Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 7 в 8 класс 2015 год вариант 2-2

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2015 год

Вариант 2

1. Найдите значение выражения $\frac{2 x+4 y}{x^{2}+4 x y+4 y^{2}+5}$, если х $+2 y=5$.
2. Сократите дробь: $$ \frac{b^{6}+b^{7}+b^{8}}{b^{-6}+b^{-7}+b^{-8}} $$
3. Вычислите:
   1. $\sqrt{2,5 \cdot 0,049 \cdot 200 \cdot 2}$;
   2. $\sqrt{11-\sqrt{21}} \cdot \sqrt{11+\sqrt{21}}$;
   3. $\sqrt{(2 \sqrt{3}-5)^{2}}+\sqrt{(3-2 \sqrt{5})^{2}}$
4. Решите неравенство: $3(5-4 x)-2(14+x)>1$
5. 3 адача. Фотография размером $10 \times 15$ см наклеена на прямоугольный лист картона так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что площадь листа картона 336 см $^{2} .$
6. $\mathrm{x}_{1}$ и $\mathrm{x}_{2}$ корни уравнения $\mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}+3=0$. Не решая уравнения, найдите значения выражения $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$

Решения задач

1. Найдите значение выражения $\frac{2 x+4 y}{x^{2}+4 x y+4 y^{2}+5}$, если $x +2 y=5$.
   Решение: Упростим выражение:
   Числитель: $2x + 4y = 2(x + 2y) = 2 \cdot 5 = 10$
   Знаменатель: $x^{2} + 4xy + 4y^{2} + 5 = (x + 2y)^2 + 5 = 5^2 + 5 = 30$
   $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$
   Ответ: $\frac{1}{3}$.
2. Сократите дробь: $ \frac{b^{6}+b^{7}+b^{8}}{b^{-6}+b^{-7}+b^{-8}} $
   Решение: Вынесем общие множители:
   Числитель: $b^{6}(1 + b + b^{2})$
   Знаменатель: $b^{-8}(1 + b + b^{2})$
   Дробь упрощается до $\frac{b^{6}}{b^{-8}} = b^{14}$
   Ответ: $b^{14}$.
3. Вычислите:
   1. $\sqrt{2,5 \cdot 0,049 \cdot 200 \cdot 2}$
      Решение: Перемножим множители:
      $2,5 \cdot 200 = 500$; $0,049 \cdot 2 = 0,098$
      $500 \cdot 0,098 = 49$
      $\sqrt{49} = 7$
      Ответ: 7.
   2. $\sqrt{11-\sqrt{21}} \cdot \sqrt{11+\sqrt{21}}$
      Решение: Используем формулу $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
      $\sqrt{(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})} = \sqrt{11^2 - (\sqrt{21})^2} = \sqrt{121 - 21} = \sqrt{100} = 10$
      Ответ: 10.
   3. $\sqrt{(2 \sqrt{3}-5)^{2}}+\sqrt{(3-2 \sqrt{5})^{2}}$
      Решение: Раскроем модули:
      $\sqrt{(2\sqrt{3} - 5)^2} = |2\sqrt{3} - 5| = 5 - 2\sqrt{3}$ (т.к. $2\sqrt{3} \approx 3,464 < 5$)
      $\sqrt{(3 - 2\sqrt{5})^2} = |3 - 2\sqrt{5}| = 2\sqrt{5} - 3$ (т.к. $2\sqrt{5} \approx 4,472 > 3$)
      Сумма: $(5 - 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{5} - 3) = 2 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$
      Ответ: $2 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$.
4. Решите неравенство: $3(5-4 x)-2(14+x)>1$
   Решение: Раскроем скобки и упростим:
   $15 - 12x - 28 - 2x > 1$
   $-14x - 13 > 1$
   $-14x > 14$
   $x < -1$
   Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.
5. Фотография размером $10 \times 15$ см наклеена на прямоугольный лист картона так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что площадь листа картона 336 см$^{2}$.
   Решение: Пусть ширина рамки $x$ см. Тогда размеры картона:
   $(10 + 2x)$ см и $(15 + 2x)$ см
   Уравнение площади: $(10 + 2x)(15 + 2x) = 336$
   Раскроем скобки:
   $150 + 50x + 4x^2 = 336$
   $4x^2 + 50x - 186 = 0$
   Делим на 2: $2x^2 + 25x - 93 = 0$
   Дискриминант: $D = 625 + 744 = 1369 = 37^2$
   Корни: $x = \frac{-25 \pm 37}{4}$. Положительный корень: $x = \frac{12}{4} = 3$
   Ответ: 3 см.
6. $\mathrm{x}_{1}$ и $\mathrm{x}_{2}$ — корни уравнения $\mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}+3=0$. Не решая уравнения, найдите значения выражения $\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}$
   Решение: Используем теорему Виета:
   $x_1 + x_2 = -5$, $x_1x_2 = 3$
   Преобразуем выражение:
   $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(-5)^2 - 2 \cdot 3}{3^2} = \frac{25 - 6}{9} = \frac{19}{9}$
   Ответ: $\frac{19}{9}$.