Лицей №239 из 8 в 9 класс 2020 год (вариант 4)

Лицей 239

2020 год

1. Вычислите: $\sqrt{8+2 \sqrt{7}}-\sqrt{8-2 \sqrt{7}}$
2. Найдите область определения функции $f(x)=\sqrt{\frac{5+6 x}{3 x+4}-1}$
3. Решите уравнение: $x^{4}+4 x^{2}-5=0$.
4. Решите неравенство: $|x-4|>2 x-1$
5. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны 75 км/ч и 45 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам.
6. При каком $k$ графики функций $y=x^{2}+2 x-239$ и $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{k}$ пересекаются в одной точке?
7. При каком $\boldsymbol{a}$ квадрат разности корней квадратного уравнения $x^{2}-3 x+a=0$ равен $25 ?$
8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
9. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой у=-2х+1.
10. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 100 см, а биссектриса острого угла A делит сторону BC в отношении 2:1, считая от вершины B.
11. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными 24см, 25см, 7см.
12. Разность двух оснований равнобедренной трапеции равна 4. Синус угла при ее основании равен 0,6. Найдите длину боковой стороны трапеции.

Решения задач

1. Вычислите: $\sqrt{8+2 \sqrt{7}}-\sqrt{8-2 \sqrt{7}}$
   Решение: Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
   $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = \sqrt{7} + 1$
   $\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = \sqrt{7} - 1$
   Тогда разность равна:
   $(\sqrt{7} + 1) - (\sqrt{7} - 1) = 2$
   Ответ: 2.
2. Найдите область определения функции $f(x)=\sqrt{\frac{5+6 x}{3 x+4}-1}$
   Решение: Для существования функции необходимо выполнение условий:
   $\frac{5+6x}{3x+4} - 1 \geq 0$ и $3x + 4 \neq 0$
   Преобразуем неравенство:
   $\frac{5+6x - (3x+4)}{3x+4} \geq 0 \Rightarrow \frac{3x + 1}{3x + 4} \geq 0$
   Метод интервалов:
   Нули числителя: $x = -\frac{1}{3}$; знаменателя: $x = -\frac{4}{3}$
   Решение: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup [-\frac{1}{3}; +\infty)$
   Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup [-\frac{1}{3}; +\infty)$.
3. Решите уравнение: $x^{4}+4 x^{2}-5=0$
   Решение: Замена $y = x^2$:
   $y^2 + 4y - 5 = 0$
   Корни: $y = 1$ и $y = -5$ (отрицательный корень отбрасываем)
   Возвращаемся к $x$: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
   Ответ: $\pm 1$.
4. Решите неравенство: $|x-4|>2 x-1$
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1) $x \geq 4$: $x - 4 > 2x - 1 \Rightarrow x < -3$ (нет решений)
   2) $x 2x - 1 \Rightarrow 3x < 5 \Rightarrow x < \frac{5}{3}$
   Объединяя решения: $x < \frac{5}{3}$
   Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{3})$.
5. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны 75 км/ч и 45 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам.
   Решение: Относительная скорость: $75 - 45 = 30$ км/ч = 500 м/мин
   За 2 минуты пассажирский поезд проходит $500 \cdot 2 = 1000$ м
   Длина пассажирского поезда: $1000 - 800 = 200$ м
   Ответ: 200 метров.
6. При каком $k$ графики функций $y=x^{2}+2 x-239$ и $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{k}$ пересекаются в одной точке?
   Решение: Уравнение $x^2 + 2x - 239 = k$ должно иметь один корень:
   Дискриминант: $D = 4 + 4(239 + k) = 4(240 + k) = 0 \Rightarrow k = -240$
   Ответ: -240.
7. При каком $\boldsymbol{a}$ квадрат разности корней квадратного уравнения $x^{2}-3 x+a=0$ равен $25 ?$
   Решение: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 9 - 4a = 25 \Rightarrow a = -4$
   Ответ: -4.
8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
   Решение: Масса вещества: $0.12 \cdot 5 = 0.6$ л
   Объём нового раствора: $5 + 7 = 12$ л
   Концентрация: $\frac{0.6}{12} \cdot 100% = 5\%$
   Ответ: 5\%.
9. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой у=-2х+1.
   Решение: Точки пересечения с осями: $(0; 1)$ и $(0.5; 0)$
   Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 1 = 0.25$
   Ответ: 0.25.
10. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 100 см, а биссектриса острого угла A делит сторону BC в отношении 2:1, считая от вершины B.
    Решение: Пусть $AB = CD = 2b$, $BC = AD = b$
    Периметр: $2(2b + b) = 100 \Rightarrow 3b = 50 \Rightarrow b = \frac{50}{3}$
    Стороны: $AB = CD = \frac{100}{3}$ см, $BC = AD = \frac{50}{3}$ см
    Ответ: $\frac{100}{3}$ см и $\frac{50}{3}$ см.
11. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными 24см, 25см, 7см.
    Решение: Площадь по формуле Герона: $S = 84$ см²
    Высота к большей стороне (25 см): $h = \frac{2 \cdot 84}{25} = 6.72$ см
    Ответ: 6.72 см.
12. Разность двух оснований равнобедренной трапеции равна 4. Синус угла при ее основании равен 0,6. Найдите длину боковой стороны трапеции.
    Решение: Проекция боковой стороны на основание: $\frac{4}{2} = 2$
    $\cos \alpha = \sqrt{1 - 0.6^2} = 0.8$
    Боковая сторона: $c = \frac{2}{0.8} = 2.5$
    Ответ: 2.5.