Лицей №1580 из 6 в 7 класс Демоверсия

8. Найдите значение выражения \[ -4\frac{5}{6}+\left(-11\frac{4}{9}-(-3{,}6):\frac{9}{35}\right). \]
9. Решите уравнение \[ \frac{1}{2}(8x-7)-1{,}2(5x-3)=3{,}5-0{,}3x. \]
10. Решите уравнение \[ \frac{\left|2{,}88:(-4{,}8)\right|+1{,}2}{0{,}6y+0{,}1} = \frac{\left|-1{,}5\cdot 9\right|}{0{,}5y}. \]
11. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна вторая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна первая труба?
12. Мальчик прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал $0{,}4$ книги и ещё 8 страниц, во второй день – $60\%$ остатка и ещё 4 страницы, а в третий день – $\frac{3}{4}$ нового остатка и последние 3 страницы. Сколько страниц в книге?
13. Длину прямоугольника уменьшили на $15{,}5\%$, а ширину увеличили на $20\%$. На сколько процентов изменилась площадь прямоугольника?
14. В трёхзначном числе первую цифру увеличили на 3, вторую – на 4, третью – на 5. В результате число увеличилось в 2 раза. Найдите исходное число.
15. На окраску всех граней одного кубика нужно 12 граммов краски. Сколько потребуется краски для того, чтобы покрыть со всех сторон, включая нижнюю грань, тремя слоями краски фигуру, изображённую на рисунке (задняя стенка – плоская)?
    
16. Сколько можно составить девятизначных нечётных чисел из цифр числа 438651092, если цифры в числе не повторяются?
17. Когда идёт дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка – в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идёт дождь, а сыр лежит на столе. Где сейчас мышка?

Решения задач

1. Задача. Найти значение выражения \[ -4\frac{5}{6}+\left(-11\frac{4}{9}-(-3{,}6):\frac{9}{35}\right). \]
   Решение. Сначала выполним деление: \[ (-3{,}6):\frac{9}{35} =-\frac{18}{5}\cdot\frac{35}{9} =-14. \] Тогда выражение в скобках равно \[ -11\frac{4}{9}-(-14) =-\frac{103}{9}+\frac{126}{9} =\frac{23}{9}. \] Теперь \[ -\frac{29}{6}+\frac{23}{9} =-\frac{87}{18}+\frac{46}{18} =-\frac{41}{18} =-2\frac{5}{18}. \]
   Ответ. $-2\frac{5}{18}$.
   
2. Задача. Решить уравнение \[ \frac{1}{2}(8x-7)-1{,}2(5x-3)=3{,}5-0{,}3x. \]
   Решение. Раскроем скобки: \[ 4x-3{,}5-6x+3{,}6=3{,}5-0{,}3x. \] Приведём подобные слагаемые: \[ -2x+0{,}1=3{,}5-0{,}3x. \] Перенесём слагаемые: \[ -1{,}7x=3{,}4. \] Отсюда \[ x=3{,}4:(-1{,}7)=-2. \]
   Ответ. $x=-2$.
   
3. Задача. Решить уравнение \[ \frac{\left|2{,}88:(-4{,}8)\right|+1{,}2}{0{,}6y+0{,}1} = \frac{\left|-1{,}5\cdot 9\right|}{0{,}5y}. \]
   Решение. Знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $y\ne 0$ и $y\ne-\frac{1}{6}$. Вычислим числители: \[ \left|2{,}88:(-4{,}8)\right|+1{,}2 =|-0{,}6|+1{,}2=1{,}8, \] \[ |-1{,}5\cdot 9|=|-13{,}5|=13{,}5. \] Получаем \[ \frac{1{,}8}{0{,}6y+0{,}1}=\frac{13{,}5}{0{,}5y}. \] Перемножим крест-накрест: \[ 1{,}8\cdot 0{,}5y=13{,}5(0{,}6y+0{,}1), \] \[ 0{,}9y=8{,}1y+1{,}35, \] \[ -7{,}2y=1{,}35, \] \[ y=-0{,}1875=-\frac{3}{16}. \] Полученное значение не обращает знаменатели в нуль.
   Ответ. $y=-\frac{3}{16}$.
   
4. Задача. Две трубы вместе наполняют бассейн за $3$ часа $36$ минут, а вторая труба одна наполняет его за $6$ часов. За сколько часов бассейн наполнит первая труба?
   Решение. $3$ часа $36$ минут равны $3\frac{3}{5}=\frac{18}{5}$ часа. За один час две трубы вместе наполняют \[ 1:\frac{18}{5}=\frac{5}{18} \] бассейна. Вторая труба за час наполняет $\frac{1}{6}$ бассейна. Значит, первая труба за час наполняет \[ \frac{5}{18}-\frac{1}{6} =\frac{5}{18}-\frac{3}{18} =\frac{1}{9} \] бассейна. Поэтому одна первая труба наполнит бассейн за $9$ часов.
   Ответ. За $9$ часов.
   
5. Задача. Мальчик прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал $0{,}4$ книги и ещё $8$ страниц, во второй – $60\%$ оставшихся страниц и ещё $4$ страницы, а в третий – $\frac{3}{4}$ нового остатка и последние $3$ страницы. Сколько страниц было в книге?
   Решение. Будем рассуждать с конца. В третий день после чтения $\frac{3}{4}$ остатка оставались последние $3$ страницы. Значит, эти $3$ страницы составляли $\frac{1}{4}$ остатка, поэтому перед третьим днём оставалось \[ 3\cdot 4=12 \] страниц. Во второй день после чтения $60\%$ оставалось $40\%$ страниц, из которых мальчик прочитал ещё $4$ страницы. Следовательно, $40\%$ прежнего остатка составляли $12+4=16$ страниц, а весь этот остаток был равен \[ 16:4\cdot 10=40 \] страницам. После первого дня осталось $60\%$ книги без ещё прочитанных $8$ страниц. Значит, $60\%$ книги составляют $40+8=48$ страниц. Тогда вся книга содержит \[ 48:6\cdot 10=80 \] страниц.
   Ответ. $80$ страниц.
   
6. Задача. Длину прямоугольника уменьшили на $15{,}5\%$, а ширину увеличили на $20\%$. На сколько процентов изменилась его площадь?
   Решение. После уменьшения длина составляет $100\%-15{,}5\%=84{,}5\%$ первоначальной длины. Новая ширина составляет $120\%$ первоначальной ширины. Поэтому новая площадь составляет \[ 0{,}845\cdot 1{,}2=1{,}014 \] первоначальной площади, то есть $101{,}4\%$. Следовательно, площадь увеличилась на \[ 101{,}4\%-100\%=1{,}4\%. \]
   Ответ. Площадь увеличилась на $1{,}4\%$.
   
7. Задача. В трёхзначном числе первую цифру увеличили на $3$, вторую – на $4$, третью – на $5$. В результате число увеличилось в $2$ раза. Найти исходное число.
   Решение. При увеличении первой цифры на $3$ число увеличивается на $300$, при увеличении второй цифры на $4$ – ещё на $40$, а при увеличении третьей цифры на $5$ – ещё на $5$. Значит, всего число увеличилось на \[ 300+40+5=345. \] Пусть исходное число равно $x$. По условию \[ x+345=2x. \] Отсюда $x=345$. Проверка: $345+345=690=2\cdot 345$.
   Ответ. $345$.
   
8. Задача. На окраску всех граней одного кубика нужно $12$ г краски. Найти, сколько краски потребуется, чтобы со всех сторон, включая нижнюю грань, покрасить изображённую фигуру в три слоя. Задняя стенка фигуры плоская.
   Решение. Благодаря условию о плоской задней стенке видно, что в задней части находятся $6$ кубиков, расположенных в виде прямоугольника $3\times 2$. Ещё один кубик стоит сверху, а один выступает вперёд. Всего в фигуре $8$ кубиков. Если бы они не соприкасались, у них было бы $8\cdot 6=48$ граней. В прямоугольнике $3\times 2$ есть $7$ мест соприкосновения кубиков: $4$ по горизонтали и $3$ по вертикали. Верхний и выступающий кубики дают ещё по одному месту соприкосновения. Всего имеется $9$ общих граней, и каждое соприкосновение скрывает две грани. Поэтому снаружи находится \[ 48-9\cdot 2=30 \] граней. На одну грань одного кубика требуется $12:6=2$ г краски. Для окраски фигуры в три слоя потребуется \[ 30\cdot 2\cdot 3=180 \] г краски.
   Ответ. $180$ г.
   
9. Задача. Найти количество девятизначных нечётных чисел, которые можно составить из цифр числа $438651092$, не повторяя цифры.
   Решение. В данном числе девять разных цифр: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$. Последняя цифра нечётного числа может быть равна $1$, $3$, $5$ или $9$, поэтому для неё есть $4$ варианта. После этого для первой цифры остаётся $7$ ненулевых вариантов. Оставшиеся семь цифр можно расположить на средних местах \[ 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040 \] способами. Поэтому всего чисел \[ 4\cdot 7\cdot 5040=141120. \]
   Ответ. $141120$.
   
10. Задача. Когда идёт дождь, кошка находится в комнате или в подвале. Если кошка в комнате, то мышка находится в норке, а сыр – в холодильнике. Если сыр находится на столе, а кошка – в подвале, то мышка находится в комнате. Сейчас идёт дождь, а сыр лежит на столе. Где находится мышка?
    Решение. Если бы кошка находилась в комнате, то сыр лежал бы в холодильнике. Но сыр лежит на столе, значит, кошка находится не в комнате, а в подвале. По условию, когда сыр на столе, а кошка в подвале, мышка находится в комнате.
    Ответ. Мышка находится в комнате.