ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-11-1
СкачатьПечать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2018 год
Вариант ФМШ2018-11-1
- Решите уравнение:
\[
\sin\bigl(\pi - \sin\bigl(\pi - \sin\bigl(\pi - \sin(\dots(x))\bigr)\bigr)\bigr) = 0
\]
- Как известно, в евклидовой геометрии есть пересекающиеся и непересекающиеся прямые. Рассмотрим другую геометрию, в которой любые две прямые пересекаются. Предложите вариант изображения прямых в такой геометрии. Какие свойства геометрических объектов в новой геометрии могут сохраняться, а какие обязательно изменяться? Ответы обоснуйте.
- Два велосипедиста поехали по одной дороге из города \(N\). Первый из них ехал с ускорением \(-2\) км/ч\(^2\) до тех пор, пока его скорость не уменьшилась до 12 км/ч, и после этого ехал с ускорением \(4\) км/ч\(^2\), пока его скорость не увеличилась до 20 км/ч, потом снова с ускорением \(-2\) км/ч\(^2\), пока его скорость не уменьшилась до 12 км/ч, и т.д., а второй, выехавший на 1 час позже первого, каждый чётный час пути ехал с ускорением \(4\) км/ч\(^2\), а каждый нечётный — с ускорением \(-2\) км/ч\(^2\). Через какое время после своего старта второй велосипедист догнал первого, если начальные скорости обоих велосипедистов равны 20 км/ч?
- На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему условию:
\[
x - y \le x^2 y^2 \le x + y
\]
- В равносторонний треугольник вписан прямоугольник таким образом, что одна из его сторон лежит на основании треугольника. Какое максимальное значение может принимать площадь данного прямоугольника, если сторона исходного треугольника равна \(a\)?
- Решите неравенство:
\[
10^{-|\ln|x||} < 2^{|\lg -x|}
\]
- При каких натуральных значениях \(k\) и попарно различных действительных значениях \(a\), \(b\) и \(c\) решение неравенства \[ \frac{(x - a)^k\,(x - b)^{\,k-1}}{(x - c)^{\,k+1}} \le 0 \] является интервалом (полуинтервалом)?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
\sin\bigl(\pi - \sin\bigl(\pi - \sin\bigl(\pi - \sin(\dots(x))\bigr)\bigr)\bigr) = 0
\]
Решение: Заметим, что $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. Рекуррентная формула преобразуется к виду $\sin(\sin(\sin(...x...))) = 0$. Синус равен нулю только при аргументах вида $k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Однако область значений синуса $[-1,1]$ содержит только $k=0$. Следовательно, уравнение имеет единственное решение $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.
- Рассмотрим геометрию на сфере, где "прямыми" являются большие круги. Любые два больших круга пересекаются в двух точках. Сохраняются: инцидентность точек и прямых, возможность проведения прямой через две точки. Изменяются: аксиома параллельности, сумма углов треугольника больше $180^\circ$, расстояние между точками ограничено.
Ответ: Пример — сферическая геометрия. Сохраняется пересечение прямых, изменяются метрические свойства.
- Решение: Рассмотрим движение первого велосипедиста. Цикл изменения скорости: $20 \xrightarrow{-2} 12 \xrightarrow{4} 20$ (время цикла: $\frac{20-12}{2} + \frac{20-12}{4} = 6$ ч). За первый час второй велосипедист ($a=-2$) пройдет путь $S_1 = 20 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^2}{2} = 19$ км. Пусть через $t$ часов после старта второго произойдет встреча. Уравнение пути:
\[
\int_0^{t+1} v_1(\tau)d\tau = \int_0^t v_2(\tau)d\tau
\]
После анализа циклов получаем $t = 3$ часа.
Ответ: 3 часа.
- Преобразуем неравенства:
\[
\begin{cases}
x^2y^2 \ge x - y \\
x^2y^2 \le x + y
\end{cases}
\]
При $x,y > 0$: $x^2y^2 \ge x - y$ выполняется всегда (правая часть может быть отрицательной). Основное ограничение: $x^2y^2 \le x + y$. Аналогично анализируя все квадранты, получаем объединение областей:
- В первом квадранте: между ветвями гиперболы $y = \frac{1}{x^2} - x$
- В третьем квадранте: симметричная область
Ответ: График включает симметричные области в первом и третьем квадрантах между соответствующими кривыми.
- Пусть высота прямоугольника $y$, тогда его основание $x = a - \frac{2y}{\sqrt{3}}$ из подобия треугольников. Площадь:
\[
S(y) = y\left(a - \frac{2y}{\sqrt{3}}\right)
\]
Максимум при $y = \frac{a\sqrt{3}}{4}$, $S_{max} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$.
- Учитывая $x < 0$ (из $\lg(-x)$), преобразуем:
\[
10^{-|\ln|x||} = |x|^{-1}, \quad 2^{|\lg|x||} = |x|^{\log_2 10}
\]
Неравенство $|x|^{-1} 1 \Rightarrow |x| > 1
\]
С учетом $x < 0$: $x \in (-\infty; -1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.
- Анализ знаков выражения показывает, что интервал решения возможен при $k$ четном. При $k=2$: корни числителя $a$, $b$ (кратности 2 и 1), знаменатель $(x-c)^3$. При $a < c < b$ решение $(c; b]$ — полуинтервал. Условие выполняется при $k=2$, $a$, $b$, $c$ попарно различны.
Ответ: $k=2$.
Материалы школы Юайти