Лицей №239 из 8 в 9 класс 2010 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2010 год

1. Вычислите: $9552 \cdot 9550-9551^{2}$
2. Разложите на множители: $6 y^{2}+11 x y-2 x^{2}$
3. Сократите дробь: $\frac{x^{3}-2 x^{2}-5 x+6}{x^{2}-4 x+3}$
4. Найдите значение выражения: $\sqrt{21-8 \sqrt{5}}+\sqrt{5}$
5. Решите уравнение: $\left(x^{2}+x+1\right)\left(2 x^{2}+2 x+1\right)=10$
6. Решите уравнение: $\left|x^{2}-17\right|=8$
7. Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}-9 y^{2}+x-3 y= \\ 4 x+3 y=10 \end{array}\right. $$
8. Решите неравенство: $\frac{(x+1)^{2}\left(x^{2}+x-2\right)}{x^{2}-3 x+2} \geq 0$
9. Постройте график функции $y=\frac{x^{2}-x-2}{x-2}$
10. Решите уравнение: $x^{2}+2(1+\sqrt{8}) x+8 \sqrt{2}=0$
11. Определите, при каких значениях параметра $k$ уравнение $k x^{2}+2(k+1) x+k+3=0$ имеет единственное решение.
12. Из $A$ в $B$ одновременно выехали 2 автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 33 км/час, а вторую половину пути - со скоростью на 22 км/час больше скорости первого, в результате чего прибыл в $B$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
13. В треугольнике $A B C$ углы $B$ и $C$ равны соответственно $64^{\circ}$ и $24^{\circ} .$ Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины $A .$
14. На стороне $A D$ параллелограмма $A B C D$ отметили точку М. Найдите площадь треугольника $M C B$, если площадь параллелограмма равна $42 \mathrm{~cm}^{2} .$
15. Расстояние от вершины квадрата до середины стороны, не содержащей эту вершину, равно 4 см. Найдите площадь квадрата.
16. В прямоугольный треугольник вписана окружность, которая точкой касания делит гипотенузу на 2 части - 4 см и 6 см. Найдите радиус окружности.

Решения задач

1. Вычислите: $9552 \cdot 9550 - 9551^{2}$
   Решение:
   Обозначим $a = 9551$. Тогда:
   $9552 \cdot 9550 = (a + 1)(a - 1) = a^{2} - 1$
   $a^{2} - 1 - a^{2} = -1$
   Ответ: $-1$.
2. Разложите на множители: $6 y^{2} + 11 x y - 2 x^{2}$
   Решение:
   Представим трёхчлен в виде произведения:
   $6y^{2} + 11xy - 2x^{2} = (3y - x)(2y + 2x)$
   Проверка раскрытием скобок:
   $(3y - x)(2y + 2x) = 6y^{2} + 6xy - 2xy - 2x^{2} = 6y^{2} + 4xy - 2x^{2}$
   Корректируем множители:
   $6y^{2} + 11xy - 2x^{2} = (6y - x)(y + 2x)$
   Ответ: $(6y - x)(y + 2x)$.
3. Сократите дробь: $\frac{x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 4x + 3}$
   Решение:
   Разложим числитель и знаменатель:
   Числитель: $x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$
   Знаменатель: $x^{2} - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$
   Сокращаем общие множители:
   $\frac{(x - 1)(x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x - 3)} = x + 2$ при $x \neq 1, 3$
   Ответ: $x + 2$ при $x \neq 1, 3$.
4. Найдите значение выражения: $\sqrt{21 - 8 \sqrt{5}} + \sqrt{5}$
   Решение:
   Представим $\sqrt{21 - 8\sqrt{5}}$ как $4 - \sqrt{5}$:
   $(4 - \sqrt{5})^{2} = 16 - 8\sqrt{5} + 5 = 21 - 8\sqrt{5}$
   Тогда:
   $\sqrt{21 - 8\sqrt{5}} + \sqrt{5} = (4 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} = 4$
   Ответ: $4$.
5. Решите уравнение: $\left(x^{2} + x + 1\right)\left(2x^{2} + 2x + 1\right) = 10$
   Решение:
   Замена $y = x^{2} + x$:
   $(y + 1)(2y + 1) = 10 \implies 2y^{2} + 3y - 9 = 0$
   Корни: $y = \frac{3}{2}$ и $y = -3$ (второй не подходит)
   Возвращаемся к $x$:
   $x^{2} + x - \frac{3}{2} = 0 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}$
   Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}$.
6. Решите уравнение: $\left|x^{2} - 17\right| = 8$
   Решение:
   Раскрываем модуль:
   $x^{2} - 17 = 8 \implies x = \pm 5$
   $x^{2} - 17 = -8 \implies x = \pm 3$
   Ответ: $\pm 5$, $\pm 3$.
7. Решите систему уравнений:
   \left\{\begin{array}{l} $x^{2} - 9y^{2} + x - 3y = 0$ \\ $4x + 3y = 10$ \end{array}\right.
   Решение:
   Разложим первое уравнение:
   $(x - 3y)(x + 3y + 1) = 0$
   Рассматриваем два случая:
   1) $x = 3y$: подставляем во второе уравнение:
   $4(3y) + 3y = 10 \implies y = \frac{2}{3}$, $x = 2$
   2) $x = -3y - 1$: подставляем во второе уравнение:
   $4(-3y - 1) + 3y = 10 \implies y = -\frac{14}{9}$, $x = \frac{11}{3}$
   Ответ: $(2; \frac{2}{3})$, $(\frac{11}{3}; -\frac{14}{9})$.
8. Решите неравенство: $\frac{(x + 1)^{2}(x^{2} + x - 2)}{x^{2} - 3x + 2} \geq 0$
   Решение:
   Разложим на множители:
   Числитель: $(x + 1)^{2}(x + 2)(x - 1)$
   Знаменатель: $(x - 1)(x - 2)$
   Сокращаем и анализируем знаки:
   $\frac{(x + 1)^{2}(x + 2)}{x - 2} \geq 0$ при $x \neq 1, 2$
   Метод интервалов даёт решение:
   $x \in (-\infty, -2] \cup \{-1\} \cup (2, \infty)$
   Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup \{-1\} \cup (2, \infty)$.
9. Постройте график функции $y = \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$
   Решение:
   Упростим выражение:
   $y = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = x + 1$ при $x \neq 2$
   График — прямая $y = x + 1$ с выколотой точкой $(2, 3)$
   Ответ: график прямой $y = x + 1$ с выколотой точкой при $x = 2$.
10. Решите уравнение: $x^{2} + 2(1 + \sqrt{8})x + 8\sqrt{2} = 0$
    Решение:
    Заметим, что $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$:
    Уравнение принимает вид:
    $(x + 2\sqrt{2})^{2} = (2\sqrt{2} - 1)^{2}$
    Корни:
    $x = -2$, $x = -4\sqrt{2}$
    Ответ: $-2$, $-4\sqrt{2}$.
11. Определите, при каких значениях параметра $k$ уравнение $kx^{2} + 2(k + 1)x + k + 3 = 0$ имеет единственное решение.
    Решение:
    Дискриминант: $D = 4(k + 1)^{2} - 4k(k + 3) = -4k + 4$
    Условие $D = 0$: $k = 1$
    При $k = 0$ уравнение становится линейным с единственным решением.
    Ответ: $k = 0$, $k = 1$.
12. Найдите скорость первого автомобиля, если второй автомобиль проехал половину пути со скоростью 33 км/ч, а вторую половину — на 22 км/ч быстрее первого, и оба прибыли одновременно. Расстояние между пунктами $S$.
    Решение:
    Время первого автомобиля: $\frac{S}{v}$
    Время второго: $\frac{S}{2 \cdot 33} + \frac{S}{2(v + 22)}$
    Уравнение:
    $\frac{1}{v} = \frac{1}{66} + \frac{1}{2(v + 22)}$
    Решение: $v = 44$ км/ч
    Ответ: 44 км/ч.
13. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины $A$ в треугольнике $ABC$ с углами $B = 64^{\circ}$, $C = 24^{\circ}$.
    Решение:
    Угол $A = 180^{\circ} - 64^{\circ} - 24^{\circ} = 92^{\circ}$
    Биссектриса делит угол $A$ на $46^{\circ}$
    Высота образует угол $90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ}$ с основанием
    Разность углов: $46^{\circ} - 26^{\circ} = 20^{\circ}$
    Ответ: $20^{\circ}$.
14. Найдите площадь треугольника $MCB$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $42 \text{ см}^{2}$.
    Решение:
    Площадь треугольника $MCB$ равна половине площади параллелограмма, так как основание и высота совпадают:
    $S_{MCB} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}^{2}$
    Ответ: 21 см².
15. Найдите площадь квадрата, если расстояние от вершины до середины противоположной стороны равно 4 см.
    Решение:
    Сторона квадрата $a$, расстояние от вершины до середины противоположной стороны:
    $\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} = 4 \implies a = \frac{8}{\sqrt{5}}$
    Площадь: $a^{2} = \frac{64}{5} = 12.8 \text{ см}^{2}$
    Ответ: $\frac{64}{5}$ см².
16. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если точка касания делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см.
    Решение:
    Гипотенуза $c = 4 + 6 = 10$ см
    Катеты $a = 6$ см, $b = 8$ см
    Радиус вписанной окружности:
    $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ см
    Ответ: 2 см.