Лицей №1568 из 6 в 7 класс 2023 год

Школа № 1568

2023

13.03.2023

1. Вычислите: \[ 3 \cdot \left( \frac{7}{12} - 2{,}125 + \frac{15}{17} \right) : (-7{,}25) \]
   
   
2. При каком значении $x$ значение выражения \[ |2-5| - |3-(-2)| + x \] равно 7?
   
   
3. На сколько процентов уменьшится площадь прямоугольника, если каждую его сторону уменьшить на $40\%$?
   
   
4. Найдите число, противоположное корню уравнения \[ 0{,}4 : (x+3) = 1{,}4 : (x-2). \]
   
   
5. Вертолёт пролетел расстояние от $A$ до $B$ при попутном ветре за 3 ч 30 мин, а при встречном — за 6 часов. Найдите расстояние (в километрах) от $A$ до $B$, если скорость ветра равна 10 км/ч.
   
   
6. Найдите среднее арифметическое корней уравнения \[ x \cdot (x-5)(2x-8) = 0. \]
   
   
7. Найдите значение выражения: \[ -3x - (-5x - (-8-6x)) \quad \text{при} \quad x = -1{,}25. \]
   
   
8. Первый насос наполняет бассейн за 4 часа, второй насос — за 6 часов. Сколько времени (в часах) потребуется на наполнение пустого бассейна, если одновременно первый насос будет наливать, а второй насос — откачивать воду из бассейна?
   
   
9. В универмаг поступило 1920 пар обуви новой модели. До обеда продали 60% всей обуви, а после обеда $\frac{3}{8}$ остатка. Сколько пар обуви осталось после дневной продажи?
   
   
10. Сколько литров воды надо добавить к 8 литрам 30% раствора соли, чтобы получить 12% раствор?
    
    
11. Найдите площадь поверхности куба, сумма длин всех рёбер которого равна 48 см.
    
    
12. Определите длину отрезка, разделённого на 2 части так, что большая превышает меньшую на 6,6 см и весь отрезок делится серединой меньшего отрезка в отношении 5:1.
    
    
13. Найдите сумму всех целых значений $x$, для которых \[ \frac{7}{x-2} \] также является целым числом.
    
    
14. Если к двузначному числу приписать слева и справа по 1, то оно увеличится в 21 раз. Найдите это двузначное число.
    
    
15. Периметр треугольника $ABC$ равен 82 см, сторона $AB$ меньше стороны $BC$ на 6 см и больше стороны $AC$ на 5 см. Найдите (в сантиметрах) длину стороны $BC$.
    
    

Решения задач

1. Вычислите:
   $3 \cdot \left( \frac{7}{12} - 2{,}125 + \frac{15}{17} \right) : (-7{,}25)$
   Решение: \[ 2{,}125 = \frac{17}{8}, \quad тогда: \] \[ \frac{7}{12} - \frac{17}{8} + \frac{15}{17} = \frac{-37}{24} + \frac{15}{17} = \frac{-269}{408} \] \[ 3 \cdot \frac{-269}{408} = \frac{-807}{408}, \quad -7{,}25 = -\frac{29}{4} \] \[ \frac{-807}{408} : \left(-\frac{29}{4}\right) = \frac{807 \cdot 4}{408 \cdot 29} = \frac{269}{986} \] Ответ: \(\frac{269}{986}\).
2. При каком значении \(x\) значение выражения \[ |2-5| - |3-(-2)| + x \] равно 7?
   Решение: \[ |2-5| = 3, \quad |3 - (-2)| = 5 \] \[ 3 - 5 + x = 7 \implies -2 + x = 7 \implies x = 9 \] Ответ: 9.
3. На сколько процентов уменьшится площадь прямоугольника, если каждую его сторону уменьшить на $40\%$?
   Решение: Уменьшение стороны до $60\%$ первоначальной. \] Новая площадь: \(0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36\) (36% исходной).
   Уменьшение на \(100\ 36% = 64\%\).
   Ответ: $64\%$.
4. Найдите число, противоположное корню уравнения \[ 0{,}4 : (x+3) = 1{,}4 : (x-2) \\ Решение: \] \[ 0{,}4(x - 2) = 1{,}4(x + 3) \implies 0{,}4x - 0{,}8 = 1{,}4x + 4{,}2 \] \[ -0{,}8 - 4{,}2 = 1{,}4x - 0{,}4x \implies -5 = x \] Противоположное число: 5.
   Ответ: 5.
5. Вертолёт пролетел расстояние от \(A\) до \(B\) при попутном ветре за 3 ч 30 мин, а при встречном — за 6 часов. Найдите расстояние (в километрах) от \(A\) до \(B\), если скорость ветра равна 10 км/ч.
   Решение: Пусть скорость вертолёта \(V\) км/ч. \[ S = (V + 10) \cdot 3{,}5 = (V - 10) \cdot 6 \] \[ 3{,}5V + 35 = 6V - 60 \implies 2{,}5V = 95 \implies V = 38 \] \[ S = (38 + 10) \cdot 3{,}5 = 48 \cdot 3{,}5 = 168 \] Ответ: 168 км.
6. Найдите среднее арифметическое корней уравнения \[ x \cdot (x-5)(2x-8) = 0 \\ Решение: Корни — 0, 5, 4. \] Среднее арифметическое: \(\frac{0 + 5 + 4}{3} = 3\).
   Ответ: 3.
7. Найдите значение выражения:
   $-3x - (-5x - (-8 - 6x)) \quad \text{при} \quad x = -1{,}25$
   Решение: \[ -3x + 5x -8 -6x = (-4x -8) \] Подставляем \(x = -1{,}25\): \[ -4 \cdot (-1{,}25) -8 = 5 -8 = -3 \] Ответ: \(-3\).
8. Первый насос наполняет бассейн за 4 часа, второй насос — за 6 часов. Сколько времени (в часах) потребуется на наполнение пустого бассейна, если одновременно первый насос будет наливать, а второй насос — откачивать воду из бассейна?
   Решение: Совместная производительность: \[ \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \implies \text{Время: } 12 \text{ часов} \] Ответ: 12 часов.
9. В универмаг поступило 1920 пар обуви новой модели. До обеда продали 60% всей обуви, а после обеда \(\frac{3}{8}\) остатка. Сколько пар обуви осталось после дневной продажи?
   Решение: \[ \text{Остаток после обеда: } 1920 \cdot 0{,}4 = 768 \] \[ Продано после обеда: 768 \cdot \frac{3}{8} = 288 \implies \text{Осталось: } 768 - 288 = 480 \] Ответ: 480 пар.
10. Сколько литров воды надо добавить к 8 литрам 30% раствора соли, чтобы получить 12% раствор?
    Решение: \[ 8 \cdot 0{,}3 = 2{,}4 \text{ л соли} \] \[ \frac{2{,}4}{8 + x} = 0{,}12 \implies 2{,}4 = 0{,}12(8 + x) \implies x = 12 \text{ л} \] Ответ: 12 литров.
11. Найдите площадь поверхности куба, сумма длин всех рёбер которого равна 48 см.
    Решение: \[ \text{Длина ребра: } \frac{48}{12} = 4 \text{ см} \] Площадь поверхности: \(6 \cdot 4^2 = 96 \text{ см}^2\).
    Ответ: 96 см\(^2\).
12. Определите длину отрезка, разделённого на 2 части так, что большая превышает меньшую на 6,6 см и весь отрезок делится серединой меньшего отрезка в отношении 5:1.
    Решение: \[ \text{Меньшая часть: } x \implies \text{Большая: } x + 6{,}6 \] Середина меньшей части: \(\frac{x}{2}\). \[ \frac{\frac{x}{2}}{2x + 6{,}6 - \frac{x}{2}} = \frac{1}{5} \implies x = 6{,}6 \] Длина отрезка: \(2 \cdot 6{,}6 + 6{,}6 = 19{,}8 \text{ см}\).
    Ответ: 19,8 см.
13. Найдите сумму всех целых значений \(x\), для которых \[ \frac{7}{x-2} \] также является целым числом.
    Решение: \[ x - 2 \text{ — делитель } 7 \implies x = 3, 1, 9, -5 \] Сумма: \(3 +1 +9 -5 = 8\).
    Ответ: 8.
14. Если к двузначному числу приписать слева и справа по 1, то оно увеличится в 21 раз. Найдите это двузначное число.
    Решение: \[ 1000 + 10a + 1 = 21a \implies 1001 = 11a \implies a = 91 \] Ответ: 91.
15. Периметр треугольника \(ABC\) равен 82 см, сторона \(AB\) меньше стороны \(BC\) на 6 см и больше стороны \(AC\) на 5 см. Найдите (в сантиметрах) длину стороны \(BC\).
    Решение: \[ AB = x \implies BC = x + 6, \quad AC = x -5 \] \[ x + (x + 6) + (x -5) = 82 \implies 3x +1 =82 \implies x =27 \] \[ BC =27 +6 =33 \text{ см} \] Ответ: 33 см.