Открывается в новой вкладке
8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegramMAX
Или задайте вопрос через форму:

Мы всегда на связи

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

ФМЛ №30 из 9 в 10 класс 2026 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2026

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!

Задания вступительного экзамена

Печать
youit.school ©
Вступительная работа
для поступающих в 10 класс «Санкт-Петербургского
губернаторского физико-математического лицея №30»
в 2026 году
Вариант 1
  1. Решить уравнение:
    1. $x^3=x^2-7x+7$
    2. $x^4=(4x-5)^2$
    3. $\cfrac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1$
    4. $(x^2-4)\sqrt{x-1}=0$
    5. $2\bigl||x+4|-13\bigr|+6=30$
    6. $x^2+\sqrt{3}x+\sqrt{3}=1$
  2. Решить неравенство:
    1. $\cfrac{x^2-7x-8}{x^2-2x+1}\leq 0$
    2. $x\leq 3-\cfrac{1}{x-1}$
    3. $(1-x^2)\sqrt{x+2}\geq 0$
    4. $|x+3|\leq 2$
  3. Дана функция \[ f(x)=\frac{(x^2-4)(x-1)}{1-x}. \]
    1. Построить график \(y=f(x)\);
    2. Используя график, решить неравенство \(f(x)>0\);
    3. Используя график, найти промежутки убывания функции;
    4. Определить, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
  4. В треугольнике \(PMK\) \(KP=5\), медиана \(PO\) равна \(3\sqrt{2}\), а угол \(KOP\) равен \(135^\circ\). Найти:
    1. \(KM\);
    2. \(\sin K\);
    3. площадь треугольника \(KMP\);
    4. радиус окружности, вписанной в треугольник \(KOP\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
  1. Задача. Решите уравнения: а) \(x^3=x^2-7x+7\); б) \(x^4=(4x-5)^2\); в) \(\dfrac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1\); г) \((x^2-4)\sqrt{x-1}=0\); д) \(2\bigl||x+4|-13\bigr|+6=30\); е) \(x^2+\sqrt{3}x+\sqrt{3}=1\).
    Решение. а) Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим многочлен на множители: \[ x^3-x^2+7x-7=0 \] \[ x^2(x-1)+7(x-1)=0 \] \[ (x-1)(x^2+7)=0 \] При любом действительном \(x\) выполняется \[ x^2+7>0 \] Поэтому \[ x-1=0 \] \[ x=1 \]
    б) Перенесём правую часть влево и воспользуемся формулой разности квадратов: \[ x^4-(4x-5)^2=0 \] \[ \bigl(x^2-4x+5\bigr)\bigl(x^2+4x-5\bigr)=0 \] Первый множитель всегда положителен: \[ x^2-4x+5=(x-2)^2+1 \] Поэтому решаем только второе уравнение: \[ x^2+4x-5=0 \] \[ (x-1)(x+5)=0 \] \[ x=1 \] или \[ x=-5 \]
    в) Сначала укажем недопустимые значения: \[ x\ne -3 \] \[ x\ne 3 \] Умножим уравнение на \(x^2-9\): \[ 2x^2+7x+3=x^2-9 \] \[ x^2+7x+12=0 \] \[ (x+3)(x+4)=0 \] Получаем \[ x=-3 \] или \[ x=-4 \] Значение \(x=-3\) не входит в область допустимых значений. Поэтому остаётся \[ x=-4 \]
    г) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ x\ge 1 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ x^2-4=0 \] или \[ \sqrt{x-1}=0 \] Из первого уравнения получаем \[ x=2 \] или \[ x=-2 \] Значение \(x=-2\) не подходит по области допустимых значений. Из второго уравнения получаем \[ x=1 \]
    д) Вычтем \(6\) и разделим обе части на \(2\): \[ \bigl||x+4|-13\bigr|=12 \] Тогда выражение под внешним модулем равно \(12\) или \(-12\): \[ |x+4|-13=12 \] или \[ |x+4|-13=-12 \] Отсюда \[ |x+4|=25 \] или \[ |x+4|=1 \] Решаем полученные уравнения: \[ x+4=25 \] \[ x=21 \] \[ x+4=-25 \] \[ x=-29 \] \[ x+4=1 \] \[ x=-3 \] \[ x+4=-1 \] \[ x=-5 \]
    е) Перенесём единицу в левую часть: \[ x^2+\sqrt{3}x+\sqrt{3}-1=0 \] Разложим левую часть на множители: \[ (x+1)(x+\sqrt{3}-1)=0 \] Отсюда \[ x=-1 \] или \[ x=1-\sqrt{3} \]
    Ответ. а) \(1\); б) \(-5\), \(1\); в) \(-4\); г) \(1\), \(2\); д) \(-29\), \(-5\), \(-3\), \(21\); е) \(-1\), \(1-\sqrt{3}\).
  2. Задача. Решите неравенства: а) \(\dfrac{x^2-7x-8}{x^2-2x+1}\leq 0\); б) \(x\leq 3-\dfrac{1}{x-1}\); в) \((1-x^2)\sqrt{x+2}\geq 0\); г) \(|x+3|\leq 2\).
    Решение. а) Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ x^2-7x-8=(x-8)(x+1) \] \[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \] Получаем: \[ \frac{(x-8)(x+1)}{(x-1)^2}\leq 0 \] При \(x\ne 1\) знаменатель положителен, поэтому достаточно решить неравенство \[ (x-8)(x+1)\leq 0 \] \[ -1\leq x\leq 8 \] Исключаем недопустимое значение \(x=1\).
    б) Область допустимых значений: \[ x\ne 1 \] Перенесём все слагаемые в левую часть: \[ x-3+\frac{1}{x-1}\leq 0 \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{(x-3)(x-1)+1}{x-1}\leq 0 \] \[ \frac{(x-2)^2}{x-1}\leq 0 \] Числитель неотрицателен и обращается в нуль при \[ x=2 \] При \(x1\) дробь положительна, кроме точки \(x=2\), в которой она равна нулю.
    в) Область допустимых значений: \[ x\geq -2 \] При \[ x=-2 \] корень равен нулю, поэтому неравенство выполняется. При \(x>-2\) квадратный корень положителен, поэтому решаем: \[ 1-x^2\geq 0 \] \[ x^2\leq 1 \] \[ -1\leq x\leq 1 \]
    г) Раскроем неравенство с модулем: \[ -2\leq x+3 \] \[ x+3\leq 2 \] Вычтем \(3\): \[ -5\leq x \] \[ x\leq -1 \]
    Ответ. а) \([-1;1)\cup(1;8]\); б) \((-\infty;1)\cup\{2\}\); в) \(\{-2\}\cup[-1;1]\); г) \([-5;-1]\).
  3. Задача. Дана функция \[ f(x)=\frac{(x^2-4)(x-1)}{1-x}. \] а) Постройте график \(y=f(x)\). б) Используя график, решите неравенство \(f(x)>0\). в) Найдите промежутки убывания функции. г) Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
    Решение. а) Знаменатель не должен обращаться в нуль: \[ x\ne 1 \] Так как \[ 1-x=-(x-1), \] при \(x\ne 1\) получаем \[ f(x)=-(x^2-4) \] \[ f(x)=4-x^2 \] Следовательно, графиком является парабола \[ y=4-x^2, \] из которой удалена точка \[ (1;3). \] б) График находится выше оси \(Ox\), когда \[ 4-x^2>0 \] \[ x^2<4 \] \[ -2 \text{ < }x<2 \] При этом точка \(x=1\) не входит в область определения.
    в) Парабола \[ y=4-x^2 \] убывает при \[ x\geq 0 \] Но из области определения исключено число \(1\). Поэтому функция убывает на промежутках \[ [0;1) \] и \[ (1;+\infty). \]
    г) Точки пересечения графика с прямой \(y=kx\) находятся из уравнения \[ 4-x^2=kx \] \[ x^2+kx-4=0 \] Дискриминант этого уравнения равен \[ D=k^2+16 \] При любом \(k\) выполняется \[ D>0 \] Значит, уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Ровно одна общая точка останется только тогда, когда один из корней равен исключённому значению \(x=1\). Подставим \(x=1\): \[ 1+k-4=0 \] \[ k=3 \] При \(k=3\) получаем: \[ x^2+3x-4=0 \] \[ (x-1)(x+4)=0 \] Точка с \(x=1\) выколота, а точка с \(x=-4\) принадлежит графику. Поэтому общая точка ровно одна.
    Ответ. а) Парабола \(y=4-x^2\) с выколотой точкой \((1;3)\); б) \((-2;1)\cup(1;2)\); в) \([0;1)\) и \((1;+\infty)\); г) \(k=3\).
  4. Задача. В треугольнике \(PMK\) известно, что \(KP=5\), медиана \(PO\) равна \(3\sqrt{2}\), а угол \(KOP\) равен \(135^\circ\). Найдите: а) \(KM\); б) \(\sin K\); в) площадь треугольника \(KMP\); г) радиус окружности, вписанной в треугольник \(KOP\).
    Решение. Так как \(PO\) является медианой, точка \(O\) – середина стороны \(KM\). Обозначим \[ KO=t. \] Рассмотрим треугольник \(KOP\). По теореме косинусов: \[ KP^2=KO^2+OP^2-2\cdot KO\cdot OP\cdot\cos\angle KOP \] Подставим данные: \[ 25=t^2+18-2\cdot t\cdot 3\sqrt{2}\cdot\cos 135^\circ \] Так как \[ \cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \] получаем \[ 25=t^2+18+6t \] \[ t^2+6t-7=0 \] \[ (t-1)(t+7)=0 \] Длина должна быть положительной, поэтому \[ t=1 \] Следовательно, \[ KO=1 \] Так как \(O\) – середина \(KM\), имеем \[ KM=2 \]
    б) Угол \(K\) треугольника \(PMK\) совпадает с углом \(PKO\). По теореме синусов в треугольнике \(KOP\): \[ \frac{\sin\angle PKO}{OP}=\frac{\sin\angle KOP}{KP} \] \[ \sin K=\frac{OP\cdot\sin 135^\circ}{KP} \] \[ \sin K=\frac{3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{5} \] \[ \sin K=\frac{3}{5} \]
    в) Найдём площадь треугольника \(KMP\): \[ S_{KMP}=\frac{1}{2}\cdot KM\cdot KP\cdot\sin K \] \[ S_{KMP}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5\cdot\frac{3}{5} \] \[ S_{KMP}=3 \]
    г) Сначала найдём площадь треугольника \(KOP\): \[ S_{KOP}=\frac{1}{2}\cdot KO\cdot OP\cdot\sin 135^\circ \] \[ S_{KOP}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ S_{KOP}=\frac{3}{2} \] Полупериметр треугольника \(KOP\) равен \[ s=\frac{KO+OP+KP}{2} \] \[ s=\frac{1+3\sqrt{2}+5}{2} \] \[ s=\frac{6+3\sqrt{2}}{2} \] Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру: \[ r=\frac{S_{KOP}}{s} \] \[ r=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{6+3\sqrt{2}}{2}} \] \[ r=\frac{1}{2+\sqrt{2}} \] Освободимся от иррациональности в знаменателе: \[ r=\frac{2-\sqrt{2}}{2} \]
    Ответ. а) \(KM=2\); б) \(\sin K=\frac{3}{5}\); в) \(3\); г) \(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\).
Материалы школы Юайти

Записаться на подготовку к поступлению в школу

1. Консультация с менеджером
Менеджер уточняет, в какую школу и в какой класс поступает ребёнок, и подбирает формат подготовки.
2. Тестирование с методистом
Методист определяет уровень, находит пробелы и оценивает готовность к нужному курсу.
3. Индивидуальный учебный план
Вы получаете понятные рекомендации: с чего начать, как двигаться дальше и к какому результату придём.
envelop

Записаться на подготовку к поступлению в школу

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Связаться с нами

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.