Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 5 в 6 класс 1 июня 2026 | Вариант 1

1. Часы. За сутки часы уходят вперёд на \(15~с\). В 10 часов утра их поставили правильно. На сколько секунд уйдут вперёд часы в 6 часов вечера того же дня?
2. Логика. Один из учителей сказал, что на экзамен придёт меньше 20 учеников, второй сказал, что придёт меньше 21 ученика, а третий сказал, что придёт меньше 23 учеников. Угадали двое из трёх учителей. Сколько пришло учеников?
3. Квадраты. Аня отрезала от прямоугольника квадрат со стороной, равной его меньшей стороне, от оставшегося прямоугольника отрезала так же два квадрата, а оставшийся прямоугольник разрезала на 3 квадрата со стороной \(1~см\). Найдите стороны исходного прямоугольника.
4. Палиндром. Когда водитель проехал \(25952~км\), он заметил, что это число симметричное, читается так же справа налево. Через час и 20 минут снова возникло симметричное число. С какой скоростью ехал водитель?
5. Вес. На празднике каждый мальчик получил 2 конфеты и пирожок, а каждая девочка – конфету и 3 пирожка. Общий вес конфет и пирожков у мальчиков оказался таким же, как у девочек. Во сколько раз пирожок тяжелее конфеты, если мальчиков было в 2 раза больше, чем девочек?
6. Краска. Для окраски пола кабинета длиной \(6~м\) и шириной \(5~м\) ушло \(5~кг\) краски. Сколько килограммов краски понадобится для окраски зала длиной \(15~м\) и шириной \(8~м\)?
7. Буквы. Укажите на развёртке куба, где и как расположены буквы У и Р. Достаточно нарисовать ответ.
   
8. Солнце. Расстояние от Земли до Солнца примерно \(150 млн~км\). Диаметр Земли примерно \(13 тыс.~км\). Если Землю изобразить кружочком с диаметром \(13~см\), то на каком расстоянии от него будет изображение Солнца? Ответ дайте в метрах.
9. Л2Ш. Найдите одно решение ребуса: \[ Л2Ш = Л\cdot И \cdot Ц\cdotЕ\cdotЙ , \] где разные буквы – это разные цифры, одинаковые буквы – одинаковые цифры, а Л2Ш – трёхзначное число.
10. НОК. Приведите пример двух чисел, у которых сумма 168, и наименьшее общее кратное 1001. Достаточно дать ответ и идею поиска.
11. Гирлянда. Гирлянда состоит из красных и синих лампочек, всего 50. Рядом с каждой красной лампочкой есть синяя. Какое наибольшее число красных лампочек может быть в гирлянде?
12. Дорожка. Петя и Вася стартовали одновременно из одной точки в одном направлении по кольцевой дорожке. Через 5 минут Вася оказался впереди Пети на \(50~м\) (по направлению бега). Ещё через 5 минут Вася оказался позади Пети на \(50~м\) (по направлению бега). Чему равна длина дорожки?
13. Турнир. Среди 5 футбольных команд каждая с каждой сыграла 1 раз. Победа – 3 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0 очков. Какую наибольшую сумму очков могли получить все команды вместе?
14. Умножение. Петя перемножил несколько последовательных натуральных чисел, начиная с 10. Вася перемножил столько же последовательных натуральных чисел, начиная с 11. Результат Васи оказался в 7 раз больше, чем у Пети. Сколько чисел перемножил каждый из них?
15. Гири. Учитель разложил на чашечных весах гири: 1, 2, 3, \(\ldots\), 20 граммов так, что одна чаша перевесила. Затем он убирал по одной гире, и каждый раз перевешивала другая чаша весов. Какая гиря осталась последней? Сколько есть вариантов ответа?
16. Делимость. Придумайте число, которое делится на 2026 и сумма его цифр делится на 2026. Достаточно написать ответ.

Решения

1. Задача. За сутки часы уходят вперёд на $15$ секунд. В $10$ часов утра их поставили правильно. На сколько секунд они уйдут вперёд к $6$ часам вечера?
   Решение. От $10$ часов утра до $6$ часов вечера прошло $8$ часов. Это треть суток, потому что $24:8=3$. Значит, часы уйдут вперёд на $15:3=5$ секунд.
   Ответ. На $5$ секунд.
   
2. Задача. Первый учитель сказал, что на экзамен придёт меньше $20$ учеников, второй – меньше $21$, третий – меньше $23$. Верными оказались ровно два утверждения. Сколько учеников пришло?
   Решение. Если пришло меньше $20$ учеников, то верны сразу все три утверждения. Если пришёл $21$ или $22$ ученика, то верно только третье утверждение. Чтобы были верны ровно два утверждения, число учеников должно быть не меньше $20$, но меньше $21$. Следовательно, пришло $20$ учеников.
   Ответ. $20$ учеников.
   
3. Задача. От прямоугольника последовательно отрезали три квадрата, каждый раз выбирая квадрат со стороной, равной меньшей стороне оставшегося прямоугольника. После этого оставшийся прямоугольник разрезали на три квадрата со стороной $1$ см. Найти возможные стороны исходного прямоугольника.
   Решение. Последний прямоугольник имел размеры $1$ см и $3$ см. До последнего отрезания квадрата прямоугольник мог иметь размеры $1\times 4$ или $3\times 4$. Ещё одним шагом назад получаем прямоугольники $1\times 5$, $4\times 5$, $3\times 7$, $4\times 7$. Перед самым первым отрезанием возможны размеры \[ 1\times 6,\quad 5\times 6,\quad 4\times 9,\quad 5\times 9, \] \[ 3\times 10,\quad 7\times 10,\quad 4\times 11,\quad 7\times 11. \] Каждый из этих прямоугольников действительно после трёх описанных отрезаний превращается в прямоугольник $1\times 3$.
   Ответ. Возможны размеры $1\times 6$, $5\times 6$, $4\times 9$, $5\times 9$, $3\times 10$, $7\times 10$, $4\times 11$, $7\times 11$ см.
   
4. Задача. На счётчике автомобиля появилось число-палиндром $25952$. Через $1$ час $20$ минут появилось следующее число-палиндром. Найти скорость автомобиля.
   Решение. Следующий палиндром после числа $25952$ равен $26062$. За указанное время автомобиль проехал \[ 26062-25952=110 \] км. $1$ час $20$ минут – это $80$ минут. Значит, за $60$ минут автомобиль проезжает \[ 110:80\cdot 60=82{,}5 \] км.
   Ответ. $82{,}5$ км/ч.
   
5. Задача. Каждый мальчик получил две конфеты и один пирожок, а каждая девочка – одну конфету и три пирожка. Общий вес угощений у мальчиков и девочек одинаков. Мальчиков было в два раза больше, чем девочек. Во сколько раз пирожок тяжелее конфеты?
   Решение. Пусть девочек было несколько человек, тогда мальчиков было вдвое больше. На каждые одну девочку приходились два мальчика. Два мальчика получили вместе $4$ конфеты и $2$ пирожка, а одна девочка – $1$ конфету и $3$ пирожка. Так как общий вес одинаков, один пирожок весит столько же, сколько $4-1=3$ конфеты.
   Ответ. В $3$ раза.
   
6. Задача. На окраску пола размером $6$ м на $5$ м ушло $5$ кг краски. Сколько краски потребуется для пола размером $15$ м на $8$ м?
   Решение. Площадь первого пола равна $6\cdot 5=30$ м$^2$, а площадь второго – $15\cdot 8=120$ м$^2$. Второй пол имеет площадь в $120:30=4$ раза больше. Значит, краски понадобится $5\cdot 4=20$ кг.
   Ответ. $20$ кг.
   
7. Задача. Указать на данной развёртке куба расположение и направление букв У и Р.
   Решение. Если сложить развёртку так, чтобы буква А оказалась на передней грани в показанном положении, правая грань получится из крайнего левого квадрата развёртки. Верхняя грань получится из квадрата, расположенного под третьим квадратом горизонтального ряда. Буквы нужно повернуть так, как показано ниже.
   
   Ответ. Буква Р находится в крайнем левом квадрате, а буква У – в нижнем квадрате, прикреплённом к третьему квадрату ряда.
   
8. Задача. Расстояние от Земли до Солнца равно примерно $150$ млн км, а диаметр Земли – примерно $13$ тыс. км. Землю изобразили кружком диаметром $13$ см. На каком расстоянии от него нужно изобразить Солнце?
   Решение. $13$ см на рисунке соответствуют $13000$ км, значит $1$ см соответствует $1000$ км. Тогда расстоянию $150000000$ км на рисунке соответствует \[ 150000000:1000=150000 \] см. Переведём в метры: \[ 150000:100=1500 \] м.
   Ответ. $1500$ м.
   
9. Задача. Найти одно решение ребуса \[ Л2Ш=Л\cdotИ\cdotЦ\cdotЕ\cdot Й, \] где разные буквы обозначают разные цифры.
   Решение. Возьмём $Л=4$, $И=1$, $Ц=3$, $Е=5$, $Й=7$, $Ш=0$. Все эти цифры различны. Тогда \[ Л2Ш=420, \] а \[ 4\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420. \] Следовательно, равенство выполнено.
   Ответ. $420=4\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7$.
   
10. Задача. Привести пример двух чисел, сумма которых равна $168$, а наименьшее общее кратное равно $1001$.
    Решение. Разложим число $1001$ на множители: \[ 1001=7\cdot 11\cdot 13. \] Возьмём числа $77=7\cdot 11$ и $91=7\cdot 13$. Их сумма равна $77+91=168$, а для общего кратного нужны множители $7$, $11$ и $13$, поэтому наименьшее общее кратное равно $1001$.
    Ответ. $77$ и $91$.
    
11. Задача. Гирлянда состоит из $50$ красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой есть синяя. Найти наибольшее возможное число красных лампочек.
    Решение. Одна синяя лампочка может находиться рядом не более чем с двумя красными. Поэтому число красных лампочек не может быть больше удвоенного числа синих. Если бы красных было $34$, то синих было бы только $16$, а они могли бы находиться рядом не более чем с $32$ красными лампочками. Значит, красных не больше $33$. Такое количество возможно: можно $16$ раз повторить тройку «синяя, красная, красная», а затем поставить ещё «синяя, красная».
    Ответ. $33$ красные лампочки.
    
12. Задача. Петя и Вася одновременно побежали в одном направлении по кольцевой дорожке. Через $5$ минут Вася был впереди Пети на $50$ м, а ещё через $5$ минут оказался позади Пети на $50$ м. Найти длину дорожки.
    Решение. За первые $5$ минут Вася выиграл у Пети $50$ м. Значит, за следующие $5$ минут он выиграл ещё $50$ м, а всего за $10$ минут – $100$ м. После этого Вася оказался на $50$ м позади Пети, то есть до Пети по направлению движения оставалось ещё $50$ м. Поэтому длина полного круга равна \[ 100+50=150 \] м.
    Ответ. $150$ м.
    
13. Задача. Среди пяти футбольных команд каждая сыграла с каждой один раз. За победу дают $3$ очка, за ничью – по $1$ очку каждой команде. Какую наибольшую сумму очков могли получить все команды?
    Решение. Всего было сыграно \[ 4+3+2+1=10 \] матчей. В матче без ничьей команды вместе получают $3$ очка, а при ничьей – только $2$ очка. Поэтому для наибольшей суммы все матчи должны закончиться победой одной из команд. Тогда общая сумма равна $10\cdot 3=30$ очкам.
    Ответ. $30$ очков.
    
14. Задача. Петя перемножил несколько последовательных натуральных чисел, начиная с $10$. Вася перемножил столько же последовательных чисел, начиная с $11$. Результат Васи оказался в $7$ раз больше. Сколько чисел перемножил каждый?
    Решение. Пусть каждый перемножил $n$ чисел. В произведении Пети были числа от $10$ до $9+n$, а в произведении Васи – от $11$ до $10+n$. После сокращения одинаковых множителей отношение результата Васи к результату Пети равно \[ \frac{10+n}{10}. \] По условию это отношение равно $7$, поэтому \[ 10+n=70. \] Отсюда $n=60$.
    Ответ. По $60$ чисел.
    
15. Задача. На чашечных весах лежали гири массой от $1$ до $20$ г. Одна чаша была тяжелее. После снятия каждой следующей гири перевешивала другая чаша. Какая гиря могла остаться последней и сколько существует вариантов?
    Решение. Перед каждым снятием гири одна чаша тяжелее другой хотя бы на $1$ г, потому что массы всех гирь выражаются целыми числами граммов. Чтобы после снятия гири перевесила другая чаша, масса снятой гири должна быть больше этой разницы. Значит, снимать можно только гири массой не меньше $2$ г. Гирю массой $1$ г снять невозможно, поэтому именно она останется последней. Такой порядок возможен: на одну чашу положим нечётные гири, а на другую – чётные. Затем будем снимать гири $20$, $19$, $18$, $17$ и так далее до $2$; после каждого снятия перевешивает другая чаша.
    Ответ. Последней останется гиря массой $1$ г; вариант только один.
    
16. Задача. Придумать число, которое делится на $2026$ и сумма цифр которого тоже делится на $2026$.
    Решение. Возьмём число, полученное записью блока $2026$ подряд $1013$ раз. Его можно записать так: \[ N=2026\cdot\left(1+10^4+10^8+\ldots+10^{4\cdot 1012}\right). \] Поэтому число $N$ делится на $2026$. Сумма цифр одного блока равна $2+0+2+6=10$, а сумма цифр всего числа равна \[ 10\cdot 1013=10130=2026\cdot 5. \] Следовательно, сумма цифр тоже делится на $2026$.
    Ответ. Например, число, состоящее из $1013$ записанных подряд блоков $2026$.