Юайти ✕ Школа №57 из 8 в 9 класс 2026 год | Вариант 1

Школа №57

Пробный вариант Юайти 1 (переход 8$\to$9 класс)

Математика

2026 год

1. Докажите, что если $7n + 13m$ делится на 29, то $n + 6m$ тоже делится на 29.
2. Изобразите на координатной плоскости множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условию $$\max(x+y,\ 2x)=\min(2y,\ x+6)=4.$$ Ответ обоснуйте.
3. В выражении $$\bigl((x-2)(x^2+1)(x^3-1)\bigr)^8$$ раскрыли скобки и привели подобные члены. Найдите сумму коэффициентов при всех нечётных степенях $x$.
4. Рассмотрим всевозможные 9-значные числа, составленные из цифр 1, 2, \ldots, 9 без повторений. Сколько среди них чисел, в которых цифра 5 стоит на одинаковом расстоянии от цифр 1 и 9?
5. Сколько есть способов расставить 4 ладьи на доске $4 \times 4$ так, чтобы никакие две не били друг друга и никакие две не располагались симметрично относительно центра доски?
6. В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle A = 30^\circ$ и $\angle C = 20^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отмечена точка $D$, причём $BD = BC$. Найдите угол $ACD$.