Лицей №1568 из 4 в 5 класс 2021 год

Школа № 1568

2021

25.02.2021

1. Часы поставили точно. За каждые сутки эти часы убегают вперёд на 3 минуты. Через сколько суток стрелки часов будут снова показывать точное время?
   
   
2. Аня задумала натуральное число, умножила его на 13, зачеркнула последнюю цифру результата, полученное число умножила на 5, опять зачеркнула последнюю цифру результата и получила число 21. Какое число задумала Аня?
   
   
3. Пройдя четверть пути от дома до школы, Олег обнаружил, что забыл сменную обувь. Вернулся, потратил 5 минут на то, чтобы взять сменку (вместе с дорогой от входа в подъезд до квартиры и обратно), и снова пошёл в школу. В результате, мальчик попал в школу на 13 минут позже, чем обычно. За какое время Олег преодолевает путь от дома до школы, если он всегда идёт с одной и той же скоростью?
   
   
4. Сторона квадрата на 5 см меньше длины прямоугольника и на 3 см больше его ширины. Периметр прямоугольника равен 24 см. Найдите площадь квадрата.

Решения задач

1. Часы поставили точно. За каждые сутки эти часы убегают вперёд на 3 минуты. Через сколько суток стрелки часов будут снова показывать точное время?
   Решение: Часы покажут точное время, когда суммарное опережение составит 12 часов (720 минут). Ежесуточно часы убегают на 3 минуты. Следовательно:
   $\frac{720}{3} = 240$ суток.
   Ответ: 240.
2. Аня задумала натуральное число, умножила его на 13, зачеркнула последнюю цифру результата, полученное число умножила на 5, опять зачеркнула последнюю цифру результата и получила число 21. Какое число задумала Аня?
   Решение: Пусть задуманное число $N$, тогда:
   1) $13N$ — число после первого умножения.
   2) $\left\lfloor \frac{13N}{10} \right\rfloor$ — число после зачёркивания последней цифры.
   3) $5 \cdot \left\lfloor \frac{13N}{10} \right\rfloor$ — результат второго умножения.
   4) $\left\lfloor \frac{5 \cdot \left\lfloor \frac{13N}{10} \right\rfloor}{10} \right\rfloor = 21$.
   Интервал для третьего шага: $210 \leq 5 \cdot \left\lfloor \frac{13N}{10} \right\rfloor \leq 219$, отсюда:
   $42 \leq \left\lfloor \frac{13N}{10} \right\rfloor \leq 43,8 \Rightarrow \left\lfloor \frac{13N}{10} \right\rfloor = 42 \text{ или } 43$.
   При $\left\lfloor \frac{13N}{10} \right\rfloor = 42$:
   $420 \leq 13N \leq 429 \Rightarrow N = 33$, так как $13 \cdot 33 = 429$.
   При $N = 33$:
   $429 \rightarrow 42 \rightarrow 210 \rightarrow 21$. Условие выполняется.
   Ответ: 33.
3. Пройдя четверть пути от дома до школы, Олег обнаружил, что забыл сменную обувь. Вернулся, потратил 5 минут на то, чтобы взять сменку (вместе с дорогой от входа в подъезд до квартиры и обратно), и снова пошёл в школу. В результате, мальчик попал в школу на 13 минут позже, чем обычно. За какое время Олег преодолевает путь от дома до школы, если он всегда идёт с одной и той же скоростью?
   Решение: Пусть обычное время пути $t$ минут.
   Олег прошёл $\frac{1}{4}$ пути, вернулся домой (ещё $\frac{1}{4}$), затратив $\frac{1}{2}$ обычного времени, затем 5 минут на сменку и полный путь в школу. Общее время:
   $\frac{t}{2} + 5 + t = \frac{3t}{2} + 5$.
   Разница с обычным временем: $\frac{3t}{2} + 5 - t = \frac{t}{2} + 5 = 13$.
   $\frac{t}{2} = 8 \Rightarrow t = 16$ минут.
   Ответ: 16.
4. Сторона квадрата на 5 см меньше длины прямоугольника и на 3 см больше его ширины. Периметр прямоугольника равен 24 см. Найдите площадь квадрата.
   Решение: Пусть сторона квадрата — $x$ см. Тогда:
   Длина прямоугольника: $x + 5$ см.
   Ширина прямоугольника: $x - 3$ см.
   Периметр прямоугольника: $2(x + 5 + x - 3) = 24 \Rightarrow 4x + 4 = 24 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$ см.
   Площадь квадрата: $5^2 = 25$ см².
   Ответ: 25.