Школа №1568 из 7 в 8 класс 2021 год (второй тур)

Школа № 1568

2021

07.04.2021

1. Докажите, что значение выражения \[ (b - 68)^2 + 2(b - 68)(64 - b) + (64 - b)^2 \] больше, чем 15,68 при любом значении \( b \).
   
   
2. Учитель математики написал на доске два числа, отличные от нуля, и попросил Ивана одно из них уменьшить на треть, а другое увеличить на четверть и результаты записать в тетрадь. Оказалось, что в тетради Иван записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Иван ошибся.
   
   
3. На продолжении гипотенузы \( AC \) прямоугольного треугольника \( ABC \) за точку \( C \) отмечена точка \( M \), а на продолжении гипотенузы за точку \( A \) отмечена точка \( K \) так, что \( AK = AB \) и \( CM = CB \). Найдите градусную меру угла \( MBK \).
   
   
4. Найдите наименьшее составное натуральное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.

Ответы

1. Требуется доказательство
2. Требуется доказательство
3. Ответ: 90°
4. Ответ: 121

Решения задач

1. Докажите, что значение выражения \[ (b - 68)^2 + 2(b - 68)(64 - b) + (64 - b)^2 \] больше, чем 15,68 при любом значении \( b \).
   Решение: Заметим, что выражение представляет собой квадрат суммы: \[ (b - 68 + 64 - b)^2 = (-4)^2 = 16 \] Поскольку \(16 > 15{,}68\) для любого \(b\), утверждение доказано.
   Ответ: Доказано.
   
   
2. Учитель математики написал на доске два числа, отличные от нуля, и попросил Ивана одно из них уменьшить на треть, а другое увеличить на четверть и результаты записать в тетрадь. Оказалось, что в тетради Иван записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Иван ошибся.
   Решение: Пусть исходные числа \(x\) и \(y\). После преобразований должны получиться числа \(\frac{2}{3}x\) и \(\frac{5}{4}y\). Предположим, они совпадают с исходными числами в другом порядке: \[ \begin{cases} \frac{2}{3}x = y \\ \frac{5}{4}y = x \end{cases} \] Подставляя \(y = \frac{2}{3}x\) во второе уравнение: \[ \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{5}{6}x = x \implies x = 0 \] Это противоречит условию (\(x \neq 0\)). Значит, Иван допустил ошибку.
   Ответ: Доказано.
   
   
3. На продолжении гипотенузы \( AC \) прямоугольного треугольника \( ABC \) за точку \( C \) отмечена точка \( M \), а на продолжении гипотенузы за точку \( A \) отмечена точка \( K \) так, что \( AK = AB \) и \( CM = CB \). Найдите градусную меру угла \( MBK \).
   Решение:
   • Рассмотрим симметрии: Точка \(K\) симметрична \(B\) относительно \(A\) (т.к. \(AK = AB\)), точка \(M\) симметрична \(B\) относительно \(C\) (т.к. \(CM = CB\)).
   • Проведем отрезки \(MB\) и \(KB\). Треугольники \(BKC\) и \(BMC\) — равнобедренные.
   • Угол \(\angle ABC = 90^\circ\). Угол \(\angle MBK\) состоит из двух углов по \(45^\circ\), образованных диагоналями квадратов, построенных на катетах.
   • Сумма углов дает \(\angle MBK = 90^\circ\).
   
   Ответ: \(90^\circ\).
   
   
4. Найдите наименьшее составное натуральное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.
   Решение: Проверим последовательно кандидаты:
   • \(121 = 11^2\) — составное.
   • Проверим делимость: 121 не делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
   • Следующие кандидаты (\(143 = 11 \times 13\), \(169 = 13^2\)) больше, чем 121.
   
   Ответ: 121.