Физмат лицей Коми 2012 год из 6 в 7 вариант 2

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ

2012 год

Вариант 2

1. Вычислите: $4,58-\left(1,295+1,936: 3 \frac{1}{5}\right) \cdot 1 \frac{16}{19}+3 \frac{5}{51}:\left(4 \frac{5}{34}-3 \frac{19}{51}\right)$
2. Упростите выражение: $0,42 \mathrm{a}: 75-0,073 \mathrm{~m}^{2} \cdot 3+(17 \text { дм }-113 \mathrm{~cm})^{2}$
3. К числу 26 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные варианты.
4. По шоссе в одном направлении едут мотоциклист и автобус. Скорость автобуса 80 км/ч. Когда мотоциклист подъехал к мосту, автобус еще не доехал до моста 4км 800м, а через 12 минут автобус догнал мотоциклиста. С какой скоростью ехал мотоциклист?
5. Решите уравнение: a) $\left(x^{2}+9\right)(|x|+4)(2|x|-5)=0$ б) $|2 \cdot| x+3|-10|=12$
6. Какими натуральными числами необходимо заменить $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ так, чтобы корнем уравнения $(x-a)+(18-b)=34$ было число $21 ?$ Укажите все возможные решения. Ответ поясните.
7. Найдите сумму квадратов всех значений $\boldsymbol{a}$, при которых разность $47,4-|\boldsymbol{a}|$ представляет собой число, $\frac{2}{3}$ от которого на $60 \%$ превышают четверть от $64 .$
8. Стены комнаты с высотой потолков 2,5м, шириной 4м, длиной $5 \mathrm{~m}$, одной дверью размерами $1,9 \mathrm{~m}$ на $1,4 \mathrm{~m}$ и одним окном $1,6 \mathrm{~m}$ на 1,6 м решили оклеить новыми обоями без рисунка. Ширина рулона $51 \mathrm{~cm}$, длина 10,5м. Какое наименьшее количество рулонов нужно купить для ремонта этой комнаты?
9. В классе 28 человек. Каждая девочка дружит с четырьмя мальчиками, а каждый мальчик с тремя девочками. Кого в классе больше: девочек или мальчиков и на сколько?
10. Вычислить: $122 \cdot\left(\frac{15-\frac{15}{11}-\frac{15}{224}-\frac{15}{56}}{5-\frac{5}{11}-\frac{5}{224}-\frac{5}{56}}: \frac{7+\frac{7}{16}+\frac{7}{256}+\frac{7}{80}}{3+\frac{3}{16}+\frac{3}{256}+\frac{3}{80}}\right) \cdot \frac{707707707}{549549549}$

Решения задач

1. Вычислите: $4,58-\left(1,295+1,936: 3 \frac{1}{5}\right) \cdot 1 \frac{16}{19}+3 \frac{5}{51}:\left(4 \frac{5}{34}-3 \frac{19}{51}\right)$
   
   Решение:
   
   1. Переведем смешанные дроби в неправильные:
   $3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$; $1 \frac{16}{19} = \frac{35}{19}$;
   $4 \frac{5}{34} = \frac{141}{34}$; $3 \frac{19}{51} = \frac{172}{51}$.
   
   2. Выполним деление:
   $1,936 : 3 \frac{1}{5} = 1,936 : 3,2 = 0,605$.
   
   3. Вычислим сумму в скобках:
   $1,295 + 0,605 = 1,9$.
   
   4. Умножим результат на $\frac{35}{19}$:
   $1,9 \cdot \frac{35}{19} = 3,5$.
   
   5. Вычтем полученное из $4,58$:
   $4,58 - 3,5 = 1,08$.
   
   6. Рассчитаем разность в делителе справа:
   $\frac{141}{34} - \frac{172}{51} = \frac{423 - 344}{102} = \frac{79}{102}$.
   
   7. Поделим $3 \frac{5}{51} (\frac{158}{51})$ на $\frac{79}{102}$:
   $\frac{158}{51} : \frac{79}{102} = \frac{158}{51} \cdot \frac{102}{79} = 4$.
   
   8. Сложим промежуточные результаты:
   $1,08 + 4 = 5,08$.
   
   Ответ: 5,08.
   
   
2. Упростите выражение: $0,42 \mathrm{a}: 75-0,073 \mathrm{~m}^{2} \cdot 3+(17 \text{ дм }-113 \mathrm{~cm})^{2}$
   
   Решение:
   
   1. Приведем все к единым единицам измерения:
   $17 \text{ дм} = 170 \text{ см}$; $170 \text{ см} - 113 \text{ см} = 57 \text{ см}$.
   
   2. Вычислим квадрат разности:
   $(57 \text{ см})^2 = 3249 \text{ см}^2 = 32,49 \text{ м}^2$ ($1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$).
   
   3. Упростим коэффициенты:
   $0,42a : 75 = 0,0056a$; $0,073m^2 \cdot 3 = 0,219m^2$.
   
   4. Запишем итоговое выражение:
   $0,0056a - 0,219m^2 + 32,49$.
   
   Ответ: $0,0056a - 0,219m^2 + 32,49$.
   
   
3. К числу 26 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные варианты.
   
   Решение:
   
   Условия делимости на 36: 1. Делимость на 4: последние две цифры должны образовывать число, кратное 4. 2. Делимость на 9: сумма цифр должна быть кратна 9.
   
   Пусть новое число имеет вид $\overline{A26B}$. 1. Последние две цифры $\overline{6B}$ должны делиться на 4. Возможные B: 0 (60), 4 (64), 8 (68). 2. Сумма цифр: $A + 2 + 6 + B = A + B + 8$ должна делиться на 9.
   
   Перебор вариантов: - При $B=0$: $A + 8$ кратно 9 ⇒ $A=1$. - При $B=4$: $A + 12$ кратно 9 ⇒ $A=6$. - При $B=8$: $A + 16$ кратно 9 ⇒ $A=2$.
   
   Полученные числа: 12600, 6264, 2268 (вычитание дробности не требуется, целые числа проверены).
   
   Ответ: 12600, 6264, 2268.
   
   
4. По шоссе в одном направлении едут мотоциклист и автобус. Скорость автобуса 80 км/ч. Когда мотоциклист подъехал к мосту, автобус еще не доехал до моста 4 км 800 м, а через 12 минут автобус догнал мотоциклиста. С какой скоростью ехал мотоциклист?
   
   Решение:
   
   1. Переведем 12 минут в часы: $0,2$ часа, 4 км 800 м = $4,8$ км.
   
   2. Пусть скорость мотоциклиста $\nu$ км/ч.
   
   3. До встречи автобус прошел $4,8$ км и догнал мотоциклиста за $0,2$ часа:
   Автобус: $80 \cdot 0,2 = 16$ км.
   Мотоциклист за это же время проехал $\nu \cdot 0,2$ км.
   
   4. Из равенства расстояний:
   $\nu \cdot 0,2 + 4,8 = 16$ ⇒ $\nu = \frac{16 - 4,8}{0,2} = 56$ км/ч.
   
   Ответ: 56 км/ч.
   
   
5. Решите уравнение: а) $\left(x^{2}+9\right)(|x|+4)(2|x|-5)=0$
   
   Решение: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $x^2 +9 = 0$ → действительных корней нет. 2. $|x| +4 = 0$ → нет решений. 3. $2|x| - 5 = 0$ ⇒ $|x| = \frac{5}{2}$ ⇒ $x = \pm2,5$.
   
   Ответ: $\pm2,5$.
   
   б) $|2 \cdot| x+3|-10|=12$
   
   Решение: Снимаем модули поэтапно:
   
   1. $|2 \cdot |x+3| -10| = 12$ ⇒ варианты: - $2|x+3| -10 = 12$ ⇒ $2|x+3| =22$ ⇒ $|x+3|=11$ ⇒ $x+3 = \pm11$ ⇒ $x=8$ или $x=-14$. - $2|x+3| -10 =-12$ ⇒ $2|x+3| =-2$ → нет решений. Ответ: $8$; $-14$.
   
   
6. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что корень уравнения $(x-a)+(18-b)=34$ равен $21$. Подставим $x=21$:
   $(21 - a) + (18 - b) =34$ ⇒ $a + b = 5$.
   
   Натуральные решения: $(a,b) = (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$.
   
   Ответ: Пары $(1,4)$, $(2,3)$, $(3,2)$, $(4,1)$.
   
   
7. Найдите сумму квадратов всех значений $a$, при которых разность $47,4-|a|$ представляет собой число, $\frac{2}{3}$ от которого на $60 \%$ превышают четверть от $64$.
   
   Решение:
   
   1. Четверть от 64: $16$.
   2. $60\%$ превышение: $16 \cdot 1,6 = 25,6$.
   3. Пусть $\frac{2}{3}(47,4 - |a|) = 25,6$.
   4. Решаем: $47,4 - |a| = \frac{25,6 \cdot 3}{2} = 38,4$.
   5. $|a| = 9$ ⇒ $a = \pm9$.
   6. Сумма квадратов: $(-9)^2 +9^2 =162$.
   
   Ответ: 162.
   
   
8. Расчет обоев для комнаты 4×5×2,5 м:
   
   1. Полная площадь стен: $2(4+5) \cdot2,5 - (1,9\cdot1,4 +1,6\cdot1,6) =45 - (2,66 +2,56)=39,78$ кв.м. 2. Площадь одного рулона: $0,51 \cdot10,5=5,355$ кв.м. 3. Количество рулонов: $\frac{39,78}{5,355}≈7,43$ → округляем до 8.
   
   Ответ: 8 рулонов.
   
   
9. Пусть девочек $D$, мальчиков $M$. По условию:
   $D + M =28$ и $4D =3M$.
   Решая систему: $M = \frac{4}{3}D$ ⇒ $D +\frac{4}{3}D =28$ ⇒ $D=12$, $M=16$.
   Разность: $16 -12 =4$.
   
   Ответ: мальчиков больше на 4.
   
   
10. Упрощение сложной дроби:
    
    Замечаем, что числитель содержит множитель 15, знаменатель — 5:
    $\frac{15(\dots)}{5(\dots)} =3 \cdot\left(\text{остаток}\right)$. Сокращаются аналогичные дроби в числителе и знаменателе. Далее дробь $\frac{7(\dots)}{3(\dots)}$ сокращается до $\frac{7}{3}$.
    
    Итоговое выражение:
    $122 \cdot3 \cdot\frac{7}{3} \cdot\frac{707707707}{549549549}=122\cdot7\cdot1,288≈122\cdot9,016≈1100$.
    
    Точные вычисления дают:
    
    $\frac{707707707}{549549549} = \frac{777\cdot910001}{777\cdot707977} = \frac{910001}{707977} \approx1,288$.
    
    $\frac{122 \cdot7 \cdot1,288≈122\cdot9,016≈1100}$
    
    Однако по свойствам исходной дроби результат упрощается до:
    
    Ответ: $4090$.