Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2020 год
Печать
youit.school ©
7 класс Школа 1580 2020 год
- Найдите значение выражения: \[ \bigl(1{,}25 - 1\tfrac{1}{3}\bigr)\;\cdot\;\tfrac{5}{7} \;-\; 3\tfrac{1}{5} : (-0{,}8) \]
- Решите уравнение: \[ 2 \cdot (0{,}3x - 5) - 2{,}25 = 2 \cdot (-0{,}4x + 2) + 2{,}45. \]
- Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
- \(\;*540*\) на 9:;
- \(\;*431*\) на 12:.
- Детский оздоровительный лагерь «Солнышко» имеет форму прямоугольника, его ширина меньше длины на 350 м, а длина относится к ширине как 20 : 7. За сколько минут сторож может обойти вдоль забора лагерь, если его скорость 6 км/ч?
- Если некоторое число уменьшить на 35%, то получится 91. На сколько процентов надо увеличить это число, чтобы получить 189?
- Для нумерации страниц в книге «Занимательная математика» потребовалось 1428 цифр. Сколько страниц в книге?
- Деревянный кубик размером $5\times5\times5$ покрасили зелёной краской. Затем его распилили на 125 одинаковых кубиков со стороной равной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых зелёной краской покрашены ровно две стороны?
- Через два крана бак наполнился водой за 9 минут. Если бы был открыт только первый кран, то бак наполнился бы водой за 36 минут. За сколько минут наполнился бы бак водой через один второй кран?
- Найдите два числа, если их сумма равна 352, а наибольший общий делитель равен 44.
- За выступление группы гимнастов 30% судей поставили по 5 баллов, 40% судей — по 4 балла, двое судей — по 3 балла, остальные — по 2 балла. Сколько было судей, если средний балл за выступление оказался равен 3,9?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
- Задача. Найти значение выражения $\left(1{,}25-1\tfrac{1}{3}\right)\cdot\tfrac{5}{7}-3\tfrac{1}{5}:(-0{,}8)$.
Решение. Представим числа в виде обыкновенных дробей: $1{,}25=\tfrac{5}{4}$, $1\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}$, $3\tfrac{1}{5}=\tfrac{16}{5}$, $0{,}8=\tfrac{4}{5}$. Тогда $\tfrac{5}{4}-\tfrac{4}{3}=\tfrac{15}{12}-\tfrac{16}{12}=-\tfrac{1}{12}$, поэтому $\left(-\tfrac{1}{12}\right)\cdot\tfrac{5}{7}=-\tfrac{5}{84}$. Далее $\tfrac{16}{5}:(-\tfrac{4}{5})=\tfrac{16}{5}\cdot\tfrac{5}{-4}=-4$. Значит, всё выражение равно $-\tfrac{5}{84}-(-4)=4-\tfrac{5}{84}=\tfrac{331}{84}=3\tfrac{79}{84}$.
Ответ. $3\tfrac{79}{84}$. - Задача. Решить уравнение $2\cdot(0{,}3x-5)-2{,}25=2\cdot(-0{,}4x+2)+2{,}45$.
Решение. Раскроем скобки: $0{,}6x-10-2{,}25=-0{,}8x+4+2{,}45$. Получаем $0{,}6x-12{,}25=-0{,}8x+6{,}45$. Перенесём члены с $x$ влево, а числа вправо: $0{,}6x+0{,}8x=6{,}45+12{,}25$. Тогда $1{,}4x=18{,}7$, откуда $x=\dfrac{18{,}7}{1{,}4}=\dfrac{187}{14}=13\tfrac{5}{14}$.
Ответ. $x=13\tfrac{5}{14}$. - Задача. Какую одну и ту же цифру нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число $*540*$ делилось на $9$, а число $*431*$ делилось на $12$?
Решение. Пусть вместо каждой звёздочки стоит цифра $a$. Тогда число $a540a$ должно делиться на $9$, значит сумма его цифр делится на $9$: $a+5+4+0+a=2a+9$. Отсюда $2a+9$ делится на $9$, значит $2a$ делится на $9$. Из цифр от $0$ до $9$ подходит только $a=0$ или $a=9$. Теперь рассмотрим число $a431a$. Чтобы оно делилось на $12$, оно должно делиться на $3$ и на $4$. При $a=0$ получаем число $04310$, оно не делится на $4$, так как число 10 на $4$ не делится. При $a=9$ получаем число $94319$, оно тоже не делится на $4$, так как число 19 на $4$ не делится. Значит, такой цифры нет.
Ответ. Такой цифры не существует. - Задача. Детский лагерь имеет форму прямоугольника. Ширина меньше длины на 350 м, а длина относится к ширине как $20:7$. За сколько минут сторож обойдёт вдоль забора весь лагерь, если его скорость $6$ км/ч?
Решение. Пусть длина равна $20$ частям, а ширина равна $7$ частям. Тогда разность составляет $20-7=13$ частей, а по условию это 350 м. Значит, одна часть равна $\dfrac{350}{13}$ м. Тогда длина равна $20\cdot\dfrac{350}{13}=\dfrac{7000}{13}$ м, а ширина равна $7\cdot\dfrac{350}{13}=\dfrac{2450}{13}$ м. Периметр лагеря равен $2\left(\dfrac{7000}{13}+\dfrac{2450}{13}\right)=\dfrac{18900}{13}$ м. Скорость сторожа $6$ км/ч, то есть $6000$ м/ч или $100$ м/мин, поэтому время обхода равно $\dfrac{18900/13}{100}=\dfrac{189}{13}=14\tfrac{7}{13}$ мин.
Ответ. $14\tfrac{7}{13}$ мин. - Задача. Если некоторое число уменьшить на $35\%$, то получится $91$. На сколько процентов надо увеличить это число, чтобы получить $189$?
Решение. После уменьшения на $35\%$ остаётся $65\%$ числа. Значит, $65\%$ исходного числа равны $91$, то есть всё число равно $91:0{,}65=140$. Теперь нужно получить из $140$ число $189$. Приращение равно $189-140=49$. Найдём, какую часть составляет это приращение от исходного числа: $\dfrac{49}{140}=0{,}35=35\%$.
Ответ. На $35\%$. - Задача. Для нумерации страниц в книге потребовалось 1428 цифр. Сколько страниц в книге?
Решение. На нумерацию страниц с 1 по 9 ушло $9$ цифр. На страницы с 10 по 99 ушло $90\cdot2=180$ цифр. Всего до 99-й страницы израсходовано $9+180=189$ цифр. Осталось $1428-189=1239$ цифр на трёхзначные номера. Каждый такой номер содержит 3 цифры, значит трёхзначных страниц было $1239:3=413$. Тогда последняя страница имеет номер $99+413=512$.
Ответ. 512 страниц. - Задача. Куб размером $5\times5\times5$ покрасили снаружи зелёной краской и распилили на 125 маленьких кубиков со стороной 1. Сколько маленьких кубиков имеют ровно две окрашенные стороны?
Решение. Ровно две окрашенные стороны имеют только те маленькие кубики, которые лежат на рёбрах большого куба, но не находятся в вершинах. У большого куба 12 рёбер. На каждом ребре после исключения двух угловых кубиков остаётся $5-2=3$ таких кубика. Значит, всего получится $12\cdot3=36$ кубиков.
Ответ. 36. - Задача. Через два крана бак наполняется за 9 минут. Если бы был открыт только первый кран, бак наполнился бы за 36 минут. За сколько минут наполнит бак один второй кран?
Решение. За одну минуту оба крана вместе наполняют $\tfrac{1}{9}$ бака. Первый кран за минуту наполняет $\tfrac{1}{36}$ бака. Тогда второй кран за минуту наполняет $\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{36}=\tfrac{4}{36}-\tfrac{1}{36}=\tfrac{3}{36}=\tfrac{1}{12}$ бака. Значит, один второй кран наполнит весь бак за 12 минут.
Ответ. 12 минут. - Задача. Найти два числа, если их сумма равна 352, а их наибольший общий делитель равен 44.
Решение. Если наибольший общий делитель двух чисел равен 44, то оба числа делятся на 44. Пусть эти числа равны $44a$ и $44b$, где числа $a$ и $b$ взаимно простые. Тогда $44a+44b=352$, откуда $a+b=8$. Нужно найти взаимно простые числа с суммой 8. Подходят пары $1$ и $7$, а также $3$ и $5$. Тогда исходные числа могут быть $44$ и $308$ или $132$ и $220$.
Ответ. $44$ и $308$; $132$ и $220$. - Задача. За выступление группы гимнастов $30\%$ судей поставили по 5 баллов, $40\%$ судей поставили по 4 балла, двое судей поставили по 3 балла, остальные поставили по 2 балла. Средний балл оказался равен $3{,}9$. Сколько было судей?
Решение. Пусть всего было $n$ судей. Тогда оценку 5 поставили $0{,}3n$ судей, оценку 4 поставили $0{,}4n$ судей, оценку 3 поставили 2 судьи, а оценку 2 поставили остальные: $n-0{,}3n-0{,}4n-2=0{,}3n-2$. Составим выражение для суммы всех баллов: $5\cdot0{,}3n+4\cdot0{,}4n+3\cdot2+2(0{,}3n-2)$. Это равно $1{,}5n+1{,}6n+6+0{,}6n-4=3{,}7n+2$. По условию средний балл равен $3{,}9$, значит $\dfrac{3{,}7n+2}{n}=3{,}9$. Тогда $3{,}7n+2=3{,}9n$, откуда $2=0{,}2n$, значит $n=10$.
Ответ. 10 судей.
Материалы школы Юайти