Юайти ✕ Школа ЦПМ из 10 в 11 класс 2026 год | Вариант 5 (профильное тестирование)

ШКОЛА ЦПМ

Пробный профильный вариант Юайти 2 (переход 10$\to$11 класс)

Математика

2026 год

1. На доске записаны все целые числа от $1$ до $20$. Разрешается выбрать любые два числа $a$ и $b$ и заменить их на числа $a+b$ и $a-b$. Может ли после нескольких операций на доске оказаться двадцать чисел, кратных $5$? Обоснуйте ответ.
2. В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что если $AH=BC$, то $\angle A=45^\circ$.
3. Найдите все натуральные $n$, для которых число $n^2+6n+1$ является квадратом натурального числа.
4. На шахматной доске $8\times 8$ расставили $17$ ладей. Докажите, что найдутся две ладьи, бьющие друг друга, или найдутся три ладьи, никакие две из которых не стоят на одной горизонтали и вертикали.
5. Решите уравнение в действительных числах: \[[x]+[x+\tfrac12]+[x+1]=2026.\]
6. Сформулируйте и докажите теорему о пересечении медиан треугольника.
7. Найдите ошибки в решении и решите задачу правильно. Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение \[|x-a|=x^2-4x+3\] имеет ровно три различных решения? «Решение». «График правой части – парабола, график левой – галочка. Чтобы было три решения, вершина галочки должна лежать между корнями параболы, то есть $1<a<3$. Следовательно, ответ: $(1;3)$.»