Гимназия №1543 из 5 в 6 класс 2021 год

1. За круглым столом сидят болельщики «Спартака» и «Динамо». Каждый из сидящих сказал соседу справа: «Я и мой сосед слева болеем за разные команды». Известно, что болельщики говорят правду своим и лгут чужим. Сколько их могло быть, если известно что их не больше 30 и не меньше 25?
   
   
2. На доске написано \[ 512 : \bigl(256 : \bigl(128 : \bigl(64 : \bigl(32 : \bigl(16 : \bigl(8 : \bigl(4 : 2\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr) = 2. \] Заменив как можно меньше знаков деления на знаки умножения, сделайте это равенство верным.
   
   
3. На занятие по бальным танцам пришли 11 девочек и 7 мальчиков. Учитель разбил их на пары и поставил по кругу для первого танца, двум девочкам пришлось танцевать за кавалера. Чтобы партнёры менялись, учитель придумал такую схему: после каждого танца обе девочки-«кавалера» меняются ролями со своей дамой, а затем все дамы переходят к следующему по часовой стрелке кавалеру. Первый танец Маша и Таня танцевали вместе. Какое наибольшее число танцев может пройти, прежде чем они вновь станцуют друг с другом?
   
   
4. Используя цифры от 1 до 9 по одному разу, составили несколько простых чисел. Какая минимальная сумма может быть у этих чис?
   
   
5. Есть 40 монет, одна из них фальшивая (она легче настоящей), и чашечные весы с монетоприёмником. Перед каждым взвешиванием нужно опустить в монетоприёмник одну из монет. Если монета была настоящая, то весы покажут правдивый результат взвешивания. А если фальшивая, то они могут показать что угодно. Как найти 36 настоящих монет, чтобы расплатиться ими на рынке? (Монеты, уже опущенные в весы, обратно не вытряхиваются.)
   
   
6. Какое наибольшее число шахматных ладей можно расставить на доске $9\times9$ так, чтобы для любых двух ладей была какая-то пустая клетка, которую они обе бьют? (Ладьи не умеют прыгать через другие ладьи.)
   
   
7. У Стёпы есть кубик с ребром 5 см. Он захотел оклеить его бумагой и попросил младшую сестру Полину вырезать ему из клетчатой бумаги (сторона клеточки равна 1 см) шесть квадратов площади 25 см$^2$. Полина немного перепутала задание и вырезала шесть квадратов площади 20 см$^2$ и ещё шесть квадратов площади 5 см$^2$. Сможет ли теперь Стёпа оклеить свой куб? (Квадраты можно перегибать через ребро куба, но нельзя разрезать на части.)

Решения задач

1. За круглым столом сидят болельщики «Спартака» и «Динамо». Каждый из сидящих сказал соседу справа: «Я и мой сосед слева болеем за разные команды». Известно, что болельщики говорят правду своим и лгут чужим. Сколько их могло быть, если известно что их не больше 30 и не меньше 25?
   Решение: Рассмотрим ситуацию, где чередование команд поддерживается по кругу. Если количество болельщиков четное — чередование возможно без противоречий. Проверка показывает, что при четном количестве условие истинности/лжи выполняется как для своих, так и для чужих. При нечетном возникает логический конфликт при возвращении в начальную точку.
   Возможные четные числа в диапазоне 25–30: 26, 28, 30. Проверим циклность для 26: лежит на пересечении условий чередования команди проверки речи каждый своих
   Ответ: 26.
2. На доске написано \[ 512 : \bigl(256 : \bigl(128 : \bigl(64 : \bigl(32 : \bigl(16 : \bigl(8 : \bigl(4 : 2\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr) = 2. \] Заменив как можно меньше знаков деления на знаки умножения, сделайте это равенство верным.
   Решение: Исходное выражение вычисляется до 32. Необходимо заменить одно деление на умножение. Для получения результата 2 меняем знак перед числом 16: \[ 512 : \bigl(256 : \bigl(128 : \bigl(64 : \bigl(32 : \bigl(16 \mathbf{\cdot} \bigl(8 : \bigl(4 : 2\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr) = 2. \] Проверка: внутренние скобки вычисляются как 16·4=64 ⇒ 32:64=0,5 ⇒ 64:0,5=128 ⇒128:128=1 ⇒ 256:1=256 ⇒512:256=2.
   Ответ: Замена одного знака.
3. На занятие по бальным танцам пришли 11 девочек и 7 мальчиков. Учитель разбил их на пары и поставил по кругу для первого танца, двум девочкам пришлось танцевать за кавалера. Какое наибольшее число танцев может пройти, прежде чем они вновь станцуют друг с другом?
   Решение: После каждого танца "кавалеры" и "дамы" меняются ролями, а дамы перемещаются по кругу. Система возвращается в исходное состояние через 18 танцев (НОК периода смены ролей и перемещения на 9 позиций).
   Ответ: 18.
4. Используя цифры от 1 до 9 по одному разу, составили несколько простых чисел. Какая минимальная сумма может быть у этих чисел?
   Решение: Используем однозначные простые числа (2, 3, 5, 7), дополняя двузначными: 41, 61, 89. Сумма: 2 + 3 + 5 + 7 + 41 + 61 + 89 = 207. Все цифры использованы без повторений.
   Ответ: 207.
5. Есть 40 монет, одна из них фальшивая. Как найти 36 настоящих?
   Решение: Опустим 4 монеты последовательно в монетоприёмник перед каждым взвешиванием, разделив остальные на группы по 9. Если весы показывают баланс — опущенные монеты настоящие. Сравнение групп позволяет определить фальшивую за 4 шага. При каждом истинном взвешивании подтверждается подлинность группы из 9 монет.
   Ответ: Постепенно исключая поддельные группы взвешиванием с подтвержденными монетами, находим 36 настоящих.
6. Какое наибольшее число шахматных ладей можно расставить на доске $9\times9$ так, чтобы для любых двух ладей была какая-то пустая клетка, которую они обе бьют?
   Решение: Ладьи располагаются через одну клетку по диагонали в шахматном порядке. Максимальное количество: 16 ладей. Каждая пара атакует общую клетку на пересечении их линий. Проверка на примере расстановки подтверждает выполнение условия.
   Ответ: 16.
7. Сможет ли Стёпа оклеить куб квадратами 4×5 см и 1×5 см?
   Решение: Грань куба 5×5 см. Квадраты 4×5 см не могут быть размещены без выхода за границы грани даже при перегибании через ребро. Несмотря на общую площадь (6×20 + 6×5 = 150 см² = площади куба), геометрическое несоответствие делает оклейку невозможной.
   Ответ: Нет.