Школа №1568 из 7 в 8 класс 2021 год (первый тур)

Школа № 1568

2021

07.04.2021

1. Вычислите: \( 2^{\frac{17}{20}} \cdot \left( \frac{5}{12} - \frac{11}{15} \right) - 9 \cdot 1\frac{1}{9} \).
2. Вычислите: \( \frac{6^{16} \cdot 3^{17}}{18^{15}} \).
3. Решите уравнение: \( (m + 4)^2 - (m - 2)(2 + m) = -76 \).
4. Упростите выражение \( \frac{(2p+1)(4p^2-2p+1)-1}{4} \) и найдите его значение при \( p = 0{,}2 \).
5. Найдите значение выражения \( 5a - 7 \cdot |b-2| \) при \( a = 3{,}4, \, b = -1{,}4 \).
6. Известно, что \( 2a^3b = -3 \). Найдите значение выражения \( 16a^9b^3 \).
7. График прямой пропорциональности проходит через точки \( A(-8;48) \) и \( B(b;-72) \). Найдите значение \( b \).
8. Графики функций \( y = kx + b \) и \( y = bx + k \) пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций.
9. Беговые лыжи стоили 7000 руб. На распродаже цену снизили на 10%, а потом эту сниженную цену повысили на 10%. Сколько стал стоить беговые лыжи после повышения цены?
10. Два мотоциклиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 300 км, и встречаются через 3 часа. Скорость одного из них была на 10 км/ч больше, чем у другого. Найдите скорость мотоциклиста, который едет медленнее другого.
11. Треугольник \( ABC \) и треугольник \( MRQ \) равны. В треугольнике \( ABC \) сторона \( AB \) равна 2 см, сторона \( BC \) на 3 см больше \( AB \) и на 1 см меньше \( AC \). Найдите длину стороны треугольника \( MRQ \), лежащей против большего угла.
12. Боковая сторона равнобедренного треугольника на 7 см больше основания, а его периметр равен 74 см. Найдите основание треугольника.
13. При пересечении двух параллельных прямых секущей образовалось 8 углов, один из смежных углов больше другого угла в 4 раза. Найдите сумму всех получившихся при этом острых углов.
14. Найдите угол \( B \) треугольника \( KBN \), если отрезок \( BN \) — биссектриса треугольника, \( \angle KBN = 2 \angle KBN \) и \( \angle H = 70^\circ \).
15. В некотором двузначном числе поменяли местами цифры в записи числа и полученное двузначное число сложили с исходным. В результате получили число, которое делится на 9. Сколько таких двузначных чисел?

Решения задач

1. Вычислите: \( 2^{\frac{17}{20}} \cdot \left( \frac{5}{12} - \frac{11}{15} \right) - 9 \cdot 1\frac{1}{9} \).
   Решение:
   Разность дробей: \(\frac{5}{12} - \frac{11}{15} = \frac{25}{60} - \frac{44}{60} = -\frac{19}{60}\).
   Умножим на \(2^{\frac{17}{20}}\): \(-\frac{19}{60} \cdot 2^{\frac{17}{20}}\).
   Второе слагаемое: \(9 \cdot \frac{10}{9} = 10\).
   Итог: \(-\frac{19}{60} \cdot 2^{\frac{17}{20}} - 10\).
   Ответ: \(-\frac{19}{60} \cdot 2^{\frac{17}{20}} - 10\). (Возможна опечатка в условии)
2. Вычислите: \( \frac{6^{16} \cdot 3^{17}}{18^{15}} \).
   Решение:
   Перепишем степени: \(\frac{(2 \cdot 3)^{16} \cdot 3^{17}}{(2 \cdot 3^2)^{15}} = \frac{2^{16} \cdot 3^{33}}{2^{15} \cdot 3^{30}} = 2^{1} \cdot 3^{3} = 2 \cdot 27 = 54\).
   Ответ: \(54\).
3. Решите уравнение: \( (m + 4)^2 - (m - 2)(2 + m) = -76 \).
   Решение:
   \(m^2 + 8m + 16 - (m^2 - 4) = -76\).
   \(8m + 20 = -76\).
   \(8m = -96 \Rightarrow m = -12\).
   Ответ: \(-12\).
4. Упростите выражение \( \frac{(2p+1)(4p^2-2p+1)-1}{4} \) и найдите его значение при \( p = 0{,}2 \).
   Решение:
   Числитель: \((2p)^3 + 1^3 - 1 = 8p^3\).
   Упрощаем: \(\frac{8p^3}{4} = 2p^3\).
   Подставляем \(p = 0,2\): \(2 \cdot (0,2)^3 = 2 \cdot 0,008 = 0,016\).
   Ответ: \(0,016\) (или \( \frac{2}{125} \)).
5. Найдите значение выражения \( 5a - 7 \cdot |b-2| \) при \( a = 3{,}4, \, b = -1{,}4 \).
   Решение:
   \(5 \cdot 3,4 = 17\).
   \(|{-1,4} - 2| = |{-3,4}| = 3,4\).
   \(7 \cdot 3,4 = 23,8\).
   Итог: \(17 - 23,8 = -6,8\).
   Ответ: \(-6,8\).
6. Известно, что \( 2a^3b = -3 \). Найдите значение выражения \( 16a^9b^3 \).
   Решение:
   \(16a^9b^3 = 8 \cdot 2a^3b \cdot (2a^3b)^2 = 8 \cdot (-3) \cdot (-3)^2 = -8 \cdot 3 \cdot 9 = -216\).
   Ответ: \(-54\).
7. График прямой пропорциональности проходит через точки \( A(-8;48) \) и \( B(b;-72) \). Найдите значение \( b \).
   Решение:
   Коэффициент пропорциональности: \(k = \frac{48}{-8} = -6\).
   Уравнение: \(y = -6x\).
   Подставляем \(y = -72\): \(-72 = -6b \Rightarrow b = 12\).
   Ответ: \(12\).
8. Графики функций \( y = kx + b \) и \( y = bx + k \) пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций.
   Решение:
   \(kx + b = bx + k\).
   \(x(k - b) = k - b \Rightarrow x = 1\) (при \(k \ne b\)).
   Ответ: \(1\).
9. Беговые лыжи стоили 7000 руб. На распродаже цену снизили на 10\%, а потом эту сниженную цену повысили на 10\%. Сколько стал стоить беговые лыжи после повышения цены?
   Решение:
   Цена после снижения: \(7000 \cdot 0,9 = 6300\) руб.
   Новая цена: \(6300 \cdot 1,1 = 6930\) руб.
   Ответ: \(6930\) руб.
10. Два мотоциклиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 300 км, и встречаются через 3 часа. Скорость одного из них была на 10 км/ч больше, чем у другого. Найдите скорость мотоциклиста, который едет медленнее другого.
    Решение:
    Пусть скорость медленного \(x\) км/ч. Тогда суммарная скорость: \(x + x + 10 = 2x + 10\).
    Уравнение: \((2x + 10) \cdot 3 = 300 \Rightarrow 2x = 90 \Rightarrow x = 45\).
    Ответ: \(45\) км/ч.
11. Треугольник \( ABC \) и треугольник \( MRQ \) равны. В треугольнике \( ABC \) сторона \( AB \) равна 2 см, сторона \( BC \) на 3 см больше \( AB \) и на 1 см меньше \( AC \). Найдите длину стороны треугольника \( MRQ \), лежащей против большего угла.
    Решение:
    \(AB = 2\) см, \(BC = 5\) см, \(AC = 6\) см.
    Против большего угла лежит \(AC = 6\) см.
    Ответ: \(6\) см.
12. Боковая сторона равнобедренного треугольника на 7 см больше основания, а его периметр равен 74 см. Найдите основание треугольника.
    Решение:
    Пусть основание \(x\) см. Тогда боковые стороны: \(x + 7\).
    Периметр: \(x + 2(x + 7) = 74 \Rightarrow 3x = 60 \Rightarrow x = 20\).
    Ответ: \(20\) см.
13. При пересечении двух параллельных прямых секущей образовалось 8 углов, один из смежных углов больше другого угла в 4 раза. Найдите сумму всех получившихся при этом острых углов.
    Решение:
    Смежные углы: \(x + 4x = 180^\circ \Rightarrow x = 36^\circ\).
    Сумма острых углов: \(4 \cdot 36^\circ = 144^\circ\).
    Ответ: \(144^\circ\).
14. Найдите угол \( B \) треугольника \( KBN \), если отрезок \( BN \) — биссектриса треугольника, \( \angle KBN = 2 \angle KBN \) и \( \angle H = 70^\circ \).
    Решение:
    Пропущено из-за некорректности условия. Возможная опечатка.
15. В некотором двузначном числе поменяли местами цифры в записи числа и полученное двузначное число сложили с исходным. В результате получили число, которое делится на 9. Сколько таких двузначных чисел?
    Решение:
    Числа вида \(10a + b\), где \(a + b = 9\). Варианты: \(18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90\). Исключаем \(90\) (после перестановки получается однозначное), итого \(9\) чисел.
    Ответ: \(9\).