Лицей «Вторая школа» из 8 в 9 класс 2000 год вариант 1

1. Уравнение 1. Решите уравнение: \[ x^4 = (10x - 24)^2. \]
2. Уравнение 2. Решите уравнение: \[ (100x - 699)^2 = 40000. \]
3. Дробь. Вычислите \[ \frac{(1{,}5)^7 \cdot 450^3}{750^4 \cdot (0{,}027)^3}. \]
4. Корни. Вычислите: \[ \frac{1}{\sqrt{29}+3} \;-\; \frac{1}{\sqrt{61}+11} \;+\; \frac{1}{\sqrt{29}+7} \;-\; \frac{1}{\sqrt{61}+1}. \]
5. Проценты. На сколько процентов надо увеличить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась на 44%?
6. Прямая. Прямая проходит через точки $(0{,}4; -0{,}2)$ и $(0{,}6; 0{,}2)$. Найдите точки её пересечения с осями координат.
7. Разложение 1. Разложите на множители: \[ a^2 - 2a - 4b^2 + 4b. \]
8. Разложение 2. Разложите на множители: \[ 4x^4 - 4x^3 + x^2 - 4. \]
9. Движение. Расстояние между станциями \(A\) и \(B\) равно 72 км. Одновременно вышедшие навстречу друг другу два поезда встречаются на разъезде между станциями. Когда поезда были задержаны на станциях \(A\) и \(B\) и вышли одновременно с опозданием, каждый из них увеличил скорость: первый — на 20 км/ч, второй — на 25 км/ч. В результате они без опозданий одновременно прибыли на разъезд. На каком расстоянии от станций \(A\) и \(B\) находится разъезд?
10. Работа. Мастер делает одну деталь на 10 мин быстрее, чем ученик. За 4 ч работы вместе они сделали 14 деталей. Найдите, сколько деталей сделал каждый из них.
11. Этажи. В многоэтажном доме на всех этажах одинаковое число квартир, и все подъезды устроены одинаково. В одном из подъездов на первом этаже находятся квартиры № 53 до № 56. На каком этаже находится квартира № 145?
12. Делители. Сколько всего различных делителей у числа 8000?

Решения задач

1. Решите уравнение: \(x^4 = (10x - 24)^2\).
   Решение: \[ x^4 - (10x - 24)^2 = 0 \implies (x^2 - 10x + 24)(x^2 + 10x - 24) = 0. \] Решаем уравнения отдельно: \[ x^2 - 10x + 24 = 0 \implies x = 6 \; \text{или} \; x = 4, \] \[ x^2 + 10x - 24 = 0 \implies x = 2 \; \text{или} \; x = -12. \]
   Ответ: \(-12; 2; 4; 6\).
   
   
2. Решите уравнение: \((100x - 699)^2 = 40000\).
   Решение: \[ 100x - 699 = \pm 200 \implies \begin{cases} 100x = 899 \implies x = 8{,}99, \\ 100x = 499 \implies x = 4{,}99. \end{cases} \]
   Ответ: \(4{,}99; 8{,}99\).
   
   
3. Вычислите: \[ \frac{(1{,}5)^7 \cdot 450^3}{750^4 \cdot (0{,}027)^3}. \]
   Решение: Представим числа в виде простых множителей: \[ \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^7 \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5^2)^3}{(2 \cdot 3 \cdot 5^3)^4 \cdot \left(\frac{3^3}{10^3}\right)^3} = \frac{3^7 \cdot 2^3 \cdot 3^6 \cdot 5^6}{2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^{12} \cdot 3^9} \cdot 10^9 = 10^3 = 1000. \]
   Ответ: \(1000\).
   
   
4. Вычислите: \[ \frac{1}{\sqrt{29}+3} - \frac{1}{\sqrt{61}+11} + \frac{1}{\sqrt{29}+7} - \frac{1}{\sqrt{61}+1}. \]
   Решение: Умножим каждую дробь на сопряженное: \[ \frac{\sqrt{29}-3}{20} - \frac{\sqrt{61}-11}{-40} + \frac{\sqrt{29}-7}{20} - \frac{\sqrt{61}-1}{-40}. \] После сложения все члены сокращаются.
   Ответ: \(0\).
   
   
5. На сколько процентов увеличить сторону квадрата, чтобы площадь выросла на 44%?
   Решение: Пусть сторона \(a\). Новая площадь: \(1{,}44a^2 = (1{,}2a)^2\). Увеличение стороны на \(20\%\).
   Ответ: на \(20\%\).
   
   
6. Найдите точки пересечения прямой с осями. Прямая проходит через \((0{,}4; -0{,}2)\) и \((0{,}6; 0{,}2)\).
   Решение: Угловой коэффициент \(k = \frac{0{,}2 + 0{,}2}{0{,}6 - 0{,}4} = 2\). Уравнение: \(y = 2x - 1\).
   С осью \(Y\): \(x = 0 \implies y = -1\). С осью \(X\): \(y = 0 \implies x = 0{,}5\).
   Ответ: \((0; -1)\) и \((0{,}5; 0)\).
   
   
7. Разложите на множители: \(a^2 - 2a - 4b^2 + 4b\).
   Решение: Группировка: \[ (a^2 - 2a) - (4b^2 - 4b) = a(a - 2) - 4b(b - 1) = (a - 2b)(a + 2b - 2). \]
   Ответ: \((a - 2b)(a + 2b - 2)\).
   
   
8. Разложите на множители: \(4x^4 - 4x^3 + x^2 - 4\).
   Решение: \[ (4x^4 - 4x^3 + x^2) - 4 = x^2(4x^2 - 4x + 1) - 4 = (2x^2 - x)^2 - 2^2 = (2x^2 - x - 2)(2x^2 - x + 2). \]
   Ответ: \((2x^2 - x - 2)(2x^2 - x + 2)\).
   
   
9. Найти расстояние до разъезда.
   Решение: Пусть \(S\) км — расстояние от \(A\), тогда скорости поездов \(\frac{S}{t}\) и \(\frac{72 - S}{t}\). После увеличения: \[ \frac{S}{t - \frac{S}{20}} = \frac{72 - S}{t - \frac{72 - S}{25}}. \] Решив систему, получаем \(S = 30\) км, от \(B\): \(42\) км.
   Ответ: \(30\) км и \(42\) км.
   
   
10. Работа:
    Решение: Пусть мастер делает деталь за \(t\) мин, ученик — \(t + 10\). За 240 минут: \[ \frac{240}{t} + \frac{240}{t + 10} = 14 \implies t = 20. \] Мастер: \(\frac{240}{20} = 12\) деталей, ученик: \(14 - 12 = 2\).
    Ответ: мастер — 12, ученик — 2.
    
    
11. Квартира №145:
    Решение: На этаже 4 квартиры. \(145 - 52 = 93\). Этаж: \(\frac{93}{4} = 23{,}25 \implies 24\)-й этаж.
    Ответ: 24.
    
    
12. Число делителей 8000:
    Решение: \(8000 = 2^6 \cdot 5^3\). Количество делителей: \((6 + 1)(3 + 1) = 28\).
    Ответ: 28.