Школа №1568 из 4 в 5 класс 2021

Школа № 1568

2021

31.03.2021

1. В кучке было 1000 камешков. Первым ходом Саша добавил туда 1 камешек, а Петя забрал 3 камешка, потом Саша добавил 5 камешков, а Петя забрал 7 камешков, затем Саша добавил 9 камешков, и так далее. Сколько камешков оказалось в кучке, когда Саша сделал свой 100-й ход, а Петя ещё не успел ответить?
   
   
2. На конкурсе «Поле Чудес» было предложено 12 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 10 баллов, а за неправильный ответ отнимали 8 баллов. Сколько правильных ответов дал один из участников конкурса, если он набрал 30 баллов?
   
   
3. Длина прямоугольника 25 см, а ширина на 8 см меньше. Этот прямоугольник разделили на две части так, что площадь одной из них оказалась меньше другой в 4 раза. Найдите площадь большей части.
   
   
4. По прямой дороге в одном направлении с постоянной скоростью бегут смешарики Нюша и Крош. Скорость Нюши 3 км/ч, а скорость Кроша 4 км/ч. Через 23 минуты после старта расстояние между ними составило 65 м. На сколько метров в момент старта Нюша опережала Кроша? И через какое время Крош догонит Нюшу?

Решения задач

1. В кучке было 1000 камешков. Первым ходом Саша добавил туда 1 камешек, а Петя забрал 3 камешка, потом Саша добавил 5 камешков, а Петя забрал 7 камешков, затем Саша добавил 9 камешков, и так далее. Сколько камешков оказалось в кучке, когда Саша сделал свой 100-й ход, а Петя ещё не успел ответить?
   Решение: После каждого полного хода (Саша + Петя) добавляется $1 - 3 + 5 - 7 + \ldots$. Однако Саша сделал 100 ходов, а Петя — 99. За каждый ход Саша добавляет $n$-й член последовательности нечётных чисел: $1 + 5 + 9 + \ldots$.
   Сумма добавленных Сашей камешков:
   $S_{\text{Саша}} = \sum_{k=1}^{100} (4k - 3) = \frac{100}{2} \cdot [2 \cdot 1 + 99 \cdot 4] = 50 \cdot 398 = 19\,900$.
   Сумма забранных Петей камешков:
   $S_{\text{Петя}} = \sum_{k=1}^{99} (4k - 1) = \frac{99}{2} \cdot [2 \cdot 3 + 98 \cdot 4] = \frac{99}{2} \cdot 398 = 99 \cdot 199 = 19\,701$.
   Итоговое количество камешков:
   $1\,000 + 19\,900 - 19\,701 = 1\,199$.
   Ответ: 1199.
   
   
2. На конкурсе «Поле Чудес» было предложено 12 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 10 баллов, а за неправильный ответ отнимали 8 баллов. Сколько правильных ответов дал один из участников конкурса, если он набрал 30 баллов?
   Решение: Пусть $x$ — количество правильных ответов. Тогда:
   $10x - 8(12 - x) = 30$.
   $10x - 96 + 8x = 30 \implies 18x = 126 \implies x = 7$.
   Ответ: 7.
   
   
3. Длина прямоугольника 25 см, а ширина на 8 см меньше. Этот прямоугольник разделили на две части так, что площадь одной из них оказалась меньше другой в 4 раза. Найдите площадь большей части.
   Решение: Ширина прямоугольника:
   $25 - 8 = 17$ см.
   Площадь всего прямоугольника:
   $25 \cdot 17 = 425$ см$^2$.
   Пусть площадь меньшей части — $S$, тогда:
   $S + 4S = 425 \implies 5S = 425 \implies S = 85$ см$^2$.
   Площадь большей части:
   $4 \cdot 85 = 340$ см$^2$.
   Ответ: 340 см$^2$.
   
   
4. По прямой дороге в одном направлении с постоянной скоростью бегут смешарики Нюша и Крош. Скорость Нюши 3 км/ч, а скорость Кроша 4 км/ч. Через 23 минуты после старта расстояние между ними составило 65 м. На сколько метров в момент старта Нюша опережала Кроша? И через какое время Крош догонит Нюшу?
   Решение: Переведём скорости в м/мин:
   $v_{\text{Нюша}} = \dfrac{3\,000}{60} = 50$ м/мин,
   $v_{\text{Крош}} = \dfrac{4\,000}{60} = \dfrac{200}{3}$ м/мин.
   Разность скоростей:
   $v_{\text{Крош}} - v_{\text{Нюша}} = \dfrac{200}{3} - 50 = \dfrac{50}{3}$ м/мин.
   Пусть начальное расстояние между ними — $x$ м. После $t = 23$ мин:
   $x - \dfrac{50}{3} \cdot 23 = 65 \implies x = 65 + \dfrac{1150}{3} = \dfrac{1345}{3} \approx 448,\!33$ м.
   Время до встречи:
   $\dfrac{x}{v_{\text{Крош}} - v_{\text{Нюша}}} = \dfrac{\dfrac{1345}{3}}{\dfrac{50}{3}} = \dfrac{1345}{50} = 26,\!9$ мин (или 26 мин 54 с).
   Ответ: На старте Нюша опережала на $\dfrac{1345}{3}$ м, Крош догонит её через 26,9 минут.