Открывается в новой вкладке
8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegramMAX
Или задайте вопрос через форму:

Мы всегда на связи

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 5 в 6 класс 22 марта 2024

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.2024

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!

Задания вступительного экзамена

Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


Вариант 1 (переход 5 $\to$ 6 класс)


Письменная математика


22 марта 2024

  1. Любители. Половина команды – любители физики, а другая половина – математики. Когда 4 любителя физики перешли в любители математики, то любителей математики стало вдвое больше, чем любителей физики. Сколько учеников в этой команде?
  2. Разрезы. На большом круглом торте сделали 40 прямых разрезов от края до края, проходящих через центр торта. Сколько кусков получилось?
  3. Площадь. На одном ребре куба \(3\times 3\times 3\)~см убрали один кубик в центре ребра. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры (включая впадину).
  4. Время. Самолет вылетел из города А в 12:00 и приземлился в Б в 15:00 того же дня (всюду указано местное время). В полночь он вылетел из Б и приземлился в А в 7:00 того же дня. Сколько часов длился полет от А до Б? Скорость самолета относительно земли постоянна.
  5. Шайба. Хоккеист бросил шайбу в сторону бортика (перпендикулярно бортику) и побежал вслед за ней. Пробежав четверть пути к бортику, он поймал отскочившую шайбу. Во сколько раз скорость шайбы больше скорости хоккеиста? Все скорости постоянны.
  6. Бидоны. В полных бидонах по 10~л и 17~л находится 206~л молока. Сколько всего бидонов?
  7. Часы. Часы спешат на 11 минут 12 секунд в неделю, их точно поставили в 12:00:00 в воскресенье. Какое время они покажут в ближайший понедельник в 18:00:00?
  8. Периметры. Четырехугольник, периметр которого 22~см, разрезан диагональю на 2 треугольника. Периметры треугольников 15~см и 21~см. Найдите длину указанной диагонали.
  9. Монеты. Пираты играли на золотые монеты. Проигравший отдает сопернику половину своих наличных монет и еще одну. Проиграл первый пират, в результате у него стало 16 монет, а у второго 37. Сколько монет было у каждого пирата в начале игры?
  10. Рыцари. За круглым столом сидят 14 рыцарей и лжецов, причем не все рыцари и не все лжецы. Какое наибольшее число лжецов могли произнести фразу: «Через одного от меня сидит хотя бы один рыцарь»? Рыцари говорят правду, лжецы лгут.
  11. Сумма. Напишите в ряд 5 чисел так, чтобы сумма любых двух подряд была меньше 40, а сумма всех чисел была больше 100.
  12. Пункты. Из каждого города страны выходит 3 дороги. Каждая дорога начинается и кончается в городе страны. Всего дорог 180. Сколько городов в этой стране?
  13. Цифры. Придумайте различные цифры А, Б, В, Г, чтобы сумма четырехзначных чисел АБВГ + ГВБА делилась на 14.
  14. Ряд. В ряд через запятую выписали числа с суммой цифр 22 от самого маленького до самого большого. Запишите первые два числа.
  15. Языки. В городе живут 100 ученых, среди которых 95 математиков, 75 программистов и 60 физиков. Какое наименьшее число ученых в городе может быть одновременно и математиком, и программистом, и физиком?
  16. Делимость. Расставьте в вершинах \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) фигуры с отрезками \(AB\), \(BC\), \(AC\), \(AD\), \(DC\) числа так, чтобы для вершин, соединенных отрезком, числа имели общий делитель, больший единицы, а для вершин, не соединенных отрезком, числа не имели общего делителя, кроме единицы. Запишите числа в виде произведения простых чисел. Укажите только один ответ.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


Вариант 1 (переход 5 $\to$ 6 класс)


Письменная математика. Решения


22 марта 2024

  1. Задача. Половина команды любит физику, а другая половина любит математику. После того как 4 любителя физики перешли в любители математики, любителей математики стало в 2 раза больше, чем любителей физики. Сколько учеников в команде?
    Решение. Пусть сначала любителей физики было 12 человек. Тогда любителей математики тоже было 12 человек. После перехода 4 человек получим 8 любителей физики и 16 любителей математики. Число 16 в 2 раза больше, чем 8, значит, такой вариант подходит. Значит, сначала было по 12 человек в каждой группе.
    Ответ. \(24\) ученика.
  2. Задача. На круглом торте сделали 40 прямых разрезов от края до края, и все они проходят через центр торта. Сколько кусков получилось?
    Решение. Первый разрез делит торт на 2 куска. Каждый следующий разрез тоже проходит через центр и добавляет ещё 2 новых куска. Значит, после 40 разрезов получится \(40\cdot 2\) кусков.
    Ответ. \(80\) кусков.
  3. Задача. Есть куб со стороной 3 см, составленный из маленьких кубиков со стороной 1 см. Убрали один маленький кубик, который находится в центре ребра большого куба. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры, включая впадину.
    Решение. Площадь поверхности исходного куба равна \(6\cdot 3\cdot 3=54\) кв. см. У удалённого маленького кубика на поверхности большого куба были видны 2 грани, значит, площадь уменьшилась на 2 кв. см. Но после удаления стали видны 4 новые грани соседних кубиков внутри впадины, значит, площадь увеличилась на 4 кв. см. Итак, новая площадь равна \(54-2+4=56\) кв. см.
    Ответ. \(56\) кв. см.
  4. Задача. Самолёт вылетел из города А в 12:00 и приземлился в городе Б в 15:00 того же дня по местному времени. Обратно он вылетел из Б в 0:00 и прилетел в А в 7:00 того же дня по местному времени. Сколько часов длился полёт из А в Б, если скорость самолёта относительно земли постоянна?
    Решение. По местному времени полёт из А в Б как будто длился 3 часа, а обратно как будто 7 часов. Разница во времени между городами в одну сторону прибавляется, а в другую вычитается. Поэтому если сложить 3 часа и 7 часов, разница во времени исчезнет, и получится удвоенное время полёта. Значит, удвоенное время полёта равно \(3+7=10\) часов, а само время полёта равно \(10:2=5\) часов.
    Ответ. \(5\) часов.
  5. Задача. Хоккеист бросил шайбу прямо к бортику и побежал за ней. Когда он пробежал четверть пути до бортика, он поймал шайбу после отскока. Во сколько раз скорость шайбы больше скорости хоккеиста?
    Решение. Пусть расстояние до бортика равно \(L\). Тогда хоккеист пробежал \(L:4\). Шайба пролетела до бортика \(L\), а потом обратно ещё \(3L:4\), потому что её поймали в точке, которая находится на четверти пути от старта. Значит, путь шайбы равен \(L+\frac{3L}{4}=\frac{7L}{4}\). За одно и то же время шайба прошла путь \(\frac{7L}{4}\), а хоккеист \(\frac{L}{4}\). Значит, скорость шайбы в 7 раз больше скорости хоккеиста.
    Ответ. В \(7\) раз.
  6. Задача. В полных бидонах по 10 л и по 17 л находится 206 л молока. Сколько всего бидонов?
    Решение. Подберём, сколько может быть 17-литровых бидонов. Если их 8, то в них будет \(17\cdot 8=136\) л. Тогда остаётся \(206-136=70\) л, а это ровно \(70:10=7\) бидонов по 10 л. Значит, всего бидонов \(8+7=15\). Другого подходящего варианта нет.
    Ответ. \(15\) бидонов.
  7. Задача. Часы спешат на 11 минут 12 секунд в неделю. Их точно поставили в 12:00:00 в воскресенье. Что они покажут в ближайший понедельник в 18:00:00?
    Решение. От воскресенья 12:00:00 до понедельника 18:00:00 проходит 30 часов. В неделе 168 часов. За неделю часы убегают вперёд на 11 минут 12 секунд, то есть на \(672\) секунды. За 30 часов они уйдут вперёд на \[ 672\cdot \frac{30}{168}=120 \] секунд, то есть на 2 минуты. Значит, когда на самом деле будет 18:00:00, часы покажут на 2 минуты больше.
    Ответ. 18:02:00.
  8. Задача. Четырёхугольник с периметром 22 см разрезали диагональю на два треугольника. Периметры треугольников равны 15 см и 21 см. Найдите длину диагонали.
    Решение. Если сложить периметры двух треугольников, то стороны четырёхугольника войдут один раз, а диагональ войдёт два раза. Поэтому \[ 15+21=22+2d. \] Получаем \[ 36=22+2d, \] \[ 2d=14, \] \[ d=7. \]
    Ответ. \(7\) см.
  9. Задача. Проигравший пират отдаёт сопернику половину своих монет и ещё одну монету. Проиграл первый пират. После этого у первого стало 16 монет, а у второго 37 монет. Сколько монет было у каждого в начале?
    Решение. После проигрыша у первого осталось 16 монет. Значит, до передачи у него было в 2 раза больше и ещё на 2 монеты больше: \[ 16\cdot 2+2=34. \] Значит, первый пират сначала имел 34 монеты. Он отдал \[ 34:2+1=18 \] монет. Тогда у второго пирата сначала было \[ 37-18=19 \] монет.
    Ответ. У первого было 34 монеты, у второго было 19 монет.
  10. Задача. За круглым столом сидят 14 рыцарей и лжецов, причём не все рыцари и не все лжецы. Какое наибольшее число лжецов могли произнести фразу: «Через одного от меня сидит хотя бы один рыцарь»?
    Решение. Если смотреть только на места через одно, то все 14 мест распадаются на два круга по 7 мест: один круг образуют места 1, 3, 5, \ldots, а другой – места 2, 4, 6, \ldots. Для каждого человека его фраза зависит только от людей в его круге из 7 мест. Если в таком круге есть хотя бы один лжец, то у него через одного должны сидеть только лжецы, значит, его соседи в этом круге тоже лжецы. Тогда дальше по кругу получается, что все 7 человек в этом круге – лжецы. Точно так же, если в круге есть рыцарь, то весь этот круг может состоять из рыцарей. Так как за столом есть и рыцари, и лжецы, один круг из 7 мест должен состоять из рыцарей, а другой из 7 мест – из лжецов. Значит, больше 7 лжецов быть не может. Такой пример есть: если посадить рыцарей и лжецов через одного, то условие выполняется.
    Ответ. \(7\).
  11. Задача. Напишите в ряд 5 чисел так, чтобы сумма любых двух соседних была меньше 40, а сумма всех чисел была больше 100.
    Решение. Например, подойдут числа \[ 38,\ 1,\ 38,\ 1,\ 38. \] Тогда суммы соседних чисел равны \(39\), \(39\), \(39\), \(39\), а это меньше 40. Сумма всех пяти чисел равна \[ 38+1+38+1+38=116, \] а это больше 100.
    Ответ. Например: \(38,\ 1,\ 38,\ 1,\ 38\).
  12. Задача. Из каждого города выходит 3 дороги. Всего дорог 180. Сколько городов в стране?
    Решение. Если посчитать все выходы дорог из городов, то каждая дорога будет посчитана 2 раза: по одному разу для каждого из двух городов, которые она соединяет. Значит, общее число выходов дорог равно \[ 180\cdot 2=360. \] Из каждого города выходит 3 дороги, значит, число городов равно \[ 360:3=120. \]
    Ответ. \(120\) городов.
  13. Задача. Подберите разные цифры А, Б, В, Г так, чтобы сумма четырёхзначных чисел АБВГ и ГВБА делилась на 14.
    Решение. Например, возьмём \[ A=1,\quad Б=2,\quad В=5,\quad Г=7. \] Тогда получаются числа \(1257\) и \(7521\). Их сумма равна \[ 1257+7521=8778. \] Проверим деление: \[ 8778:14=627. \] Значит, сумма делится на 14.
    Ответ. Например, \(A=1,\ Б=2,\ В=5,\ Г=7\).
  14. Задача. В ряд выписали все числа с суммой цифр 22 от самого маленького до самого большого. Запишите первые два числа.
    Решение. Самое маленькое такое число должно быть трёхзначным, потому что у двузначного числа сумма цифр не может быть больше 18. Чтобы трёхзначное число было наименьшим, первая цифра должна быть как можно меньше. Если первая цифра 4, то две остальные должны дать сумму 18, то есть это только \(9\) и \(9\). Получаем первое число \(499\). Следующее число уже должно начинаться с 5. Тогда две остальные цифры должны дать сумму 17. Самый маленький такой вариант – \(8\) и \(9\). Получаем число \(589\).
    Ответ. \(499\) и \(589\).
  15. Задача. В городе живут 100 учёных, среди них 95 математиков, 75 программистов и 60 физиков. Какое наименьшее число учёных может быть одновременно и математиком, и программистом, и физиком?
    Решение. Не математиков всего \[ 100-95=5, \] не программистов \[ 100-75=25, \] не физиков \[ 100-60=40. \] Если хотим, чтобы одновременно всеми тремя были как можно меньше учёных, надо сделать так, чтобы эти группы не пересекались. Тогда всего хотя бы в одной из трёх групп не будет \[ 5+25+40=70 \] человек. Значит, остальные \[ 100-70=30 \] человек обязательно будут и математиками, и программистами, и физиками. Такой вариант можно устроить, значит, это и есть наименьшее число.
    Ответ. \(30\).
  16. Задача. Нужно расставить в вершинах \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) числа так, чтобы у соединённых отрезком вершин был общий делитель больше 1, а у не соединённых отрезком вершин общий делитель был только 1. Достаточно привести один пример. Запишите числа в виде произведения простых чисел.
    Решение. Возьмём разные простые числа для отрезков \(AB\), \(BC\), \(AC\), \(AD\), \(DC\): \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\). Тогда можно записать так: \[ A=2\cdot 5\cdot 7,\qquad B=2\cdot 3,\qquad C=3\cdot 5\cdot 11,\qquad D=7\cdot 11. \] Тогда у \(A\) и \(B\) общий делитель 2, у \(B\) и \(C\) общий делитель 3, у \(A\) и \(C\) общий делитель 5, у \(A\) и \(D\) общий делитель 7, у \(D\) и \(C\) общий делитель 11. А вершины \(B\) и \(D\) не соединены, и у чисел \(2\cdot 3\) и \(7\cdot 11\) общих простых делителей нет.
    Ответ. Например, \[ A=2\cdot 5\cdot 7,\quad B=2\cdot 3,\quad C=3\cdot 5\cdot 11,\quad D=7\cdot 11. \]
Материалы школы Юайти

Записаться на подготовку к поступлению в школу

1. Консультация с менеджером
Менеджер уточняет, в какую школу и в какой класс поступает ребёнок, и подбирает формат подготовки.
2. Тестирование с методистом
Методист определяет уровень, находит пробелы и оценивает готовность к нужному курсу.
3. Индивидуальный учебный план
Вы получаете понятные рекомендации: с чего начать, как двигаться дальше и к какому результату придём.
envelop

Записаться на подготовку к поступлению в школу

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Поможем подобрать обучение

Оставьте телефон. Мы перезвоним, поможем выбрать подходящие занятия и ответим на вопросы

Поможем подобрать обучение

Заявка принята.

Мы свяжемся с вами