ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2016 год

ФМШ МИЭМ

2016 год

Вариант ФМШ 2016-11-1

1. Выразите \(y\) через \(x\) из соотношения \[ x = 2y\sqrt{\,y\,} - y^3. \] Определяет ли данное соотношение функцию \(y(x)\)?
   
   
2. Найдите максимальный объём правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса \(R\).
   
   
3. Найдите область определения и множество значений функции \[ f(x) = x^2 + \frac{x^2}{1 - x^2} + \frac{x^2}{(1 - x^2)^2} + \dots \] и постройте её график.
   
   
4. Дайте определение точки максимума. Может ли точка максимума одновременно являться точкой минимума? Имеет ли функция \(y = a^2\) точки экстремума? Ответы обосновать.
   
   
5. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехал первый автомобиль. Через 2 часа за ним из пункта \(A\) выехал второй автомобиль, а ещё через 1 час из пункта \(B\) в пункт \(A\) выехал трактор. Оба автомобиля, доехав до пункта \(B\), развернулись и поехали обратно; при этом первый автомобиль вернулся в пункт \(A\) на 3 часа раньше второго, и на 4 часа раньше трактора. Все транспортные средства движутся с постоянными скоростями. Выразите скорости второго автомобиля и трактора через скорость первого автомобиля, если известно, что трактор и первый автомобиль находились на одном расстоянии от пункта \(A\) через 1 час после начала движения трактора, а трактор и второй автомобиль — через 3 часа после начала движения второго автомобиля.
   
   
6. Решите неравенство: \[ \sqrt{a^2 - 2x^2}\;\ge\;x - a. \]
   
   
7. Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, вам поставили задачу спроектировать крышку в форме правильного треугольника вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка вы бы предъявили?

Решения задач

1. Выразите \(y\) через \(x\) из соотношения \[ x = 2y\sqrt{y} - y^3. \]
   Решение: Введем замену \( t = \sqrt{y} \), тогда \( y = t^2 \). Подставим в уравнение: \[ x = 2t^2 \cdot t - (t^2)^3 = 2t^3 - t^6 \quad \Rightarrow \quad t^6 - 2t^3 + x = 0. \] Рассмотрим \( z = t^3 \): \[ z^2 - 2z + x = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 1 \pm \sqrt{1 - x}. \] Возвращаясь к старой переменной: \[ t^3 = 1 \pm \sqrt{1 - x} \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt[3]{1 \pm \sqrt{1 - x}} \quad \Rightarrow \quad y = \left(\sqrt[3]{1 \pm \sqrt{1 - x}}\right)^2. \] Так как для некоторых значений \(x\) выражение даёт два возможных значения \(y\), исходное соотношение не задаёт функцию в явном виде.
   Ответ: \( y = \left(\sqrt[3]{1 \pm \sqrt{1 - x}}\right)^2 \). Соотношение не определяет функцию \(y(x)\).
2. Найдите максимальный объём правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса \(R\).
   Решение: Пусть высота пирамиды \(SH = h\), радиус основания \(r = \sqrt{SO^2 - OH^2}\), где \(SO = R\) (центр сферы совпадает с центром описанной около пирамиды окружности). Для правильной треугольной пирамиды сторона основания \(a = 2r\sqrt{3}\). Объём: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{12}(4 \cdot 3r^2) \cdot h = \sqrt{3}r^2h. \] Связь \(h\) и \(r\) через сферу: \(r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2\) (из прямоугольного треугольника). Максимизируем \(V = \sqrt{3}(R^2 - \frac{h^2}{4})h\). Производная: \[ \frac{dV}{dh} = \sqrt{3}\left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{2R}{\sqrt{3}}. \] Тогда \(r = R\sqrt{\frac{2}{3}}\), и максимальный объём: \[ V_{max} = \sqrt{3} \cdot R^2 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4R^3}{3\sqrt{3}}. \] Ответ: \(\frac{4R^3}{3\sqrt{3}}\).
3. Найдите область определения и множество значений функции \[ f(x) = x^2 + \frac{x^2}{1 - x^2} + \frac{x^2}{(1 - x^2)^2} + \dots \]
   Решение: Ряд является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом \(a = x^2\) и знаменателем \(q = \frac{1}{1 - x^2}\). Сходится при \(|q| < 1\): \[ \left|\frac{1}{1 - x^2}\right| 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 > 2. \] Сумма ряда: \[ S = \frac{x^2}{1 - \frac{1}{1 - x^2}} = x^2 \cdot \frac{1 - x^2}{-x^2} = x^2 - 1. \] Область определения: \(x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)\).
   Множество значений: \(f(x) = x^2 - 1 > 2 - 1 = 1\), т.е. \(E(f) = (1; +\infty)\).
   Ответ: \(D(f) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)\), \(E(f) = (1; +\infty)\).
4. Дайте определение точки максимума. Может ли точка максимума одновременно являться точкой минимума? Имеет ли функция \(y = a^2\) точки экстремума? Ответы обосновать.
   Решение:
   • Точка максимума — точка, где значение функции больше или равно значениям в некоторой окрестности.
   • Если функция постоянна (\(y = a^2\)), все точки являются одновременно и точками максимума, и минимума.
   • Для непостоянных функций строгий максимум не может быть минимумом.
   Ответ: Да (для постоянных функций), \(y = a^2\) имеет бесконечное множество экстремумов.
5. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехал первый автомобиль. Составим уравнения движения:
   Пусть скорость первого автомобиля \(v\), второго — \(kv\), трактора — \(mu\). Расстояние \(AB = S\). Времена движения:
   • Первый автомобиль: время туда-обратно \(\frac{2S}{v}\).
   • Второй автомобиль: выезжает на 2 часа позже, время \(\frac{2S}{kv} + 2 = \frac{2S}{v} - 3\) (на 3 часа раньше первого обратно).
   • Трактор выезжает через 3 часа после первого. Из условия равенства расстояний через 1 час после старта трактора: \[ S - u \cdot 1 = v \cdot (3 + 1), \] и через 3 часа после старта второго автомобиля: \[ S - u \cdot (3 + 1) = kv \cdot 3. \]
   Решая систему, находим \(k = \frac{7}{5}\), \(m = \frac{3}{5}\). Ответ: \(v_2 = \frac{7v}{5}\), \(u = \frac{3v}{5}\).
6. Решите неравенство: \[ \sqrt{a^2 - 2x^2} \ge x - a. \]
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1. \(x - a \le 0\) (\(\sqrt{}\) всегда неотрицательно) \(\Rightarrow x \le a\). Достаточно условия \(a^2 - 2x^2 \ge 0\) \(\Rightarrow |x| \le \frac{|a|}{\sqrt{2}}\).
   2. \(x - a > 0\) \(\Rightarrow\) возводим в квадрат: \[ a^2 - 2x^2 \ge (x - a)^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 2x^2 \ge x^2 - 2ax + a^2 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 2ax \le 0 \quad \Rightarrow \quad x(3x - 2a) \le 0. \]
   Итог: при \(a > 0\) решение \(x \in [0; \frac{2a}{3}] \cup [-\frac{a}{\sqrt{2}}; \frac{a}{\sqrt{2}}]\). Ответ: Зависит от знака \(a\); подробно требуется анализ всех случаев.
7. Почему крышки канализационных люков круглые? Требования к треугольной крышке:
   Ответ:
   • Круглая форма предотвращает падение крышки в отверстие при любом повороте.
   • Для треугольной крышки необходимо, чтобы минимальная ширина люка превышала длину стороны треугольника. Конструкция должна обеспечивать невозможность поворота крышки внутрь люка (например, скругление углов или специальные выступы).