8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

Школа №1535 из 7 в 8 класс 2020 год демоверсия

Сложность:
Дата экзамена: 2020

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1535


2020 год


Демовариант



  1. (2 балла) Найти значение выражения $(0,816: 0,4) \cdot\left(\frac{2}{3}-2,5\right) .$
  2. (2 балла) Найти корень уравнения $\frac{x-2}{5}=\frac{2}{3}-\frac{3 x-2}{6}$.
  3. (2 балла) Привести многочлен $8 m-2 m \cdot(4+3 m \cdot(2-m))$ к стандартному виду и указать в бланке номер правильного ответа:
    $\mathbf{1}$$-6 m^{3}+12 m^{2}$
    $\mathbf{2}$$6 m^{3}-12 m^{2}$
    $\mathbf{3}$$6 m^{2}-12 m$
    $\mathbf{4}$$18 m^{3}-36 m^{2}+24 m$
  4. (3 балла) На рисунке ( $\rightarrow$ ) изображён график движения туриста из города А в город В. Определить скорость туриста (в км/ч) после привала.
  5. (3 балла) Упростить выражение $\left(-3 \frac{1}{3} a^{2} b\right)^{3}:\left(-1 \frac{1}{9} a^{3} b\right)^{2} .$ В бланк внести значение этого выражения при $a=7$ и $b=\frac{1}{5}$.
  6. (3 балла) Упростить выражение $(7 t-3)(2 t-5)-2 \cdot(4 t-3)^{2} \quad$ и указать в бланке номер правильного ответа:
    $\mathbf{1}$$-18 t^{2}+7 t-3$
    $\mathbf{2}$$18 t^{2}-7 t+3$
    $\mathbf{3}$$-18 t^{2}-7 t-3$
    $\mathbf{4}$$-18 t^{2}+7 t+3$
  7. (3 балла) Чему равно значение выражения $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$, если известно, что $x-\frac{1}{x}=3$?
  8. (4 балла) Найти $\boldsymbol{a}$, при котором значение выражения $(2 a+3)(8 a-1)$ превышает соответствующее значение выражения $(5+4 a)(4 a-5)$ на $22 .$
  9. (4 балла) На стороне ML квадрата $MNKL$ ( $\rightarrow$ ) построен равносторонний треугольник $MPL$. Найти градусную меру угла $LPK$.
  10. (4 балла) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24кг, содержащий $45 \%$ меди. Сколько килограммов чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал $40 \%$ меди?
    Часть II.
  11. (6 баллов) Разложить на множители
    1. $2 z^{2}-36 z y+162 y^{2}$
    2. $t^{6}-16 t^{2}$
    3. $a^{4}-a^{3}-a-1 .$
  12. (6 баллов) Из пункта А в пункт В, отстоящий от А на 27 км, отправился пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 36 мин после этого навстречу ему из В вышел другой пешеход со скоростью 3 км/ч. Найти расстояние от пункта В до места их встречи.
  13. (8 баллов)
    1. Построить график функции $\quad y=4 x-6$;
    2. При каком значении аргумента функция $y=4 x-6$ принимает значение, равное 2011 ?
    3. Каково взаимное расположение точки Т(-23;-99) и прямой $y=4 x-6$ : точка Т лежит на прямой, выше или ниже прямой?
    4. Найти все значения $\boldsymbol{p}$, при каждом из которых прямые $y=p^{2} \cdot x+p-8$ и $y=4 x-6$ не имеют общих точек.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
  1. Задача. Найти значение выражения \( (0{,}816 : 0{,}4)\cdot\left(\dfrac{2}{3}-2{,}5\right) \).
    Решение. \(0{,}816:0{,}4=2{,}04\). Далее \( \dfrac{2}{3}-2{,}5=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{4-15}{6}=-\dfrac{11}{6}\). Тогда \(2{,}04\cdot\left(-\dfrac{11}{6}\right)=\dfrac{51}{25}\cdot\left(-\dfrac{11}{6}\right)=-\dfrac{187}{50}=-3{,}74\).
    Ответ. \(-3{,}74\).
  2. Задача. По графику движения туриста из \(A\) в \(B\) (с привалом) определить: а) на каком расстоянии от \(A\) был привал; б) какова скорость после привала.
    Решение. Привал соответствует горизонтальному участку графика, где расстояние не меняется. Он проходит на уровне \(S=9\) км, значит привал был в 9 км от \(A\). После привала график идёт от точки \((5;9)\) до \((7;18)\), поэтому скорость равна \(v=\dfrac{18-9}{7-5}=\dfrac{9}{2}=4{,}5\) км/ч.
    Ответ. а) \(9\); б) \(4{,}5\).
  3. Задача. Привести многочлен к стандартному виду: \( (3p-4)^2-(5+2p)(2p-5)+(p+2)(2-3p)\).
    Решение. Раскроем скобки: \( (3p-4)^2=9p^2-24p+16\). Далее \((5+2p)(2p-5)=(2p+5)(2p-5)=4p^2-25\). И \((p+2)(2-3p)=2p+4-3p^2-6p=-3p^2-4p+4\). Тогда \[ 9p^2-24p+16-(4p^2-25)+(-3p^2-4p+4)=2p^2-28p+45. \]
    Ответ. \(2p^2-28p+45\).
  4. Задача. Найти \(x\) из уравнения \( (2^3)^{15}\cdot x=2^{11}\cdot 2^{39}\).
    Решение. \( (2^3)^{15}=2^{45}\), а \(2^{11}\cdot 2^{39}=2^{50}\). Тогда \(2^{45}x=2^{50}\), откуда \(x=2^{50-45}=2^5=32\).
    Ответ. \(32\).
  5. Задача. Внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей относятся как \(2:3\). Найти больший угол.
    Решение. Внутренние односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают \(180^\circ\). Пусть углы равны \(2a\) и \(3a\). Тогда \(2a+3a=180^\circ\), значит \(a=36^\circ\). Больший угол равен \(3a=108^\circ\).
    Ответ. \(108\).
  6. Задача. Решить уравнение \( \dfrac{x-2}{5}=\dfrac{3x-2}{6}\).
    Решение. Перемножим крест-накрест: \(6(x-2)=5(3x-2)\). Получаем \(6x-12=15x-10\), откуда \(-2=9x\) и \(x=-\dfrac{2}{9}\).
    Ответ. \(-\dfrac{2}{9}\).
  7. Задача. Найти значение выражения \( 7{,}5\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2-9\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2\).
    Решение. \(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}\), поэтому \(7{,}5\cdot\dfrac{9}{16}=\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{9}{16}=\dfrac{135}{32}\). Далее \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\), значит \(9\cdot\dfrac{4}{9}=4\). Тогда значение выражения равно \(\dfrac{135}{32}-4=\dfrac{135-128}{32}=\dfrac{7}{32}=0{,}21875\).
    Ответ. \(0{,}21875\).
  8. Задача. От прямоугольного листа отрезали полосу шириной 3 см от одной смежной стороны и 13 см от другой, получился квадрат. Площадь квадрата на \(311\ \text{см}^2\) меньше площади прямоугольника. Найти периметр исходного прямоугольника.
    Решение. Пусть сторона получившегося квадрата равна \(s\). Тогда стороны прямоугольника равны \(s+3\) и \(s+13\). Разность площадей: \[ (s+3)(s+13)-s^2=s^2+16s+39-s^2=16s+39=311. \] Отсюда \(16s=272\), значит \(s=17\). Тогда стороны прямоугольника \(20\) и \(30\), его периметр \(2(20+30)=100\).
    Ответ. \(100\).
  9. Задача. Задать формулой линейную функцию, проходящую через \(T(-161;\ 2018)\) и не пересекающуюся с графиком \(y=-3x+\dfrac{4}{7}\).
    Решение. Чтобы графики не пересекались, прямые должны быть параллельны, значит коэффициент наклона такой же: \(y=-3x+b\). Подставим точку \(T\): \(2018=-3\cdot(-161)+b=483+b\), откуда \(b=1535\). Следовательно, искомая функция \(y=-3x+1535\).
    Ответ. \(y=-3x+1535\).
  10. Задача. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) и углом \(\angle B=132^\circ\) биссектрисы \(AM\) и \(BK\) пересекаются в точке \(T\). Найти \(\angle ATK\).
    Решение. Так как \(AB=BC\), то \(\angle A=\angle C=\dfrac{180^\circ-132^\circ}{2}=24^\circ\). Биссектриса \(AM\) делит \(\angle A\) пополам, значит \(\angle TAB=12^\circ\). Биссектриса \(BK\) делит \(\angle B\) пополам, значит \(\angle TBA=66^\circ\). В треугольнике \(ABT\): \(\angle ATB=180^\circ-12^\circ-66^\circ=102^\circ\). Точки \(B,T,K\) лежат на одной прямой, причём луч \(TK\) противоположен лучу \(TB\), поэтому \(\angle ATK=180^\circ-\angle ATB=78^\circ\).
    Ответ. \(78\).
  11. Задача. По рисунку даны графики параболы и прямой \(y=kx+16\); по графику видно, что парабола имеет вид \(y=x^2\). Найти \(k\).
    Решение. По рисунку точка пересечения прямой с параболой имеет абсциссу \(-8\). Тогда на параболе \(y=(-8)^2=64\), значит точка \((-8;64)\) лежит и на прямой. Подставим в \(y=kx+16\): \(64=k\cdot(-8)+16\). Получаем \(-8k=48\), откуда \(k=-6\).
    Ответ. \(-6\).
  12. Задача. Сплав массой 24 кг содержит 45% меди. Сколько кг чистого олова надо добавить, чтобы в новом сплаве было 40% меди?
    Решение. Масса меди сначала равна \(0{,}45\cdot 24=10{,}8\) кг. Если добавить \(x\) кг олова, общая масса станет \(24+x\), а меди останется \(10{,}8\) кг. Требуемая доля меди: \(\dfrac{10{,}8}{24+x}=0{,}4\). Тогда \(10{,}8=0{,}4(24+x)=9{,}6+0{,}4x\), откуда \(1{,}2=0{,}4x\) и \(x=3\).
    Ответ. \(3\).
  13. Задача. На стороне \(ML\) квадрата \(MNKL\) построен равносторонний треугольник \(MPL\), причём \(P\) внутри квадрата. Найти \(\angle LPK\).
    Решение. В равностороннем треугольнике \(MPL\) имеем \(PL=ML\) и \(\angle PLM=60^\circ\). В квадрате \(ML\perp LK\), поэтому \(\angle MLK=90^\circ\), а так как луч \(LP\) лежит внутри этого угла, то \(\angle PLK=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Также \(ML=LK\) (стороны квадрата равны), значит \(PL=ML=LK\), и треугольник \(PLK\) равнобедренный, его углы при основании равны: \(\angle LPK=\angle PKL\). Тогда \(2\angle LPK+30^\circ=180^\circ\), откуда \(\angle LPK=75^\circ\).
    Ответ. \(75\).
  14. Задача. Разложить на множители: а) \( \dfrac{1}{9}m^2+36n^2-4mn\); б) \(80t^3-5t\); в) \(x^2y-18+9y-2x^2\).
    Решение. а) Это полный квадрат: \(\dfrac{1}{9}m^2-4mn+36n^2=\left(\dfrac{m}{3}-6n\right)^2\). б) Вынесем общий множитель \(5t\): \(80t^3-5t=5t(16t^2-1)=5t(4t-1)(4t+1)\). в) Сгруппируем: \(x^2y-2x^2+9y-18=x^2(y-2)+9(y-2)=(y-2)(x^2+9)\).
    Ответ. а) \(\left(\dfrac{m}{3}-6n\right)^2\); б) \(5t(4t-1)(4t+1)\); в) \((y-2)(x^2+9)\).
  15. Задача. Из \(A\) в \(B\) (27 км) вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 36 минут из \(B\) навстречу вышел второй со скоростью 3 км/ч. Найти расстояние от \(B\) до места встречи.
    Решение. Пусть \(t\) часов прошло от выхода первого до встречи. Тогда первый прошёл \(5t\) км. Второй шёл \(t-\dfrac{36}{60}=t-\dfrac{3}{5}\) часа и прошёл \(3\left(t-\dfrac{3}{5}\right)\) км. Сумма путей равна 27: \[ 5t+3\left(t-\dfrac{3}{5}\right)=27 \Rightarrow 8t-\dfrac{9}{5}=27 \Rightarrow 8t=\dfrac{144}{5} \Rightarrow t=\dfrac{18}{5}=3{,}6. \] Тогда расстояние от \(B\) до встречи равно \(3\left(3{,}6-0{,}6\right)=3\cdot 3=9\).
    Ответ. \(9\).
Материалы школы Юайти