8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа «Интеллектуал» из 7 в 8 класс 2022 год

Сложность:
Дата экзамена: 06.2022
Печать
youit.school ©

ШКОЛА "ИНТЕЛЛЕКТУАЛ"


2022 год


16.06.2022



  1. Решите систему: \[ \begin{cases} x + y = 7\\ x - y = 5 \end{cases} \] В ответе укажите произведение значений переменных \(x\) и \(y\).

  2. Раскройте скобки, приведите подобные. В ответе укажите полученный многочлен в стандартном виде: \[ 3(a-1)^2 - 3(a-4)(a+5). \]

  3. Разложите многочлен на множители. В ответе укажите полученные многочлены в стандартном виде: \[ x^3 + 27. \]

  4. Внутри отрезка \( AB \) взяли точку \( C \) так, что \[ \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5}. \] Найдите разность длин отрезков \( BC \) и \( AC \), если \( AB = 16 \).

  5. В треугольнике \( ABC \) угол \( B \) равен \( 98^\circ \). Найдите меньший из углов между биссектрисами углов \( A \) и \( C \).

  6. Решите уравнение: \[ 6x = \frac{4.3x - 5}{0.7} - 1. \] В ответе укажите значение переменной \(x\).

  7. Цену на футболку снизили на 20%. После этого футболка стала стоить 400 рублей. Сколько рублей стоила футболка до снижения цены?

  8. Для функции \[ y = \frac{3x-5}{2} + x - 5 \] найдите координаты точки пересечения функции с осью Ox. В ответе запишите координаты через точку с запятой.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите систему: \[ \begin{cases} x + y = 7\\ x - y = 5 \end{cases} \]
    Решение: Сложим уравнения системы:
    $(x + y) + (x - y) = 7 + 5$
    $2x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 6$
    Подставим $x = 6$ в первое уравнение:
    $6 + y = 7 \quad \Rightarrow \quad y = 1$
    Произведение $x \cdot y = 6 \cdot 1 = 6$
    Ответ: 6.
  2. Раскройте скобки, приведите подобные: \[ 3(a-1)^2 - 3(a-4)(a+5) \]
    Решение: Раскроем квадрат и произведение:
    $3(a^2 - 2a + 1) - 3(a^2 + 5a - 4a - 20)$
    $3a^2 - 6a + 3 - 3a^2 - 3a + 60$
    Сократим подобные слагаемые:
    $-9a + 63$
    Ответ: $-9a + 63$.
  3. Разложите многочлен на множители: \[ x^3 + 27 \]
    Решение: Используем формулу суммы кубов:
    $x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$
    Ответ: $(x+3)(x^2 - 3x + 9)$.
  4. Внутри отрезка \( AB \) взяли точку \( C \): \[ \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5}, \quad AB = 16 \]
    Решение: Пусть $AC = 3k$, $BC = 5k$. Тогда:
    $3k + 5k = 16 \quad \Rightarrow \quad k = 2$
    Разность $BC - AC = 5k - 3k = 2k = 4$
    Ответ: 4.
  5. В треугольнике \( ABC \) угол \( B = 98^\circ \). Найдите меньший из углов между биссектрисами углов \( A \) и \( C \).
    Решение: Сумма углов $A$ и $C$:
    $\angle A + \angle C = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$
    Половины углов:
    $\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 41^\circ$
    Угол между биссектрисами:
    $180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$, меньший угол равен $41^\circ$
    Ответ: $41^\circ$.
  6. Решите уравнение: \[ 6x = \frac{4.3x - 5}{0.7} - 1 \]
    Решение: Умножим обе части на 0.7:
    $6x \cdot 0.7 = 4.3x - 5 - 0.7$
    $4.2x = 4.3x - 5.7$
    $-0.1x = -5.7 \quad \Rightarrow \quad x = 57$
    Ответ: 57.
  7. Цену на футболку снизили на 20%. Новая цена 400 рублей.
    Решение: Новая цена составляет 80% от исходной:
    $400 = 0.8 \cdot x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{400}{0.8} = 500$
    Ответ: 500.
  8. Найдите координаты точки пересечения функции с осью Ox: \[ y = \frac{3x-5}{2} + x - 5 \]
    Решение: Приравняем $y = 0$:
    $\frac{3x - 5}{2} + x - 5 = 0$
    Умножим на 2:
    $3x - 5 + 2x - 10 = 0$
    $5x - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$
    Координаты точки: $(3; 0)$
    Ответ: 3;0.
Материалы школы Юайти