Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2012 год вариант 2

ЛИЦЕЙ №1580

2012 год

Вариант 2

1. Если раздать детям по 3 яблока, то 7 яблок останется, а чтобы раздать каждому по 5 яблок, не хватит 3 яблок. Сколько было детей?
2. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=-1, \\ 3 x-2 y=5 .\end{array}\right.$
3. Число увеличили на $20 \%$, а полученный результат уменьшили на $20 \%$. Увеличилось или уменьшилось число после этих двух изменений? На сколько процентов?
4. Вычислите: $\frac{3,25^{2}-2 \cdot 3,25 \cdot 1,75+1,75^{2}}{6,33^{2}-6,33 \cdot 2,66+1,33^{2}}$.
5. Вместо каждой из букв $C$ и $D$ подберите одночлен так, чтобы выполнялось алгебраическое равенство $5 a^{2}-C+4 a=a^{2}+D .$
6. Упростите выражение: $\left(\frac{m}{n-m}-\frac{m}{m+n}\right): \frac{16 m^{3} n}{m^{2}-n^{2}}$.
7. Выпишите наибольший корень уравнения $|2 x+15|=9$.
8. Сократите дробь $\frac{10 x^{2}-15 x y}{12 y^{2}-8 x y}$ и вычислите ее значение при $x=8, y=5$.
9. Решите уравнение $4 x-3=3 x+7$.
10. В треугольнике $A B C$ угол $A$ на $30^{\circ}$ больше угла $B$, а угол $C$ в 2 раза меньше угла $A$. Вычислите величины углов треугольника $A B C$.
11. Через вершину $B$ треугольника $A B C$ проведена прямая, параллельная прямой $A C .$ Образовавшиеся при этом три угла с вершиной $B$ относятся как $3: 10: 5$. Найдите углы треугольника $A B C$.
12. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Решения задач

1. Если раздать детям по 3 яблока, то 7 яблок останется, а чтобы раздать каждому по 5 яблок, не хватит 3 яблок. Сколько было детей?
   Решение: Пусть количество детей — \( x \), яблок — \( y \). Составим уравнения: \[ \begin{cases} 3x + 7 = y \\ 5x - 3 = y \end{cases} \] Приравняем правые части: \[ 3x + 7 = 5x - 3 \quad \Rightarrow \quad 2x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] Ответ: 5 детей.
2. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y = -1, \\ 3x - 2y = 5 \end{array} \right. \] Решение: Умножим первое уравнение на 3, второе на 2: \[ \begin{cases} 6x + 9y = -3 \\ 6x - 4y = 10 \end{cases} \] Вычтем уравнения: \[ 13y = -13 \quad \Rightarrow \quad y = -1 \] Подставим \( y = -1 \) в первое уравнение: \[ 2x + 3(-1) = -1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Ответ: \( (1; -1) \).
3. Число увеличили на \( 20% \), а полученный результат уменьшили на \( 20% \). Увеличилось или уменьшилось число после этих двух изменений? На сколько процентов?
   Решение: Пусть исходное число — 100. После увеличения: \[ 100 \cdot 1,2 = 120 \] После уменьшения: \[ 120 \cdot 0,8 = 96 \] Изменение: \[ 100 - 96 = 4% \quad \text{(уменьшение)} \] Ответ: уменьшилось на \( 4% \).
4. Вычислите: \[ \frac{3,25^{ \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1,75 + 1,75^{2}}}{6,33^{2} - 6,33 \cdot 2,66 + 1,33^{2}} \] Решение: Числитель — квадрат разности: \[ (3,25 - 1,75)^2 = 1,5^2 = 2,25 \] Знаменатель — квадрат разности: \[ (6,33 - 1,33)^2 = 5^2 = 25 \] Результат: \[ \frac{2,25}{25} = 0,09 \] Ответ: \(09 \).
5. Вместо каждой из букв \( C \) и \( D \) подберите одночлен так, чтобы выполнялось алгебраическое равенство \( 5a^{2} - C + 4a = a^{2} + D \).
   Решение: Перенесем все члены влево: \[ 5a^{2} - a^{2} - C + 4a - D = 0 \quad \Rightarrow \quad 4a^{2} + 4a = C + D \] Выберем \( C = 4a^{2} \), \( D = 4a \). Проверка: \[ 5a^{2} - 4a^{2} + 4a = a^{2} + 4a \quad \Rightarrow \quad \text{верно} \] Ответ: \( C = 4a^{2} \), \( D = 4a \).
6. Упростите выражение: \[ \left( \frac{m}{n - m} - \frac{m}{m + n} \right) : \frac{16m^{3}n}{m^{2} - n^{2}} \] Решение: Упростим числитель: \[ \frac{m(m + n) - m(n - m)}{(n - m)(m + n)} = \frac{2m^{2}}{n^{2} - m^{2}} \] Разделим на знаменатель: \[ \frac{2m^{2}}{n^{2} - m^{2}} \cdot \frac{m^{2} - n^{2}}{16m^{3}n} = -\frac{2m^{2}}{16m^{3}n} = -\frac{1}{8mn} \] Ответ: \( -\frac{1}{8mn} \).
7. Выпишите наибольший корень уравнения \( |2x + 15| = 9 \).
   Решение: \[ 2x + 15 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] \[ 2x + 15 = -9 \quad \Rightarrow \quad x = -12 \] Ответ: \( -3 \).
8. Сократите дробь \( \frac{10x^{2} - 15xy}{12y^{2} - 8xy} \) и вычислите ее значение при \( x = 8 \), \( y = 5 \).
   Решение: Вынесем общие множители: \[ \frac{5x(2x - 3y)}{4y(3y - 2x)} = -\frac{5x}{4y} \] Подставим значения: \[ -\frac{5 \cdot 8}{4 \cdot 5} = -2 \] Ответ: \( -\frac{5x}{4y} \), значение \( -2 \).
9. Решите уравнение \( 4x - 3 = 3x + 7 \).
   Решение: \[ 4x - 3x = 7 + 3 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \] Ответ: \( 10 \).
10. В треугольнике \( ABC \) угол \( A \) на \( 30^{\circ} \) больше угла \( B \), а угол \( C \) в 2 раза меньше угла \( A \). Вычислите величины углов треугольника \( ABC \).
    Решение: Пусть \( \angle B = x \), тогда: \[ \angle A = x + 30^{\circ}, \quad \angle C = \frac{x + 30^{\circ}}{2} \] Сумма углов: \[ x + (x + 30^{\circ}) + \frac{x + 30^{\circ}}{2} = 180^{\circ} \] Умножим на 2: \[ 4x + 60^{\circ} + x + 30^{\circ} = 360^{\circ} \quad \Rightarrow \quad 5x = 270^{\circ} \quad \Rightarrow \quad x = 54^{\circ} \] Ответ: \( 84^{\circ} \), \( 54^{\circ} \), \( 42^{\circ} \).
11. Через вершину \( B \) треугольника \( ABC \) проведена прямая, параллельная прямой \( AC \). Образовавшиеся при этом три угла с вершиной \( B \) относятся как \( 3:10:5 \). Найдите углы треугольника \( ABC \).
    Решение: Пусть углы при \( B \) — \( 3k \), \( 10k \), \( 5k \). Сумма: \[ 3k + 10k + 5k = 18k = 360^{\circ} \quad \Rightarrow \quad k = 20^{\circ} \] Углы треугольника: \[ \angle A = 3k = 60^{\circ}, \quad \angle C = 5k = 100^{\circ}, \quad \angle B = 10k = 200^{\circ} \quad \text{(неверно)} \] Корректный подход: углы \( A \) и \( C \) соответствуют \( 3k \) и \( 5k \), угол \( B = 10k \): \[ 3k + 5k + 10k = 18k = 180^{\circ} \quad \Rightarrow \quad k = 10^{\circ} \] Ответ: \( 50^{\circ} \), \( 100^{\circ} \), \( 30^{\circ} \).
12. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный.
    Доказательство: Пусть медиана \( AM \) к стороне \( BC \) равна \( \frac{BC}{2} \). Тогда \( AM = BM = MC \), треугольники \( ABM \) и \( ACM \) равнобедренные. Сумма углов: \[ \angle B + \angle C + \angle A = 180^{\circ} \] Угол \( A = \angle B + \angle C \). Подставим: \[ (\angle B + \angle C) + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \quad \Rightarrow \quad 2(\angle B + \angle C) = 180^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \angle A = 90^{\circ} \] Ответ: треугольник прямоугольный.