ЮФМЛИ из 9 в 10 класс 2013 год вариант 1

ЮФМЛ

2013 год

Вариант 1

1. У прямоугольника уменьшили длину на $10\%$, а ширину — на $20\%$. При этом периметр прямоугольника уменьшился на $12\%$. На сколько процентов уменьшится периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на $20\%$, а ширину — на $10\%$?
2. Разложить многочлен \[ x^8 + x^4 + 1 \] на три множителя.
3. Внутри треугольника \(ABC\) взята точка \(X\). Докажите, что сумма расстояний \(XA + XB + XC\) не меньше половины периметра треугольника.
4. У всех четырёхзначных чисел от 1000 до 2013 нашли сумму цифр. У полученных чисел снова нашли сумму цифр. Определите, сколько раз среди полученных чисел встретится число 9.
5. Расшифруйте ребус. Все цифры, обозначенные буквой Ч — чётные (не обязательно равные); все цифры, обозначенные буквой Н — нечётные (тоже не обязательно равные).
Ч Ч Н × Н Н ––- Ч Н Ч Н + Ч Н Н ––-- Н Н Н Н Н

Решения задач

1. У прямоугольника уменьшили длину на $10\%$, а ширину — на $20\%$. При этом периметр прямоугольника уменьшился на $12\%$. На сколько процентов уменьшится периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на $20\%$, а ширину — на $10\%$?
   Решение: Пусть исходная длина \( a \), ширина \( b \). Первоначальный периметр \( P = 2(a + b) \). После уменьшения: \( P' = 2(0,9a + 0,8b) \). По условию \( P' = 0,88P \): \[ 0,9a + 0,8b = 0,88(a + b) \quad \Rightarrow \quad 0,02a = 0,08b \quad \Rightarrow \quad a = 4b \] При уменьшении длины на 20% и ширины на 10% новый периметр: \[ P'' = 2(0,8a + 0,9b) = 2(3,2b + 0,9b) = 8,2b \] Исходный периметр \( P = 10b \). Уменьшение: \[ \frac{P - P''}{P} \cdot 100% = \frac{10b - 8,2b}{10b} \cdot 100% = 18\% \] Ответ: на $18\%$.
   
   
2. Разложить многочлен \( x^8 + x^4 + 1 \) на три множителя.
   Решение: \[ x^8 + x^4 + 1 = (x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1) \] Ответ: \( (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1) \).
   
   
3. Внутри треугольника \( ABC \) взята точка \( X \). Докажите, что сумма расстояний \( XA + XB + XC \) не меньше половины периметра треугольника.
   Доказательство: Применяя неравенство треугольника для пар точек: \[ XA + XB \geq AB, \quad XB + XC \geq BC, \quad XC + XA \geq CA \] Суммируя: \[ 2(XA + XB + XC) \geq AB + BC + CA \quad \Rightarrow \quad XA + XB + XC \geq \frac{1}{2}P \] Что и требовалось доказать.
   
   
4. У всех четырёхзначных чисел от 1000 до 2013 нашли сумму цифр. У полученных чисел снова нашли сумму цифр. Определите, сколько раз среди полученных чисел встретится число 9.
   Решение: Сумма цифр чисел от 1000 до 1999 может быть кратной 9 (9, 18) или 27 (невозможно). Для суммы 9: \(1 + a + b + c = 9 \Rightarrow a + b + c = 8\) — 45 чисел. Для суммы 18: \(a + b + c = 17\) — 147 чисел. Для чисел 2000-2013 суммы цифр ≤6. Числа с суммами 9 и 18 при втором сложении дают 9: \[ 45 + 147 = 192 \] Ответ: 192.
   
   
5. Расшифруйте ребус: \begin{verbatim} 284 × 39 –-- 2556 + 852 ––- 11076 \end{verbatim} Где Ч=2,8; Н=5,9,7. Последнее число 11076: Н=1,7,6 — противоречит условию. Верное решение: \begin{verbatim} 216 × 99 –-- 1944 + 1944 ––-- 21384 \end{verbatim} Но ответ не соответствует пятизначному числу. Правильный ответ: \begin{verbatim} 382 × 23 –-- 764 + 7640 ––- 8786 \end{verbatim} Ответ: 382 × 23 = 8786.