Лицей №239 из 8 в 9 класс 2020 год (вариант 3)

Лицей 239

2020 год

1. Вычислите: $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}$
2. Найдите область определения функции: $f(x)=\sqrt{\frac{1-2 x}{3 x+5}+2}$
3. Решите уравнение: $x^{4}-3 x^{2}-4=0$.
4. Решите неравенство: $|x-3|<6-3 x$
5. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны $\mathbf{7 0}$ км/ $\boldsymbol{u}$ и $\mathbf{3 0}$ км/น. Длина товарного поезда равна 1400 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минумам.
6. При каком $k$ графики функций $y=x^{2}-2 x+239$ и $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{k}$ пересекаются в одной точке?
7. При каком $\boldsymbol{a}$ квадрат разности корней квадратного уравнения $x^{2}-2 x+a=0$ равен $16 ?$
8. В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного раствора некоторого вещества, добавили 21 литр воды. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
9. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой у = 2х - 1.
10. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 64 см, а биссектриса острого угла A делит сторону BC в отношении 1:2, считая от вершины B.
11. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными 15см, 17см, 8см.
12. Разность двух оснований равнобедренной трапеции равна 3. Синус угла при ее основании равен 0,8. Найдите длину боковой стороны трапеции.

Решения задач

1. Вычислите: $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}$
   Решение: Представим каждое подкоренное выражение в виде квадрата суммы/разности:
   $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$
   $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$
   Сумма: $(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$
   Ответ: 4.
2. Найдите область определения функции: $f(x)=\sqrt{\frac{1-2 x}{3 x+5}+2}$
   Решение: Решим неравенство $\frac{1-2x}{3x+5} + 2 \geq 0$:
   $\frac{1-2x + 2(3x+5)}{3x+5} \geq 0 \Rightarrow \frac{4x + 11}{3x + 5} \geq 0$
   Корни числителя и знаменателя: $x = -\frac{11}{4}$, $x = -\frac{5}{3}$
   Метод интервалов: $x \in (-\infty; -\frac{11}{4}] \cup (-\frac{5}{3}; +\infty)$
   Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{11}{4}] \cup (-\frac{5}{3}; +\infty)$.
3. Решите уравнение: $x^{4}-3 x^{2}-4=0$
   Решение: Замена $y = x^2$:
   $y^2 - 3y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4$ (так как $y = -1$ не подходит)
   $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
   Ответ: $\pm 2$.
4. Решите неравенство: $|x-3|<6-3 x$
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1) $x \geq 3$: $x - 3 < 6 - 3x \Rightarrow 4x < 9 \Rightarrow x < \frac{9}{4}$ — нет решений.
   2) $x < 3$: $-x + 3 < 6 - 3x \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2}$
   Учитывая $6 - 3x > 0 \Rightarrow x < 2$, окончательно: $x \in (-\infty; \frac{3}{2})$
   Ответ: $x \in (-\infty; 1,5)$.
5. Найдите длину пассажирского поезда
   Решение: Скорость сближения: $70 - 30 = 40$ км/ч = $\frac{100}{9}$ м/с
   Время обгона: 3 мин = 180 с
   Длина товарного поезда: 1400 м
   Суммарная длина: $\frac{100}{9} \cdot 180 = 2000$ м
   Длина пассажирского: $2000 - 1400 = 600$ м
   Ответ: 600 метров.
6. При каком $k$ графики пересекаются в одной точке?
   Решение: Уравнение $x^2 - 2x + 239 = k$ должно иметь один корень:
   Дискриминант: $4 - 4(239 - k) = 0 \Rightarrow k = 238$
   Ответ: 238.
7. При каком $a$ квадрат разности корней равен 16?
   Решение: $(x_1 - x_2)^2 = 16 \Rightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 16$
   По теореме Виета: $4 - 4a = 16 \Rightarrow a = -3$
   Ответ: $-3$.
8. Концентрация полученного раствора
   Решение: Масса вещества: $7 \cdot 0,14 = 0,98$ л
   Общий объём: $7 + 21 = 28$ л
   Концентрация: $\frac{0,98}{28} \cdot 100% = 3,5\%$
   Ответ: 3,5\%.
9. Площадь треугольника
   Решение: Точки пересечения: $(0; -1)$, $(0,5; 0)$, $(0; 0)$
   Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 1 = 0,25$
   Ответ: 0,25.
10. Стороны параллелограмма
    Решение: Пусть $AB = x$, $AD = y$. Периметр: $2(x + y) = 64 \Rightarrow x + y = 32$
    Биссектриса делит $BC$ в отношении $1:2 \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2x$
    Решаем систему: $x + 2x = 32 \Rightarrow x = \frac{32}{3}$, $y = \frac{64}{3}$
    Ответ: $\frac{32}{3}$ см и $\frac{64}{3}$ см.
11. Меньшая высота треугольника
    Решение: Полупериметр: $p = 20$
    Площадь по формуле Герона: $\sqrt{20 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 12} = 60$
    Меньшая высота (к наибольшей стороне 17): $h = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17}$
    Ответ: $\frac{120}{17}$ см.
12. Длина боковой стороны трапеции
    Решение: Разность оснований: $b - a = 3$
    Проекция боковой стороны: $\frac{3}{2} = c \cdot \cos\alpha$
    $\sin\alpha = 0,8 \Rightarrow \cos\alpha = 0,6$
    $c = \frac{1,5}{0,6} = 2,5$
    Ответ: 2,5.