Юайти ✕ Школа 1514 из 9 в 10 класс 2026 год | Вариант 1

Гимназия №1514

Пробный вариант Юайти 1 (переход 9$\to$10 класс)

Математика

2026 год

1. Постройте график функции: \[ y=\sqrt{9-(x-2)^2}+1. \] Исследуйте функцию по графику. Сколько решений в зависимости от \(c\) имеет уравнение \(y=c\)?
2. От станции до дачи Максим ехал на велосипеде со скоростью \(15\) км/ч, а обратно шёл пешком со скоростью \(5\) км/ч. На обратный путь он затратил на \(2\) часа больше. Найдите расстояние от станции до дачи.
3. Решите неравенство: \[ \sqrt{9-x^2}>x-1. \]
4. Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), где \(a_1=2\), \(d=2\). Вычислите: \[ \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots+\frac{1}{a_{50}a_{51}}. \]
5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2+y^2-4x+2y=5, & \\ x-y=1. & \end{cases} \]
6. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой \[ a_n=\frac{n}{n^2-2n+5}. \]
7. В треугольнике \(ABC\) заданы координаты вершин: \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(0,8)\). Напишите:
   1. уравнение окружности, вписанной в \(\triangle ABC\);
   2. уравнение окружности, описанной около \(\triangle ABC\);
   3. уравнение прямой, содержащей биссектрису угла \(A\);
   4. уравнение прямой, содержащей медиану \(CM\).
8. В треугольнике \(ABC\) основание \(AC=12\), высота \(BH=6\). Точка \(O\) лежит на стороне \(AC\), причём \(AO:OC=1:2\). Через точку \(O\) проведена прямая, параллельная \(AB\), пересекающая сторону \(BC\) в точке \(D\). Найдите площадь четырёхугольника \(AODB\).
9. В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), \(AD=12\), \(BC=4\), высота трапеции равна \(8\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Найдите площади треугольников \(AOD\), \(BOC\), \(AOB\) и \(COD\).