Гимназия №1543 из 6 в 7 класс 2015 год

Итоговая административная работа за курс 6 класса, 2015 год.

Найдите значение выражения $\frac{\frac{2}{9} \cdot 1,4-0,1: 0,025}{3,65-2,75 \cdot 2 \frac{1}{3}}$.

Решите уравнение: а) $\frac{2}{3 x-1,5}=\frac{3}{7} ;$ б) $2,4(2+0,3 x)-(0,7 x-1)=0$.

В первый день туристы прошли 12 км, во второй - 0, 4 оставшегося пути и еще 2 км, а в третий - последние $\mathbf{1 6}$ км. Какая часть пути пройдена во второй день?

Общая площадь всех квартир на каждом этаже 18-Этажного дома-1000 м², а их общая стоимость - $\mathbf{4 4 7 5}$ млн рублей. Найдите стоимость квадратного метра жилья на первом этаже, если она на $10 \%$ ниже, чем на остальных этажах.

Зарплаты выросла втрое, а цены - на $300 \%$. На сколько процентов меньше прежнего можно купить теперь на зарплату?

* Что больше: $\frac{2}{20152015}$ или $\frac{1}{20152014}+\frac{1}{20152016} ?$

Решения задач

1. Найдите значение выражения $\frac{\frac{2}{9} \cdot 1,4-0,1: 0,025}{3,65-2,75 \cdot 2 \frac{1}{3}}$.
   Решение:
   Числитель: $\frac{2}{9} \cdot 1,4 = \frac{2}{9} \cdot \frac{14}{10} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45}$,
   $0,1 : 0,025 = \frac{1}{10} \cdot \frac{1000}{25} = 4$,
   $\frac{14}{45} - 4 = -\frac{166}{45}$
   Знаменатель: $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$,
   $2,75 \cdot \frac{7}{3} = \frac{11}{4} \cdot \frac{7}{3} = \frac{77}{12}$,
   $3,65 - \frac{77}{12} = \frac{73}{20} - \frac{77}{12} = -\frac{166}{60}$
   $\frac{-\frac{166}{45}}{-\frac{166}{60}} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} \approx 1,333$
   Ответ: $\frac{4}{3}$ или $1\frac{1}{3}$.
2. Решите уравнение:
   1. а) $\frac{2}{3 x-1,5}=\frac{3}{7}$
      Решение:
      $\frac{2}{3x - 1,5} = \frac{3}{7}$
      2 $\cdot$ 7 = 3 $\cdot$ (3x - 1,5)
      14 = 9x - 4,5
      9x = 18,5
      $x = \frac{18,5}{9} = \frac{37}{18} \approx 2,055$
      Ответ: $\frac{37}{18}$ или $2\frac{1}{18}$.
   2. б) $2,4(2+0,3 x)-(0,7 x-1)=0$
      Решение:
      4,8 + 0,72x - 0,7x + 1 = 0
      5,8 + 0,02x = 0
      0,02x = -5,8
      $x = \frac{-5,8}{0,02} = -290$
      Ответ: $-290$.
3. В первый день туристы прошли 12 км, во второй — 0,4 оставшегося пути и еще 2 км, а в третий — последние 16 км. Какая часть пути пройдена во второй день?
   Решение:
   Пусть весь путь $S$. После первого дня осталось $S - 12$.
   Во второй день прошли $0,4(S - 12) + 2$, а в третий — $16$ км.
   Уравнение: $12 + 0,4(S - 12) + 2 + 16 = S$
   $0,4S + 25,2 = S$ $\Rightarrow$ $0,6S = 25,2$ $\Rightarrow$ $S = 42$ км.
   Во второй день прошли: $0,4(42 - 12) + 2 =14$ км.
   Часть пути: $\frac{14}{42} = \frac{1}{3}$.
   Ответ: $\frac{1}{3}$.
4. Общая площадь всех квартир на каждом этаже 18-этажного дома — 1000 м², а их общая стоимость — 4475 млн рублей. Найдите стоимость квадратного метра жилья на первом этаже, если она на $10 \%$ ниже, чем на остальных этажах.
   Решение:
   Пусть цена за м² на этажах 2-18 — $x$, тогда на первом — $0,9x$.
   Стоимость: $17 \cdot 1000x + 1000 \cdot 0,9x = 4475000000$
   $17900x = 4475000000$ $\Rightarrow$ $x = 250000$ руб.
   Цена на первом этаже: $0,9 \cdot 250000 = 225000$ руб.
   Ответ: 225000 руб.
5. Зарплата выросла втрое, а цены — на $300 \%$. На сколько процентов меньше прежнего можно купить теперь на зарплату?
   Решение:
   Исходная покупка: $\frac{S}{P}$, новая покупка: $\frac{3S}{4P}$
   Разница: $\frac{S}{P} - \frac{3S}{4P} = \frac{S}{4P}$
   Уменьшение на $25 \%$.
   Ответ: на $25 \%$.
6. * Что больше: $\frac{2}{20152015}$ или $\frac{1}{20152014}+\frac{1}{20152016} ?$
   Решение:
   Пусть $a = 20152015$. Сравним $\frac{2}{a}$ и $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{a+1}$.
   $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{a+1} = \frac{2a}{a^2 - 1}$
   $\frac{2a}{a^2 - 1} > \frac{2}{a}$, так как $a^2 > a^2 -1$, дробь $\frac{2a}{a^2 -1}$ больше $\frac{2}{a}$.
   Ответ: $\frac{1}{20152014} + \frac{1}{20152016}$ больше.