Юайти ✕ Школа 1514 из 7 в 8 класс 2026 год | Вариант 3

Гимназия №1514

Пробный вариант Юайти 3 (переход 7$\to$8 класс)

Математика

2026 год

1. Найдите значение выражения \[ \frac{2^{12}-2^{10}}{3\cdot 2^8}+\frac{1{,}2\cdot 3{,}5-0{,}9}{0{,}55}. \]
2. Решите уравнения:
   1. \[ \frac{x-5}{4}+\frac{2x+1}{6}=3; \]
   2. \[ \bigl||x|-4\bigr|=1; \]
   3. \[ (x-2)(x+5)=x^2+x+6. \]
3. Разложите на неприводимые множители:
   1. \[ 16p^2-24pq+9q^2-r^2; \]
   2. \[ x^3+2x^2y+xy^2; \]
   3. \[ a^2-5ab+6b^2. \]
4. Раил и Максим вместе выполняют работу за 6 часов. За 2 часа работы Раила и 3 часа работы Максима выполнено \(\frac{2}{5}\) всей работы. За сколько часов каждый из них выполняет эту работу, если работает один?
5. Даны точки \(A(4;1)\) и \(B(-2;4)\).
   1. Запишите уравнение прямой \(AB\).
   2. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой \(2x-y=5\) и проходящей через точку пересечения прямой \(AB\) с осью \(Ox\).
   3. Найдите координаты точки пересечения этой прямой с прямой \(x+y=9\).
6. Угол \(AOB\) равен \(144^\circ\). Луч \(OC\) делит его так, что \(\angle AOC=2\angle COB\). Луч \(OD\) – биссектриса угла \(COB\). Найдите угол \(AOD\).
7. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C=90^\circ\)) внешний угол при вершине \(A\) равен \(130^\circ\). Медиана \(CM\) проведена к гипотенузе. Найдите угол между прямыми \(CM\) и \(CA\).
8. В равнобедренном треугольнике основание на 6~см меньше боковой стороны, а периметр равен 42~см. Найдите стороны треугольника.
9. В треугольнике \(ABC\) \(\angle B=48^\circ\), внешний угол при вершине \(C\) равен \(136^\circ\). Биссектриса \(AD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(D\). Найдите угол \(ADC\).
10. Треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(AB=AC\). На продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\) отмечена точка \(D\), а на продолжении стороны \(AC\) за точку \(C\) – точка \(E\), причём \(BD=CE\). Докажите, что \(CD=BE\).
11. Какое число нужно прибавить к многочлену \[ 4x^2-20x+1, \] чтобы получился квадрат двучлена?
12. Докажите, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел нечётна.
13. Если к двузначному числу прибавить 27, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Сумма цифр исходного числа равна 11. Найдите это число.