Открывается в новой вкладке
8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegramMAX
Или задайте вопрос через форму:

Мы всегда на связи

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

ФМЛ №30 из 9 в 10 класс 2023 год вариант 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2023

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!

Задания вступительного экзамена

Печать
youit.school ©
Санкт-Петербургский губернаторский физико-математический лицей №30
Вступительная работа в 10 класс. Первый тур. 26.04.2023
2 вариант
  1. В среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на \(64\%\) дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?
  2. Решите неравенства:
    1. а) \[ \frac{1}{x-2}\geq 1; \]
    2. б) \[ |3x-2| \text{<} x. \]
  3. Решите уравнения:
    1. а) \[ |x^2+2x-2|=x; \]
    2. б) \[ (x^2+4x)^2+15(x+2)^2-16=0. \]
  4. Упростите выражение: \[ \left( \frac{x^{\frac12}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}} - \frac{y}{x-x^{\frac12}y^{\frac12}} \right) \mathbin{:} \frac{x^{\frac12}+y^{\frac12}}{x^{\frac12}}. \]
  5. Вычислите: \[ \frac{12}{\sqrt{15}-3} - \frac{28}{\sqrt{15}-1} + \frac{1}{2-\sqrt{3}} - \sqrt{3}. \]
  6. Определите, при каком значении параметра \(a\) наибольшее значение функции \[ y=6x-x^2+a \] равно \(4\).
  7. Дана функция \[ f(x)= \frac{20-x-x^2}{\left(\sqrt{x+5}\right)^2\sqrt{(x-4)^2}}. \]
    1. а) Найдите область определения этой функции.
    2. б) Постройте график этой функции.
    3. в) Найдите все значения параметра \(k\), при которых прямая \(y=k^2x\) имеет ровно одну общую точку с графиком этой функции.
  8. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) \(AB=BC=26\), \(AC=20\).
    1. а) Найдите высоту \(AP\) треугольника \(ABC\), опущенную на его боковую сторону.
    2. б) Пусть \(H\) – точка пересечения высот треугольника \(ABC\), \(I\) – точка пересечения его медиан, \(M\) – середина стороны \(AC\). Из четырехугольников \(HPCM\) и \(IPCM\) выберите тот, вокруг которого можно описать окружность. Объясните, почему это можно сделать.
    3. в) Найдите длину отрезка касательной к вписанной окружности треугольника \(ABC\), параллельной основанию \(AC\), заключенного между боковыми сторонами треугольника.
  9. На доске написано \(4\) натуральных числа. Произведение любых двух из которых больше \(50\), но меньше \(130\). Какое наибольшее значение может принимать сумма этих чисел?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
  1. Задача. В среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на такое же количество процентов. В результате они стали стоить на \(64\%\) дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции в среду?
    Решение. Пусть в среду акции подорожали на \(p\%\). Примем их первоначальную стоимость за \(1\). После подорожания стоимость стала равна \[ 1+\frac{p}{100} \] После уменьшения этой стоимости на \(p\%\) получаем: \[ \left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1-\frac{p}{100}\right)=0{,}36 \] Здесь \(0{,}36\) – это \(36\%\) первоначальной стоимости, оставшиеся после уменьшения на \(64\%\).
    Воспользуемся формулой разности квадратов: \[ 1-\frac{p^2}{10000}=0{,}36 \] \[ \frac{p^2}{10000}=0{,}64 \] \[ p^2=6400 \] Так как \(p\) – положительное число, получаем: \[ p=80 \]
    Ответ. \(80\%\).
  2. Задача. Решите неравенства: а) \(\frac{1}{x-2}\geq 1\); б) \(|3x-2|<x\).
    Решение. а) Область допустимых значений: \[ x\ne 2 \] Перенесём единицу в левую часть: \[ \frac{1}{x-2}-1\geq 0 \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{1-(x-2)}{x-2}\geq 0 \] \[ \frac{3-x}{x-2}\geq 0 \] Критические точки: \[ x=2 \] \[ x=3 \] На промежутке \((-\infty;2)\) дробь отрицательна, на промежутке \((2;3)\) положительна, а на промежутке \((3;+\infty)\) отрицательна. Точка \(3\) подходит, так как неравенство нестрогое, а точка \(2\) не входит в область допустимых значений.
    б) Правая часть должна быть положительной, поэтому \[ x>0 \] Раскроем неравенство с модулем: \[ -x<3x-2 \] \[ 3x-22 \] \[ x>\frac{1}{2} \] Из второго неравенства получаем: \[ 2x<2 \] \[ x<1 \] Следовательно, \[ \frac{1}{2}\text{<}x<1 \]
    Ответ. а) \((2;3]\); б) \(\left(\frac{1}{2};1\right)\).
  3. Задача. Решите уравнения: а) \(|x^2+2x-2|=x\); б) \((x^2+4x)^2+15(x+2)^2-16=0\).
    Решение. а) Так как модуль неотрицателен, правая часть тоже должна быть неотрицательной: \[ x\geq 0 \] Равенство выполняется в двух случаях. В первом случае: \[ x^2+2x-2=x \] \[ x^2+x-2=0 \] \[ (x+2)(x-1)=0 \] Получаем: \[ x=-2 \] или \[ x=1 \] Из них условию \(x\geq 0\) удовлетворяет только \(x=1\).
    Во втором случае: \[ x^2+2x-2=-x \] \[ x^2+3x-2=0 \] Найдём дискриминант: \[ D=3^2-4\cdot 1\cdot(-2) \] \[ D=17 \] Тогда \[ x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \] или \[ x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2} \] Второй корень отрицателен, поэтому он не подходит. Получаем ещё один корень: \[ x=\frac{\sqrt{17}-3}{2} \]
    б) Введём замену: \[ t=(x+2)^2 \] Тогда \[ t\geq 0 \] и \[ x^2+4x=t-4 \] Исходное уравнение принимает вид: \[ (t-4)^2+15t-16=0 \] \[ t^2-8t+16+15t-16=0 \] \[ t^2+7t=0 \] \[ t(t+7)=0 \] Получаем: \[ t=0 \] или \[ t=-7 \] Так как \(t\geq 0\), подходит только \(t=0\). Следовательно, \[ (x+2)^2=0 \] \[ x=-2 \]
    Ответ. а) \(1\), \(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\); б) \(-2\).
  4. Задача. Упростите выражение \[ \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \frac{y}{x-\sqrt{x}\sqrt{y}} \right) : \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}}. \]
    Решение. Выражение имеет смысл при \[ x>0 \] \[ y\geq 0 \] \[ x\ne y \] Разложим знаменатель второй дроби на множители: \[ x-\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \] Приведём дроби в первых скобках к общему знаменателю: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{x-y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})} \] Разложим разность \(x-y\) на множители: \[ x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \] Тогда \[ \frac{x-y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \] Исходное выражение принимает вид: \[ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \] Следовательно, \[ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}} =1 \]
    Ответ. \(1\), при \(x>0\), \(y\geq 0\), \(x\ne y\).
  5. Задача. Вычислите: \[ \frac{12}{\sqrt{15}-3} - \frac{28}{\sqrt{15}-1} + \frac{1}{2-\sqrt{3}} - \sqrt{3}. \]
    Решение. Освободимся от иррациональности в знаменателях. Для первой дроби получаем: \[ \frac{12}{\sqrt{15}-3} = \frac{12(\sqrt{15}+3)}{15-9} \] \[ \frac{12(\sqrt{15}+3)}{15-9} = 2\sqrt{15}+6 \] Для второй дроби: \[ \frac{28}{\sqrt{15}-1} = \frac{28(\sqrt{15}+1)}{15-1} \] \[ \frac{28(\sqrt{15}+1)}{15-1} = 2\sqrt{15}+2 \] Для третьей дроби: \[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} \] \[ \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \] Подставим полученные результаты: \[ 2\sqrt{15}+6-(2\sqrt{15}+2)+2+\sqrt{3}-\sqrt{3} \] Приведём подобные слагаемые: \[ 2\sqrt{15}-2\sqrt{15}=0 \] \[ \sqrt{3}-\sqrt{3}=0 \] \[ 6-2+2=6 \]
    Ответ. \(6\).
  6. Задача. Определите, при каком значении параметра \(a\) наибольшее значение функции \[ y=6x-x^2+a \] равно \(4\).
    Решение. Выделим полный квадрат: \[ y=-x^2+6x+a \] \[ y=-(x^2-6x)+a \] \[ y=-(x-3)^2+9+a \] Квадрат числа неотрицателен, поэтому \[ -(x-3)^2\leq 0 \] Наибольшее значение функции достигается при \[ x=3 \] и равно \[ 9+a \] По условию это значение равно \(4\): \[ 9+a=4 \] \[ a=-5 \]
    Ответ. \(-5\).
  7. Задача. Дана функция \[ f(x)= \frac{20-x-x^2}{\left(\sqrt{x+5}\right)^2\sqrt{(x-4)^2}}. \] а) Найдите область определения функции. б) Постройте её график. в) Найдите все значения параметра \(k\), при которых прямая \(y=k^2x\) имеет ровно одну общую точку с графиком функции.
    Решение. а) Для существования квадратного корня необходимо: \[ x+5\geq 0 \] Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль: \[ x+5\ne 0 \] \[ x-4\ne 0 \] Следовательно, область определения: \[ x\in(-5;4)\cup(4;+\infty) \]
    б) Разложим числитель на множители: \[ 20-x-x^2=-(x^2+x-20) \] \[ 20-x-x^2=(x+5)(4-x) \] Кроме того, \[ \left(\sqrt{x+5}\right)^2=x+5 \] \[ \sqrt{(x-4)^2}=|x-4| \] Поэтому на области определения: \[ f(x)=\frac{(x+5)(4-x)}{(x+5)|x-4|} \] \[ f(x)=\frac{4-x}{|x-4|} \] Если \[ -5\text{<}x4, \] то \[ |x-4|=x-4 \] и \[ f(x)=-1 \] в) Обозначим \[ k^2=m \] Тогда \[ m\geq 0 \] Прямая \(y=mx\) не может пересечь луч \(y=-1\), \(x>4\), потому что при \(m\geq 0\) и \(x>4\) произведение \(mx\) неотрицательно.
    С частью графика \(y=1\), \(-5\text{<}x0\) получаем: \[ x=\frac{1}{m} \] Эта точка принадлежит графику тогда и только тогда, когда \[ \frac{1}{m}\frac{1}{4} \] Следовательно, \[ k^2>\frac{1}{4} \] \[ |k|>\frac{1}{2} \]
    Ответ. а) \((-5;4)\cup(4;+\infty)\); б) \(y=1\) при \(-5\text{<}x4\); в) \(k\frac{1}{2}\).
  8. Задача. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=BC=26\), \(AC=20\). а) Найдите высоту \(AP\), опущенную на боковую сторону. б) Из четырёхугольников \(HPCM\) и \(IPCM\) выберите тот, около которого можно описать окружность. Здесь \(H\) – точка пересечения высот, \(I\) – точка пересечения медиан, \(M\) – середина \(AC\). в) Найдите длину отрезка касательной к вписанной окружности, параллельной основанию \(AC\) и заключённой между боковыми сторонами.
    Решение. а) Так как треугольник равнобедренный, медиана \(BM\), проведённая к основанию \(AC\), является высотой. Поэтому \[ AM=MC=10 \] В прямоугольном треугольнике \(ABM\) по теореме Пифагора: \[ BM^2=AB^2-AM^2 \] \[ BM^2=26^2-10^2 \] \[ BM^2=576 \] \[ BM=24 \] Найдём площадь треугольника: \[ S_{ABC}=\frac{AC\cdot BM}{2} \] \[ S_{ABC}=\frac{20\cdot 24}{2} \] \[ S_{ABC}=240 \] Эту же площадь выразим через сторону \(BC\) и высоту \(AP\): \[ 240=\frac{26\cdot AP}{2} \] \[ AP=\frac{240}{13} \]
    б) Точка \(H\) лежит на высотах \(AP\) и \(BM\). Поэтому \[ HP\perp PC \] и \[ HM\perp MC \] Следовательно, \[ \angle HPC=90^\circ \] \[ \angle HMC=90^\circ \] Точки \(P\) и \(M\) лежат на окружности с диаметром \(HC\). Значит, около четырёхугольника \(HPCM\) можно описать окружность.
    в) Найдём полупериметр треугольника: \[ p=\frac{26+26+20}{2} \] \[ p=36 \] Радиус вписанной окружности равен: \[ r=\frac{S_{ABC}}{p} \] \[ r=\frac{240}{36} \] \[ r=\frac{20}{3} \] Пусть \(DE\) – касательная к вписанной окружности, параллельная \(AC\) и отличная от \(AC\). Расстояние между двумя параллельными касательными \(AC\) и \(DE\) равно диаметру окружности: \[ 2r=\frac{40}{3} \] Значит, высота треугольника \(BDE\) равна: \[ 24-\frac{40}{3}=\frac{32}{3} \] Треугольники \(BDE\) и \(BAC\) подобны. Поэтому \[ \frac{DE}{AC}=\frac{\frac{32}{3}}{24} \] \[ \frac{DE}{20}=\frac{4}{9} \] \[ DE=\frac{80}{9} \]
    Ответ. а) \(\frac{240}{13}\); б) около четырёхугольника \(HPCM\); в) \(\frac{80}{9}\).
  9. Задача. На доске написано \(4\) натуральных числа. Произведение любых двух из них больше \(50\), но меньше \(130\). Какое наибольшее значение может принимать сумма этих чисел?
    Решение. Расположим числа в порядке неубывания: \[ a\leq b\leq c\leq d \] Так как произведение любых двух чисел больше \(50\), то \[ ab>50 \] Поскольку \(a\leq c\) и \(b\leq c\), получаем: \[ c^2>50 \] Следовательно, \[ c\geq 8 \]
    С другой стороны, произведение двух наибольших чисел меньше \(130\): \[ cd<130 \] Так как \(c\leq d\), имеем: \[ c^2<130 \] Следовательно, \[ c\leq 11 \] Значит, достаточно рассмотреть четыре случая.
    Если \(c=8\), то \[ d\leq 16 \] и поэтому \[ a+b+c+d\leq 8+8+8+16 \] \[ a+b+c+d\leq 40 \]
    Если \(c=9\), то \[ d\leq 14 \] и \[ a+b+c+d\leq 9+9+9+14 \] \[ a+b+c+d\leq 41 \]
    Если \(c=10\), то \[ d\leq 12 \] и \[ a+b+c+d\leq 10+10+10+12 \] \[ a+b+c+d\leq 42 \]
    Если \(c=11\), то из условия \(11d<130\) получаем \[ d\leq 11 \] Тогда все четыре числа не превосходят \(11\), поэтому \[ a+b+c+d\leq 44 \] Это значение достигается, если взять числа \[ 11,\ 11,\ 11,\ 11. \] Произведение любых двух из них равно: \[ 11\cdot 11=121 \] Число \(121\) больше \(50\), но меньше \(130\).
    Ответ. \(44\).
Материалы школы Юайти

Записаться на подготовку к поступлению в школу

1. Консультация с менеджером
Менеджер уточняет, в какую школу и в какой класс поступает ребёнок, и подбирает формат подготовки.
2. Тестирование с методистом
Методист определяет уровень, находит пробелы и оценивает готовность к нужному курсу.
3. Индивидуальный учебный план
Вы получаете понятные рекомендации: с чего начать, как двигаться дальше и к какому результату придём.
envelop

Записаться на подготовку к поступлению в школу

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Связаться с нами

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.