8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

ФМЛ №30 из 9 в 10 класс 2012 типовые задачи

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2012

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)


2012 год


Типовые задачи



  1. I. Упростите:
    1. \[ \left(\frac{d^3 - 8}{d^2 - 4}\;\cdot\;\frac{6d}{d + 2}\right) \;:\; \bigl(1 - \tfrac{4}{d + 2}\bigr)^{2}. \]
    2. \[ \frac{x + 40}{x^3 - 16x} \;:\; \Bigl(\frac{x - 4}{3x^2 + 11x - 4} - \frac{16}{16 - x^2}\Bigr). \]
    3. \[ \bigl(x^{\tfrac{5}{6}} - \sqrt[6]{x}\bigr) \;:\; \Bigl(\frac{x^{\tfrac{3}{4}} - 1}{x^{\tfrac{1}{4}} - 1} - x^{\tfrac{1}{2}}\Bigr) \;:\; \Bigl(\frac{x^{\tfrac{3}{4}} + 1}{x^{\tfrac{1}{4}} + 1} - x^{\tfrac{1}{2}}\Bigr) \Biggr)^{-3}. \]
    4. \[ \frac{x^2 - y^2} {\sqrt[3]{x^5} + \sqrt[3]{x^2y^3} - \sqrt[3]{x^3y^2} - \sqrt[3]{y^5}} \;-\; \frac{x\sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{y^4}} {(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})^2 + \sqrt[3]{xy}}. \]


  2. II. Выполните действия:
    1. \[ \sqrt{175} -3\sqrt{3\tfrac{1}{9}} -6\sqrt{1{,}75}. \]
    2. \[ a^3 + \frac{1}{a^3},\quad\text{если }a + \frac{1}{a} = -4. \]
    3. Выясните, является ли рациональным число \[ \left( \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}\,\sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2} - \sqrt{18}}}} {\sqrt[6]{2} - 1} \right)^{3}. \]
    4. Сравните числа: \[ \text{(a)}\;\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\quad\text{и}\quad2\sqrt{2}; \qquad \text{(b)}\;\sqrt{10} - \sqrt{11}\quad\text{и}\quad\sqrt{12} - \sqrt{13}. \]


  3. III. Решите уравнения:
    1. \(x^2 + 2x + 2\lvert x + 1\rvert = 7.\)
    2. \((345x^2 + 137x - 208)\,\sqrt{3x - 2} = 0.\)
    3. \[ \frac{8x - 4x^2}{1 - x^2} = \frac{x^3 - 4x}{x + 1}. \]
    4. \((x + 1)(x^2 + 5x + 6) = x + 2.\)


  4. IV. Решите неравенства:
    1. \(-\tfrac12x^2 + 2{,}5x - 3 \ge 0.\)
    2. \[ \frac{4}{x^2 - x - 6} \ge (2 + x)^{-1}. \]
    3. \[ (\sqrt{5} - 3)\,(x^{0{,}5} - 2x^{0{,}25} + 1) > 14 - 6\sqrt{5}. \]
    4. \[ \frac{x^2 - 2x - 8}{\lvert x - 4\rvert} \le 7. \]


  5. V. Решите системы уравнений:
    1. \[ \begin{cases} x^2 - y = \tfrac{3}{4},\\ y^2 + x = 0{,}75. \end{cases} \]
    2. \[ \begin{cases} \dfrac{6}{x + y} + \dfrac{5}{x - y} = 7,\\[6pt] \dfrac{x + y}{x - y} = -1. \end{cases} \]
    3. \[ \begin{cases} (k + 2)x + 3y = 9 + kx,\\ x + (k + 4)y = 2. \end{cases} \]


  6. VI. Дано уравнение: \[ (a - 1)x^2 + 4(a + 1)x + a - 4 = 0. \]
    1. При каких значениях \(a\) это уравнение имеет единственное решение?
    2. При \(a = 2\) найдите \(x_1^3 + x_2^3\), где \(x_1, x_2\) — корни.
    3. При \(a = -2\) найдите все \(b\), при которых неравенство \((a - 1)x^2 + 4(a + 1)x + a - 4 \ge b\) имеет множество решений-отрезок.


    1. Какие значения принимает выражение \(a^2 - 6a + 1\) при \(a\in[1,10]\)?
    2. Найдите все значения параметра \(k\), при которых гипербола \[ y = \frac{k}{x - 2} \] пересекает прямую \(y = x + 1\) в точке, лежащей на оси \(Oy\).
    3. Постройте график функции \[ y = \frac{x^3 - x}{\lvert x\rvert}. \]
    4. Найдите все значения параметра \(a\), при которых прямая \(y = a\) пересекает график функции \[ y = \lvert x^2 - 4x\rvert \] в двух точках.


    1. Второй член арифметической прогрессии составляет \(88\%\) от первого. Найдите, сколько процентов составляет первый член от пятого.
    2. Сумма первых трёх членов убывающей геометрической прогрессии равна \(21\), а сумма их квадратов — \(189\). Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
    3. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника образовывать геометрическую прогрессию?
    4. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, не делящихся на \(11\).


    1. В равнобеденную трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь трапеции, если её основания равны \(1\) и \(25\).
    2. По стене крепости, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной \(400\:\mathrm{м}\), ходят часовые, вооружённые луками с дальностью стрельбы \(100\:\mathrm{м}\). Какова площадь «простреливаемой» территории:
      1. снаружи крепости,
      2. внутри крепости?
    3. \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей, причём \(OB = OD\) и \(AO \angle BCD\).
    4. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\parallel BC\)) \(\angle A=60^\circ\), \(\angle D=30^\circ\), \(AD=a\), \(BC=b\). Найдите:
      1. площадь трапеции \(ABCD\),
      2. длину отрезка, соединяющего середины \(BC\) и \(AD\).
    1. Выясните, является ли простым числом \(2^{10} + 5^{12}\).
    2. Найдите наибольшее значение выражения \[ -x^4 \;-\; 2x^3 \;-\; 3x^2 \;-\; 2x \;+\; 3. \]
    3. Пятнадцать различных натуральных чисел дают в сумме 121. Найдите эти числа.
    4. Операция \(\ast\) каждому двум числам \(x,y\) ставит в соответствие число \(x\ast y\). При этом для всех \(x,y,z\) выполнено: \[ x\ast x = 0,\quad (x+y)\ast z = x + (y\ast z). \] Найдите \(6\ast 14\).


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите:
    1. \[ \left(\frac{d^3 - 8}{d^2 - 4} \cdot \frac{6d}{d + 2}\right) : \left(1 - \frac{4}{d + 2}\right)^2 \] Решение: \[ \frac{(d - 2)(d^2 + 2d + 4)}{(d - 2)(d + 2)} \cdot \frac{6d}{d + 2} : \left(\frac{d - 2}{d + 2}\right)^2 = \frac{6d(d^2 + 2d + 4)}{(d + 2)^2} \cdot \frac{(d + 2)^2}{(d - 2)^2} = \frac{6d(d^2 + 2d + 4)}{(d - 2)^2}. \] Ответ: \(\frac{6d(d^2 + 2d + 4)}{(d - 2)^2}\).

    2. \[ \frac{x + 40}{x^3 - 16x} : \left(\frac{x - 4}{3x^2 + 11x - 4} - \frac{16}{16 - x^2}\right) \] Решение: \[ \frac{x + 40}{x(x^2 - 16)} : \left(\frac{x - 4}{(3x - 1)(x + 4)} + \frac{16}{x^2 - 16}\right) = \frac{1}{x(x - 4)} : \frac{x + 4}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{1}{x}. \] Ответ: \(\frac{1}{x}\).

    3. \[ \left(x^{\tfrac{5}{6}} - \sqrt[6]{x}\right) : \left(\frac{x^{\tfrac{3}{4}} - 1}{x^{\tfrac{1}{4}} - 1} - x^{\tfrac{1}{2}}\right) : \left(\frac{x^{\tfrac{3}{4}} + 1}{x^{\tfrac{1}{4}} + 1} - x^{\tfrac{1}{2}}\right)^{-3} \] Решение: \[ x^{\tfrac{1}{6}}(x^{\tfrac{2}{3}} - 1) : \left(x^{\tfrac{1}{2}} + 1 - x^{\tfrac{1}{2}}\right)^{-3} = x^{\tfrac{1}{6}}(x^{\tfrac{2}{3}} - 1) \cdot 1^3 = x^{\tfrac{1}{6}}(x^{\tfrac{2}{3}} - 1). \] Ответ: \(x^{\tfrac{1}{6}}(x^{\tfrac{2}{3}} - 1)\).

    4. \[ \frac{x^2 - y^2}{\sqrt[3]{x^5} + \sqrt[3]{x^2y^3} - \sqrt[3]{x^3y^2} - \sqrt[3]{y^5}} - \frac{x\sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{y^4}}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})^2 + \sqrt[3]{xy}} \] Решение: \[ \frac{(x - y)(x + y)}{(x^{\tfrac{2}{3}} + y^{\tfrac{2}{3}})(x - y)} - \frac{y^{\tfrac{1}{3}}(x + y)}{x^{\tfrac{2}{3}} - 2x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{1}{3}} + y^{\tfrac{2}{3}} + x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{1}{3}}} = \frac{x + y}{x^{\tfrac{2}{3}} + y^{\tfrac{2}{3}} - x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{1}{3}}}. \] Ответ: \(\frac{x + y}{x^{\tfrac{2}{3}} + y^{\tfrac{2}{3}} - x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{1}{3}}}\).


  2. Выполните действия:
    1. \[ \sqrt{175} - 3\sqrt{3\tfrac{1}{9}} - 6\sqrt{1{,}75} \] Решение: \[ 5\sqrt{7} - 3 \cdot \frac{\sqrt{28}}{3} - 6 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = 5\sqrt{7} - 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = 0. \] Ответ: 0.

    2. \[ a^3 + \frac{1}{a^3},\quad\text{если }a + \frac{1}{a} = -4. \] Решение: \[ (a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3} \Rightarrow a^3 + \frac{1}{a^3} = (-4)^3 - 3(-4) = -64 + 12 = -52. \] Ответ: -52.

    3. \[ \left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}\,\sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2} - \sqrt{18}}}}{\sqrt[6]{2} - 1}\right)^{3} \] Решение: \[ \text{Выражение упрощается до рационального числа } 2. \] Ответ: да, рациональное.

    4. Сравните:
      1. \(\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} > 2\sqrt{2}\);
      2. \(\sqrt{10} - \sqrt{11} < \sqrt{12} - \sqrt{13}\).


  3. Решите уравнения:
    1. \(x^2 + 2x + 2|x + 1| = 7\) Решение: \[ \begin{cases} x \geq -1: x^2 + 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 1; \\ x < -1: x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = -3. \end{cases} \] Ответ: \(1; -3\).

    2. \((345x^2 + 137x - 208)\sqrt{3x - 2} = 0\) Решение: \[ 3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}; \quad x = \frac{208}{345} \approx 0{,}6 \text{ (не подходит)}; x = \frac{2}{3}. \] Ответ: \(x = \frac{2}{3}\).

    3. \[ \frac{8x - 4x^2}{1 - x^2} = \frac{x^3 - 4x}{x + 1} \] Решение: \[ -4x(x - 2) = x(x - 2)(x + 2) \Rightarrow x = 0; 2. \] Ответ: \(0; 2\).

    4. \((x + 1)(x^2 + 5x + 6) = x + 2\) Решение: \[ x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = x + 2 \Rightarrow x^3 + 6x^2 + 10x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2; -2 ± \sqrt{2}. \] Ответ: \(-2; -2 ± \sqrt{2}\).


  4. Решите неравенства:
    1. \(-\tfrac{1}{2}x^2 + 2{,}5x - 3 \ge 0\) Решение: \[ x \in [2; 3]. \] Ответ: \([2; 3]\).

    2. \[ \frac{4}{x^2 - x - 6} \ge \frac{1}{x + 2} \] Решение: \[ x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 3). \] Ответ: \((-\infty; -2) \cup [-1; 3)\).

    3. \[ (\sqrt{5} - 3)(x^{0{,}5} - 2x^{0{,}25} + 1) > 14 - 6\sqrt{5} \] Решение: \[ x = 1. \] Ответ: \(x = 1\).

    4. \[ \frac{x^2 - 2x - 8}{|x - 4|} \le 7 \] Решение: \[ x \in [-3; 4) \cup (4; 6]. \] Ответ: \([-3; 4) \cup (4; 6]\).


  5. Решите системы уравнений:
    1. \[ \begin{cases} x^2 - y = \tfrac{3}{4}, \\ y^2 + x = 0{,}75. \end{cases} \] Решение: \[ x = \tfrac{1}{2}, y = -\tfrac{1}{2}; \quad x = -\tfrac{3}{2}, y = \tfrac{3}{2}. \] Ответ: \((\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}); (-\tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{2})\).

    2. \[ \begin{cases} \dfrac{6}{x + y} + \dfrac{5}{x - y} = 7, \\ \dfrac{x + y}{x - y} = -1. \end{cases} \] Решение: \[ x = -1, y = 3. \] Ответ: \((-1, 3)\).

    3. \[ \begin{cases} (k + 2)x + 3y = 9 + kx, \\ x + (k + 4)y = 2. \end{cases} \] Решение: \[ k \neq -5 \Rightarrow x = \frac{15 - 3k}{k + 5}, y = \frac{5}{k + 5}. \] Ответ: \(k \neq -5\).


  6. Дано уравнение: \[ (a - 1)x^2 + 4(a + 1)x + a - 4 = 0. \]
    1. При \(a = 1\) лин. ур-ние: \(8x -3 =0 \Rightarrow x = \tfrac{3}{8}\); При \(a \neq 1\): D=0 ⇒ \(a = -2\). Ответ: \(a = 1; -2\).
    2. При \(a=2\): \(x^2 +12x -2=0 ⇒x_1^3 +x_2^3 = (x_1 +x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 +x_2) = (-12)^3 -3(-12)(-2) = -1728 -72 = -1800.\) Ответ: -1800.
    3. При \(a=-2\): \(-3x^2 -4x -6 \ge b\). Максимум параболы в точке \(x = -\tfrac{-4}{2(-3)} = -\tfrac{2}{3}\), \(y_{\text{max}} = -6\). Решениями будет отрезок при \(b \leq -6\). Ответ: \(b \leq -6\).


    1. Значения \(a^2 -6a +1\) при \(a \in [1,10]\): минимум \(-8\) при \(a=3\), максимум 41 при \(a=10\).
    2. Пересечение на оси \(Oy\): \(x=0 ⇒ y=1 ⇒ \frac{k}{-2} = 1 ⇒k=-2.\) Ответ: \(k = -2\).
    3. График \(y = \frac{x^3 -x}{|x|}\): симметричен относительно начала координат, точки разрыва при \(x=0\).
    4. \(a \in (0;4)\): две точки пересечения. Ответ: \(0 < a <4\).


    1. Арифм. прогр.: \(a_1 \cdot 0{,}88 = a_2; a_5 = a_1 +4d ⇒d = -0{,}12a_1; \frac{a_1}{a_5} = \frac{a_1}{0{,}52a_1} \approx 192{,}3\%\). Ответ: ≈192,3\%.
    2. Геом. прогр.: \(b_1(1 + q + q^2)=21\), \(b_1^2(1 +q^2 + q^4)=189 ⇒b_1=9, q = \tfrac{1}{2}\).
    3. Нет, иначе \(q^2 = 1\).
    4. Сумма всех трёхзначных чисел минус делящиеся на 11: \(494550 - 44550 = 450000\). Ответ: 450000.


    1. Площадь трапеции: \(\frac{1 +25}{2} \cdot 12 = 156\) (высота \(h = \frac{a + b}{2} =13 ⇒h=12\)). Ответ: 156.
    2. Площади:
      1. Внешняя: \(3 \cdot \frac{\pi \cdot100^2}{6} =5000\pi\).
      2. Внутренняя: площадь треугольника \(400^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\) минус незатронутые углы.
    3. \(\angle BAO > \angle BCD\) следует из свойств треугольников и данного соотношения диагоналей.
      1. Площадь: \(\frac{(a + b)}{2} \cdot h\), где \(h = \frac{a - b}{2}\).
      2. Длина отрезка: \(\sqrt{h^2 + (\frac{a -b}{2})^2}\).


    1. \(2^{10} +5^{12}\) — не простое (делится на 3).
    2. Максимум достигается при \(x = -1\) ⇒ значение 5.
    3. Натуральные числа от 1 до 15: сумма 120 ⇒ добавьте 1 к некоторым.
    4. \(6 \ast14 =8\).
Материалы школы Юайти