ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2016 год вариант ФМШ 2016-II-10-2
СкачатьПечать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2016 год
Вариант ФМШ 2016-II-10-2
- Решите уравнение:
\[
x^2 + y^2 + 2x - 6y + 9 = 0.
\]
- На координатной плоскости изобразите множество точек $(x,y)$, координаты которых удовлетворяют неравенству:
\[
y - \lvert y - 1 \rvert > \lvert y - 1 \rvert \, x.
\]
- Дан треугольник~$AB_1B_2$. На прямой $B_1B_2$ отмечена точка~$B_3$ так, что
\[
\lvert B_2B_3\rvert = \lvert B_1B_2\rvert + 1.
\]
Затем на этой же прямой отмечены точки $B_4$, $B_5$ и т.д.\, такие, что
\[
\lvert B_{k}B_{k+1}\rvert = \lvert B_{k-1}B_{k}\rvert + 1,
\quad k = 3,4,\dots.
\]
Найдите сумму площадей треугольников
\[
AB_2B_3,\;AB_4B_5,\;AB_6B_7,\;AB_8B_9,\;\dots,\;AB_{98}B_{99},
\]
если известны площади треугольников $AB_1B_2$ и $AB_{99}B_{100}$. Единственное ли решение имеет данная задача? Ответ обосновать.
- Чайка $A$ взлетает с Земли с постоянной скоростью под углом к горизонту к вершине столба. Чайка $B$, находящаяся у подножия того же столба, взлетает с Земли одновременно с ней под тем же углом к горизонту и по направлению к траектории движения чайки $A$ с постоянной скоростью, в\,3 раза меньшей скорости чайки~$A$. Найдите синусы углов, под которыми взлетели чайки $A$ и $B$, если птицы столкнулись под прямым углом. Может ли чайка~$B$ взлетать под другим углом, чтобы произошло столкновение? Если да, сколько существует таких углов?
- Что такое вписанная окружность? Чему может быть равно отношение площади фигуры, в которую вписана окружность, к площади самой окружности? Ответ обосновать.
- Решите уравнение:
\[
\sqrt[3]{(37 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(x - 37)^2} - 5\sqrt[3]{37^2 - x^2} = 0.
\]
- Сколько существует различных значений параметра $a$, при которых уравнение \[ \frac{(a x^2 + (a x)^2 + a^2 x)\cdot\bigl(\tfrac{x^2}{a} + (\tfrac{x}{a})^2 + \tfrac{x}{a^2}\bigr)\cdot a}{x} = \bigl(20 + \tfrac{a}{x}\bigr)\,x^2 \] имеет целочисленное решение? (На основе задачи Даниила Ермохина, 8 класс, г. Кимовск, Тульская обл.)
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
x^2 + y^2 + 2x - 6y + 9 = 0.
\]
Решение: Выделим полные квадраты для переменных \(x\) и \(y\): \[ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 1 + 9 - 9. \] \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 1. \] Уравнение описывает окружность с центром в точке \((-1; 3)\) и радиусом \(1\).
Ответ: \((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 1\).
- На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), удовлетворяющих неравенству:
\[
y - \lvert y - 1 \rvert > \lvert y - 1 \rvert \, x.
\]
Решение: Разберем два случая:- Если \(y \geq 1\), то \(\lvert y - 1\rvert = y - 1\): \[ y - (y - 1) > (y - 1)x \quad \Rightarrow \quad 1 > (y - 1)x. \] Для \(y = 1\): \(1 > 0 \cdot x \Rightarrow\) все \(x\) допустимы. Для \(y > 1\): \(x < \frac{1}{y - 1}\).
- Если \(y (1 - y)x \quad \Rightarrow \quad 2y - 1 > (1 - y)x. \] Перепишем: \[ x < \frac{2y - 1}{1 - y}. \]
- Прямую \(y = 1\) (все \(x\)).
- Область слева от гиперболы \(x = \frac{1}{y - 1}\) при \(y > 1\).
- Область слева от кривой \(x = \frac{2y - 1}{1 - y}\) при \(y < 1\).
- Дан треугольник \(AB_1B_2\). На прямой \(B_1B_2\) отмечены точки \(B_3\), \(B_4\), ..., \(B_{100}\) так, что \(|B_kB_{k+1}| = |B_{k-1}B_k| + 1\). Найдите сумму площадей треугольников \(AB_2B_3\), \(AB_4B_5\), ..., \(AB_{98}B_{99}\), если известны площади треугольников \(AB_1B_2\) и \(AB_{99}B_{100}\).
Решение:- Длины отрезков \(B_kB_{k+1}\) образуют арифметическую прогрессию с разностью \(1\).
- Площади треугольников пропорциональны длинам оснований, так как высота \(h\) из точки \(A\) постоянна.
- Искомая сумма площадей — сумма арифметической прогрессии из 49 членов.
- Используя известные площади \(S_1\) (площадь \(AB_1B_2\)) и \(S_{99}\) (площадь \(AB_{99}B_{100}\)), найдем: \[ \text{Сумма} = \frac{49}{2} \cdot (S_1 + S_{99}). \]
- Чайки \(A\) и \(B\) взлетают под углом \(\alpha\) с скоростями \(v\) и \(\frac{v}{3}\) соответственно. Найдите \(\sin\alpha\), если столкновение произошло под прямым углом.
Решение:- Пусть время столкновения \(t\). Координаты чаек: \[ x_A = vt\cos\alpha, \quad y_A = vt\sin\alpha - \frac{gt^2}{2}, \] \[ x_B = \frac{v}{3}t\cos\beta,\quad y_B = \frac{v}{3}t\sin\beta - \frac{gt^2}{2}. \]
- Условие встречи: \[ vt\cos\alpha = \frac{v}{3}t\cos\beta, \quad vt\sin\alpha - \frac{gt^2}{2} = \frac{v}{3}t\sin\beta - \frac{gt^2}{2}. \] Отсюда \(\cos\beta = 3\cos\alpha\), \(\sin\beta = 3\sin\alpha\).
- Связь углов через перпендикулярность скоростей: \[ v\cos\alpha \cdot \frac{v}{3}\cos\beta + \left(v\sin\alpha - gt\right)\left(\frac{v}{3}\sin\beta - gt\right) = 0. \] Подставляя \(\cos\beta\) и \(\sin\beta\), получим: \[ v^2\cos^2\alpha + \left(v\sin\alpha - gt\right)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}. \]
- Отношение площади фигуры к площади вписанной окружности может быть любым числом больше \(\pi\), так как площадь фигуры ограничена снизу площадью окружности (\(\pi r^2\)), а верхнего предела нет.
Ответ: Отношение может быть любым числом \(\geq \pi\).
- Решите уравнение:
\[
\sqrt[3]{(37 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(x - 37)^2} - 5\sqrt[3]{37^2 - x^2} = 0.
\]
Решение:- Обозначим \(a = \sqrt[3]{37 + x}\), \(b = \sqrt[3]{37 - x}\).
- Уравнение принимает вид: \[ a^2 + 4b^2 -5ab = 0 \quad \Rightarrow \quad (a - b)(a - 4b) = 0. \]
- Решаем уравнения: \[ \sqrt[3]{37 + x} = \sqrt[3]{37 - x} \quad \Rightarrow \quad x = 0, \] \[ \sqrt[3]{37 + x} = 4\sqrt[3]{37 - x} \quad \Rightarrow \quad (37 + x) = 64(37 - x) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{63 \cdot 37}{65}. \]
- Найдите количество значений \(a\), при которых уравнение:
\[
\frac{(a x^2 + (a x)^2 + a^2 x)\cdot\bigl(\tfrac{x^2}{a} + (\tfrac{x}{a})^2 + \tfrac{x}{a^2}\bigr)\cdot a}{x} = \bigl(20 + \tfrac{a}{x}\bigr)\,x^2
\]
имеет целочисленное решение.
Решение:- Упростим уравнение: \[ a(ax^2 + a^2x^2 + a^2x) \cdot \left(\frac{x^2}{a} + \frac{x}{a^2} + \frac{x^2}{a}\right) = \left(20 + \frac{a}{x}\right)x^2. \] После преобразований получим: \[ (a^2 + 1)^2 x^2 = 20x^2 + a. \]
- Пусть \(x^2 = k\), тогда: \[ (a^2 + 1)^2 k = 20k + a. \] Для целых \(k\) и \(a\) подходят \(a = 0\), \(2\), \(-2\).
Материалы школы Юайти