Гимназия №1543 из 6 в 7 класс 2021 год

1. Вычислите: \[ \biggl(\,-\tfrac{7}{18} + \tfrac{5}{12}\cdot(-0,4)\biggr) : \tfrac{1,47:1,4-1,5}{4:6} + \tfrac{1}{30}. \]
2. Решите уравнение:
   1. \( \dfrac{7x - 2}{111} = \dfrac{8x + 5}{37}; \)
   2. \( \tfrac{2}{3}(1,5a + 0,6) - 0,8\Bigl(\tfrac{5}{12}a - 0,5\Bigr) = 1. \)
3. На карте Кроша, выполненной в масштабе \(1:1500\), тропинка между домиками Лосяша и Бараша имеет длину \(6\) см. Какой длины будет эта тропинка на карте Ёжика, масштаб которой \(1:5000\)?
4. В парке к дню города сажали деревья: берёзы, рябины и липы. Утром посадили \(\tfrac{5}{12}\) всех деревьев, в полдень — \(35\%\) всех деревьев, а вечером — последние \(49\) деревьев. Сколько деревьев каждого вида было посажено, если их количества относятся как \(3:2:5\)?
5. Сушеные яблоки содержат \(20\%\) воды. Сколько воды надо выпарить из \(32\) кг свежих яблок, содержащих \(75\%\) воды, чтобы получить сушеные?
6. На доске написано трёхзначное число. Сумма его цифр равна двузначному числу, которое получится, если у написанного числа стереть первую цифру. Какое наибольшее возможное число могло быть написано на доске? (Напишите ответ и объясните, почему большего числа быть не могло.)

Решения задач

1. Вычислите: \[ \biggl(\,-\tfrac{7}{18} + \tfrac{5}{12}\cdot(-0,4)\biggr) : \tfrac{1,47:1,4-1,5}{4:6} + \tfrac{1}{30}.\]
   Решение:
   Разберем выражение по частям:
   • Числитель левой дроби:
     \(\tfrac{5}{12} \cdot (-0,4) = \tfrac{5}{12} \cdot (-\tfrac{2}{5}) = -\tfrac{1}{6}\)
     \(-\tfrac{7}{18} + (-\tfrac{1}{6}) = -\tfrac{7}{18} - \tfrac{3}{18} = -\tfrac{10}{18} = -\tfrac{5}{9}\)
   • Знаменатель левой дроби:
     \(1,47 : 1,4 = \tfrac{147}{100} : \tfrac{14}{10} = \tfrac{147}{100} \cdot \tfrac{10}{14} = \tfrac{21}{20} = 1,05\)
     \(1,05 - 1,5 = -0,45\)
     \(\tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}\)
     \(-0,45 : \tfrac{2}{3} = -0,45 \cdot \tfrac{3}{2} = -0,675 = -\tfrac{27}{40}\)
   • Левую дробь:
     \(-\tfrac{5}{9} : (-\tfrac{27}{40}) = \tfrac{5}{9} \cdot \tfrac{40}{27} = \tfrac{200}{243}\)
   • Добавляем \(\tfrac{1}{30}\):
     \(\tfrac{200}{243} + \tfrac{1}{30} = \tfrac{2000}{2430} + \tfrac{81}{2430} = \tfrac{2081}{2430}\)
   
   Ответ: \(\tfrac{2081}{2430}\).
2. Решите уравнение:
   1. \( \dfrac{7x - 2}{111} = \dfrac{8x + 5}{37} \)
      Решение:
      Умножим обе стороны на 111:
      \(7x - 2 = 3(8x + 5)\)
      \(7x - 2 = 24x + 15\)
      \(-17x = 17\)
      \(x = -1\)
      Ответ: \(-1\).
   2. \( \tfrac{2}{3}(1,5a + 0,6) - 0,8\Bigl(\tfrac{5}{12}a - 0,5\Bigr) = 1 \)
      Решение:
      Переведем десятичные дроби в обыкновенные:
      \(\tfrac{2}{3}(\tfrac{3}{2}a + \tfrac{3}{5}) - \tfrac{4}{5}(\tfrac{5}{12}a - \tfrac{1}{2}) = 1\)
      Упростим слагаемые:
      \(\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{2}a + \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{5} - \tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{5}{12}a + \tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{1}{2} = 1\)
      \( a + \tfrac{2}{5} - \tfrac{1}{3}a + \tfrac{2}{5} = 1\)
      \(\tfrac{2}{3}a + \tfrac{4}{5} = 1\)
      \(\tfrac{2}{3}a = \tfrac{1}{5}\)
      \(a = \tfrac{3}{10} = 0,3\)
      Ответ: \(0,3\).
3. На карте Кроша тропинка имеет длину \(6\) см (масштаб \(1:1500\)). Реальная длина:
   \(6 \cdot 1500 = 9000\) см \(=90\) м.
   На карте Ёжика (масштаб \(1:5000\)):
   \(\tfrac{9000}{5000} = 1,8\) см.
   Ответ: \(1,8\) см.
4. Пусть всего деревьев \(x\):
   Утром: \(\tfrac{5}{12}x\), В полдень: \(0,35x\), Вечером: \(49\) деревьев.
   Уравнение: $$\begin{aligned} \tfrac{5}{12}x + \tfrac{7}{20}x + 49 &= x \\ \tfrac{25x}{60} + \tfrac{21x}{60} + 49 &= x \\ \tfrac{46x}{60} + 49 &= x \\ 49 &= \tfrac{14x}{60} \\ x &= 210 \end{aligned}$$ Отношения видов: \(3:2:5\) (сумма \(10\) частей).
   Березы: \(\tfrac{3}{10} \cdot 210 = 63\), Рябины: \(42\), Липы: \(105\).
   Ответ: \(63\) берёзы, \(42\) рябины, \(105\) лип.
5. В свежих яблоках вода \(75% \rightarrow 24\) кг. Сухое вещество: \(8\) кг.
   В сушеных яблоках сухое вещество составляет \(80\%\):
   \(\tfrac{8}{0,8} =10\) кг — масса после сушки.
   Испарилось воды: \(24 - (10 - 8) =22\) кг.
   Ответ: \(22\) кг.
6. Пусть трёхзначное число \(\overline{ABC}\), где \(A,B,C\) — цифры.
   Условие: \(A + B + C = \overline{BC}\).
   Тогда \(A = 9B\), так как \(A + B + C = 10B + C \Rightarrow A =9B\).
   Максимальное \(B=1\) (так как \(A \leqslant9\)), тогда \(A=9\).
   Для \(\overline{BC}\): \(9 +1 + C =10 + C \Rightarrow BC =10 + C\), что выполнимо при любом \(C\) от \(0\) до \(9\).
   Наибольшее число при \(C=9\): \(919\).
   Ответ: \(919\).