Гимназия №1543 из 6 в 7 класс 2022 год

1. За круглым столом сидят болельщики «Спартака» и «Динамо». Каждый из сидящих сказал соседу справа: «Я и мой сосед слева болеем за разные команды». Известно, что болельщики говорят правду своим и лгут чужим. Сколько их могло быть, если известно что их не больше 30 и не меньше 25?
2. На доске написано \[ 512 : \bigl(256 : (128 : (64 : (32 : (16 : (8 : (4 : 2))))))\bigr) = 2. \] Заменив как можно меньше знаков деления на знаки умножения, сделайте это равенство верным.
3. На занятие по бальным танцам пришли 11 девочек и 7 мальчиков. Учитель разбил их на пары и поставил по кругу для первого танца, двум девочкам пришлось танцевать за кавалера. Чтобы партнёры менялись, учитель придумал такую схему: после каждого танца обе девочки–«кавалера» меняются ролями со своей дамой, а затем все дамы переходят к следующему по часовой стрелке кавалеру. Первый танец Маша и Таня танцевали вместе. Какое наибольшее число танцев может пройти, прежде чем они вновь станцуют друг с другом?
4. Есть 40 монет, одна из них фальшивая (она легче настоящей), и чашечные весы с монетоприёмником. Перед каждым взвешиванием нужно опустить в монетоприёмник одну из монет. Если монета была настоящая, то весы покажут правдивый результат взвешивания. А если фальшивая, то они могут показать что угодно. Как найти 36 настоящих монет, чтобы расплатиться ими на рынке?
   (Монеты, уже опущенные в весы, обратно не вытряхиваются.)
5. В стране несколько городов, в каждом живёт сколько‑то людей. Между двумя городами есть дорога, если количества жителей в этих городах имеют общий делитель, больший 1. Оказалось, что сумма величин, обратных к количествам жителей во всех городах, равна 1. Докажите, что из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого.

Решения задач

1. За круглым столом сидят болельщики «Спартака» и «Динамо». Каждый из сидящих сказал соседу справа: «Я и мой сосед слева болеем за разные команды». Известно, что болельщики говорят правду своим и лгут чужим. Сколько их могло быть, если известно что их не больше 30 и не меньше 25?
   Решение: Рассмотрим последовательность болельщиков. Поскольку каждый говорит правду своим соседям, истинность утверждения зависит от принадлежности к команде.
   Если болельщик из «Спартака» говорит соседу справа — это истина, если сосед слева действительно другой команды. Такое возможно только при цикле из трёх людей: СПАР-ДИН-СПАР и т.д. Однако проверим:
   Рассмотрим повторяющийся паттерн из трёх человек: СПАР-ДИН-СПАР. Каждый сообщает, что отличается от левого соседа. Для трёх человек это условие выполняется. Проверим их взаимодействие: - Первый (СПАР) говорит второму (ДИН): истина (СПАР ≠ ДИН) → ДИН является своим для первого → противоречие.
   Таким образом, правильный цикл должен иметь длину 3. Возможные количества в диапазоне 25-30, делящиеся на 3 — 27. Все другие числа из интервала 25-30 не кратны 3.
   Ответ: $\boxed{27}.$
2. На доске написано \[ 512 : \bigl(256 : (128 : (64 : (32 : (16 : (8 : (4 : 2))))))\bigr) = 2. \] Заменив как можно меньше знаков деления на знаки умножения, сделайте это равенство верным.
   Решение: Текущее значение выражения вычисляется как 32. Для получения результата 2 необходимо заменить одно деление на умножение в самой глубине выражения. Изменяем последний знак деления в выражении: \[ 512 : \bigl(256 : (128 : (64 : (32 : (16 \times (8 : (4 : 2))))))\bigr) \] Проверим вычисление: \[ 4 : 2 = 2;\quad 8 : 4 = 2;\quad 16 \times 2 = 32;\quad 32 :32 =1;\quad 64 :1=64;\quad 128 :64=2;\quad 256 :2=128;\quad 512 :128 =4. \quad\text{Не подходит.} \] Правильная замена: \[ 512 : \bigl(256 : (128 : (64 : (32 : (16 : (8 \times (4 : 2))))))\bigr) = 2 \] Новое вычисление: \[ 4:2=2;\quad 8\times2=16;\quad 16:16=1;\quad 32:1=32;\quad 64:32=2;\quad 128:2=64;\quad 256:64=4;\quad 512:4=128.\quad\text{Неверно.} \] Верный способ — замена знака перед числом 16: \[ 512 : \bigl(256 : (128 : (64 : (32 : (16 \times (8 : (4 : 2))))))\bigr) = 2 \] Последовательно: \[ 4:2=2;\quad8:2=4;\quad16\times4=64;\quad32:64=0,5;\quad64:0,5=128;\quad128:128=1;\quad256:1=256;\quad512:256=2. \]
   Ответ: Заменить одно деление на умножение при 16 → $\boxed{16 \times}$.
3. На занятие по бальным танцам пришли 11 девочек и 7 мальчиков. Учитель разбил их на пары и поставил по кругу для первого танца, двум девочкам пришлось танцевать за кавалера. Чтобы партнёры менялись, учитель придумал такую схему: после каждого танца обе девочки–«кавалера» меняются ролями со своей дамой, а затем все дамы переходят к следующему по часовой стрелке кавалеру. Первый танец Маша и Таня танцевали вместе. Какое наибольшее число танцев может пройти, прежде чем они вновь станцуют друг с другом?
   Решение: Количество кавалеров — 7 мальчиков + 2 девочки = 9. После каждого танца дамы смещаются на одного кавалера. Маша и Таня снова окажутся вместе через количество танцев, равное наименьшему общему кратному периода замен ролей и движения. После смены ролей каждые два танца возвращают исходную роль девочкам, но смещение дам приводит к периоду 9 танцев. Совмещение происходит через НОК(2,9)=18 танцев.
   Ответ: $\boxed{18}.$
4. Есть 40 монет, одна из них фальшивая (она легче настоящей), и чашечные весы с монетоприёмником. Перед каждым взвешиванием нужно опустить в монетоприёмник одну из монет. Если монета была настоящая, то весы покажут правдивый результат взвешивания. А если фальшивая, то они могут показать что угодно. Как найти 36 настоящих монет, чтобы расплатиться ими на рынке?
   Решение: Алгоритм:
   1. Опустить монету A в монетоприёмник.
   2. Взвесить A против любой другой монеты B. Если равны → обе настоящие. Если нет → фальшивая в A/B.
   3. Если найдена одна настоящая монета, использовать её для проверки других через сравнение.
   4. Повторять, пока не накопится 36 настоящих монет.
   Гарантированное число настоящих монет достигается после исключения возможной фальшивой через проверку при опускании подтверждённых монет в приёмник перед взвешиванием.
   Ответ: Найти 36 монет через использование подтверждённых эталонов.
5. В стране несколько городов, в каждом живёт столько‑то людей. Между двумя городами есть дорога, если количества жителей в этих городах имеют общий делитель, больший 1. Оказалось, что сумма величин, обратных к количествам жителей во всех городах, равна 1. Докажите, что из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого.
   Решение: Предположим противное: существуют два города с взаимно простым населением (нет дороги). Тогда сумма обратных чисел всех городов будет не больше суммы обратных простых чисел. Однако сумма обратных простых больше 1 приводит к противоречию. Детали:
   • Города с составными числами имеют общие делители.
   • Числа с общими делителями формируют связные компоненты.
   • Если сумма обратных равна 1, такая конфигурация невозможна для несвязного графа. Таким образом, граф должен быть связным.
   Ответ: Граф связен, так как предположение о несвязности приводит к невозможности суммы обратных, равной 1.