}{39 + x} = 1329 - 438 = 891$
   $\frac{5544}{39 + x} = \frac{891}{9} = 99$
   $39 + x = \frac{5544}{99} = 56$
   $x = 56 - 39 = 17$
   Ответ: 17.
3. Винни Пуху подарили горшочек с медом. Он съел 257 г меда из горшочка. Когда Винни Пух съест еще 115 г, то в горшочке останется четверть всего меда. Сколько граммов меда было в горшочке первоначально?
   Решение:
   Пусть всего было $x$ г меда. Тогда остаток после двух съедений:
   $x - (257 + 115) = \frac{1}{4}x$
   $x - 372 = 0,25x$
   $0,75x = 372$
   $x = \frac{372}{0,75} = 496$
   Ответ: 496 г.
4. Маня и Ваня клеили обои. Им не хватило обоев на стенку высотой 2 м и шириной 3 м. Ее они решили обклеить листами из папиного конспекта по математике. Сколько листов им придется использовать, если длина листа 3 дм, а ширина 25 см?
   Решение:
   Площадь стены: $2 \, \text{м} \times 3 \, \text{м} = 6 \, \text{м}^2 = 600 \, \text{дм}^2$
   Площадь листа: $3 \, \text{дм} \times 2,5 \, \text{дм} = 7,5 \, \text{дм}^2$
   Количество листов: $\frac{600}{7,5} = 80$
   Ответ: 80.
5. Надя начала читать очень интересную книгу во вторник. Каждый день она читала на 4 страницы больше, чем в предыдущий. Оказалось, что в воскресенье она прочитала в 5 раз больше, чем во вторник. Сколько страниц прочитала Надя в четверг?
   Решение:
   Пусть во вторник прочитано $x$ страниц. Тогда:
   Воскресенье: $x + 4 \cdot 5 = x + 20$
   Условие: $x + 20 = 5x$
   $4x = 20 \implies x = 5$
   В четверг: $x + 8 = 5 + 8 = 13$
   Ответ: 13.
6. На прямой дороге находятся три деревни в таком порядке — Школьная, Лесная, Закатная. Денис выехал на велосипеде из деревни Школьная в деревню Лесная со скоростью 15 км/ч. Через 4 часа, когда Денис проехал половину расстояния между деревнями Школьная и Лесная, по тому же маршруту выехал Глеб со скоростью 20 км/ч. В деревне Лесная Денис сделал привал на 30 минут и поехал дальше. Когда Глеб доехал до деревни Лесная, Денис доехал до деревни Закатная. Определите расстояние между деревнями Школьная и Закатная.
   Решение:
   Расстояние Школьная-Лесная: $15 \cdot 4 \cdot 2 = 120$ км.
   Время движения Глеба до Лесной: $\frac{120}{20} = 6$ ч.
   Общее время с момента старта Дениса: $4 + 6 = 10$ ч.
   Время движения Дениса после Лесной: $10 - (8 + 0,5) = 1,5$ ч.
   Расстояние Лесная-Закатная: $15 \cdot 1,5 = 22,5$ км.
   Общее расстояние: $120 + 22,5 = 142,5$ км.
   Ответ: 142,5 км.
7. Три товарища Петя, Игорь и Никита приняли участие в поедании конфет. Каждый из них ел с постоянной скоростью и одинаково долго. Известно, что у Пети за каждые 3 секунды съедал на 2 конфеты больше Игоря, а Игорь за каждые 6 секунд — на 3 конфеты меньше Никиты. Кто съел больше, Петя или Никита и на сколько?
   Решение:
   Скорость Игоря $V$, тогда Петя за 3 сек съедает $3V + 2$ конфет.
   Скорость Пети: $V + \frac{2}{3}$ конф/сек.
   Скорость Никиты: $V + 0,5$ конф/сек.
   Разница скоростей: $V + \frac{2}{3} - (V + 0,5) = \frac{1}{6}$ конф/сек.
   За общее время $t$: $\frac{1}{6}t$ конфет.
   Так как все ели одинаковое время $t$, ответ: $\boxed{\text{Петя съел на } \frac{t}{6} \text{ конфет больше}}$. (В зависимости от интерпретации, уточните время.) Ответ: Петя съел больше Никиты на 1 конфету. (Предполагая время, кратное 6 секунд)
8. Проиграв спор 30 цветочницам, один поэт должен был купить у каждой по 2 букета и, чтобы расплатиться, должен был отдать 55 цветков (пока цветы не закончились). При этом цветочницы не согласны были брать деньги и просили цветы одного или двух сортов. Под каким количеством цветов поэт мог купить букеты по 2 цветка?
   Решение:
   Поэту надо 30 цветочниц × 2 букета × 2 цветка = 120 цветков. Но у него 55. Возможно, задача содержит ошибку. Если подразумевается, что 55 цветков являются делителем для 120, то возможные варианты: НОД(55,120)=5. Ответ: поэт мог иметь 55 цветков при N=5 или 11 (делители 55).
   Ответ: \boxed{11} (возможный вариант).
9. У Коли задумано число. При делении его на 53, получилось неполное частное 54 и остаток 10. При делении на 51, получилось неполное частное 54 и какой-то остаток, и этот остаток на 70-ой строке равный нулю. Найдите это число.
   Решение:
   Число $N = 53 \cdot 54 + 10 = 2862 + 10 = 2872$
   Проверка деления на 51: $2872 = 51 \cdot 56 + 16$ (остаток 16)
   Примечание: условие про 70-ую строку требует уточнения.
   Ответ: 2872.