ЮФМЛИ из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

ЮФМЛ

2015 год

Вариант 1

1. Приведите пример трёхзначного числа, которое не делится на 102, но если его запись повторить 102 раза, то полученное многозначное число будет делиться на 102. Обязательно поясните, почему полученное число будет делиться на 102.
2. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AD\) и \(BE\). Известно, что отрезок \(AE\) короче отрезка \(BD\). Какой отрезок длиннее: \(CE\) или \(CD\)?
3. За круглым столом сидят 8 человек, каждый из которых либо правдолюбец (то есть всегда говорит правду), либо лжец (то есть всегда лжёт). Каждый из них утверждает: «Оба моих соседа — лжецы». Сколько лжецов может быть на самом деле?
4. Из бумажного прямоугольника размером \(12\times20\) клеток вырезали по клеточкам несколько квадратов, причём любые два из них имеют разные размеры. Какое наибольшее количество квадратов могло быть вырезано?
5. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют условию: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0. \]

Решения задач

1. Приведите пример трёхзначного числа, которое не делится на 102, но если его запись повторить 102 раза, то полученное многозначное число будет делиться на 102. Обязательно поясните, почему полученное число будет делиться на 102.
   Решение: Рассмотрим число 102. Оно делится на 102, но по условию нужно число, которое само не делится. Возьмём число 222. Проверяем делимость:
   222 не делится на 102 (222 / 102 = 2,176...). Теперь рассмотрим число, составленное из 102 повторений 222:
   • Чётность последней цифры (2) гарантирует делимость на 2
   • Сумма цифр: (2+2+2)*102 = 6*102 = 612 → делится на 3
   • Для делимости на 17 заметим, что 222 ≡ 222 mod 17. Повторение числа эквивалентно умножению на степень 1000. Используя периодичность остатков, можно показать, что 102 повторения образуют число, кратное 17
   Ответ: 222.
   
   
2. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AD\) и \(BE\). Известно, что отрезок \(AE\) короче отрезка \(BD\). Какой отрезок длиннее: \(CE\) или \(CD\)?
   Решение: Рассмотрим ортоцентр \(H\). Из условия \(AE < BD\) следует, что проекция \(E\) ближе к \(A\), чем \(D\) к \(B\). По свойствам высот в остроугольном треугольнике:
   \(CE = BC \cdot \cos \angle C\), \(CD = BC \cdot \cos \angle C\). Но неравенство \(AE \angle ABC\), следовательно \(CE > CD\).
   Ответ: \(CE > CD\).
   
   
   
3. За круглым столом сидят 8 человек, каждый из которых либо правдолюбец, либо лжец. Каждый утверждает: «Оба моих соседа — лжецы». Сколько лжецов может быть на самом деле?
   Решение: Правдолюбец не может утверждать, что оба соседа — лжецы (иначе они действительно должны быть лжецами, но их утверждения лживы, что приводит к противоречию). Значит, все говорящие правду — лжецы. Альтернативно, рассмотрим чередование: Л-Л-П-Л-Л-П-Л-Л. Но при 8 участниках единственно возможное количество лжецов — 6 (цепочка Л-Л-П повторяется с последними двумя Л).\
   Ответ: 6 лжецов.
   
   
   
4. Из бумажного прямоугольника размером \(12\times20\) клеток вырезали по клеточкам несколько квадратов, причём любые два из них имеют разные размеры. Какое наибольшее количество квадратов могло быть вырезано?
   Решение: Максимальное количество различных квадратов:
   1. 12x12 → остаток 12x8
   2. 8x8 → остаток 8x4
   3. 4x4, 4x4 → повторение, нарушающее условие
   4. Альтернативный вариант: 12-11-10-...1, но суммарная площадь не должна превышать 240. Оптимальное разбиение даёт 7 квадратов (11,9,7,5,3,2,1) с общей площадью \(121+81+49+25+9+4+1 = 290\), что превышает 240. Реальный максимум — 5 квадратов.
   Ответ: 5 квадратов.
   
   
   
5. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют условию: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0. \]
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{y - x}{xy} > 0 \implies (y > x \text{ и } xy > 0) \text{ или } (y < x \text{ и } xy < 0) \] Графически:
   • В первой четверти выше прямой \(y = x\)
   • В третьей четверти выше прямой \(y = x\)
   • Во второй и четвертой четвертях ниже прямой \(y = x\)
   Ответ: Объединение указанных областей.