Лицей №239 из 8 в 9 класс 2017 год (вариант 2)
youit.school ©
Лицей 239
2017 год
Вариант 2- Упростите: $\frac{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.
- В банк 01.01.2014 г. положили 2000 р. 31 декабря каждого года банк увеличивает вклад на одно и то же число процентов. На какое число процентов ежегодно увеличивается вклад , если $01.01 .2016$ г. вклад составил 2420 р.?
- Решите неравенство: $\left|x^{2}-2 x-15\right| \leq-2 x+15 .$
- Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}y^{2}-x y=4 \\ x^{2}-x y=-3\end{array}\right.$.
- Не решая уравнение $x^{2}-3 x-2=0$, найдите сумму кубов его корней.
- Решите уравнение $x^{3}+x^{2}+b x-24=0$, если известно, что один из его корней равен $-2$.
- Упростите: $\sqrt{54-14 \sqrt{5}}+\sqrt{5}$.
- Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр $0,1,4,5$, если цифры числа могут повторяться?
- Постройте график функции $y=\frac{3 x^{2}+8 x+4}{|2 x+2|+x}$. При каких $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком общих точек?
- При каких значениях $x$ и $y$ выражение $6-2 x^{2}-2 x y-6 x-y^{2}$ принимает наимбольшее значение?
- При каких $a$ уравнение $a x^{2}+4(a-1) x+4 a-3=0$ имеет ровно один корень?
- Решите уравнение: $x^{2}-3 x-1+\frac{3}{x^{2}-3 x+3}=0$
- Спортсмен-триатлонист сначала проплыл 1 км за 15 мин, потом пробежал 10 км за 50 мин, затем проехал на велосипеде 29 км за 55 мин. Какова средняя скорость спортсмена?
- Бросаются 2 игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $4 .$
- Вычислите площадь треугольника, ограниченного графиком функции $y=|2 x+2|-1$ и осью абсцисс.
- В треугольнике АВС ВМ - биссектриса. Площадь треугольника АВМ относится к площади треугольника ВСМ как 1:3. Найдите $\mathrm{AB}$, если $\mathrm{BC}-12 \mathrm{~cm}$.
- Точка L принадлежит стороне ВС параллелограмма ABCD. Найдите площадь ABCD, если площадь треугольника ALD равна $23 .$
- В остроугольном треугольнике $\mathrm{ABC}$ провели высоты $\mathrm{AA}_{1}$ и $\mathrm{BB}_{1}$. Найдите $\angle \mathrm{CB}_{1} \mathrm{~A}_{1}$, если $\angle \mathrm{CBA}=17^{\circ}$.
- В трапеции $A B C D$ основание $A D$ больше основания ВС на 3 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если $\angle \mathrm{A}=21^{\circ} ; \angle \mathrm{D}=69^{\circ}$.
- Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а высота, проведённая к ней, равна $4 .$
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростите: $\frac{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.
Решение: Представим числитель как сумму кубов:
$\frac{(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = x - \sqrt{xy} + y$.
Ответ: $x - \sqrt{xy} + y$. - В банк 01.01.2014 г. положили 2000 р. 31 декабря каждого года банк увеличивает вклад на одно и то же число процентов. На какое число процентов ежегодно увеличивается вклад, если 01.01.2016 г. вклад составил 2420 р.?
Решение: Пусть годовая ставка $p\%$. Тогда:
$2000 \cdot (1 + \frac{p}{100})^2 = 2420$
$(1 + \frac{p}{100})^2 = 1.21$
$1 + \frac{p}{100} = 1.1$
$p = 10\%$.
Ответ: 10\%. - Решите неравенство: $\left|x^{2}-2 x-15\right| \leq-2 x+15$.
Решение: Рассмотрим два случая:
1. $x^2 - 2x -15 \geq 0$:
$x^2 - 2x -15 \leq -2x +15$
$x^2 \leq 30$
$x \in [-\sqrt{30}; \sqrt{30}]$
Пересечение с $x \leq -3$ или $x \geq 5$: $x \in [5; \sqrt{30}]$.
2. $x^2 - 2x -15 < 0$:
$-x^2 + 2x +15 \leq -2x +15$
$-x^2 +4x \leq 0$
$x(x -4) \geq 0$
Пересечение с $-3 < x <5$: $x \in (-3;0] \cup [4;5)$.
Объединяя решения: $x \in (-3;0] \cup [4; \sqrt{30}]$.
Ответ: $x \in (-3;0] \cup [4; \sqrt{30}]$. - Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}y^{2}-x y=4 \\ x^{2}-x y=-3\end{array}\right.$.
Решение: Вычтем уравнения: $y^2 - x^2 =7$
$(y -x)(y +x) =7$.
Из второго уравнения: $x(x -y) = -3$
Пусть $k = y -x$, тогда $xk =3$.
Подставляем $k = \pm1$:
При $k=1$: $x=3$, $y=4$.
При $k=-1$: $x=-3$, $y=-4$.
Ответ: $(3;4)$, $(-3;-4)$. - Не решая уравнение $x^{2}-3 x-2=0$, найдите сумму кубов его корней.
Решение: По теореме Виета: $a +b=3$, $ab=-2$.
Сумма кубов: $a^3 +b^3 = (a +b)^3 -3ab(a +b) = 27 -3(-2)(3) =45$.
Ответ: 45. - Решите уравнение $x^{3}+x^{2}+b x-24=0$, если известно, что один из его корней равен $-2$.
Решение: Подставим $x=-2$:
$-8 +4 -2b -24=0$
$-2b =28$
$b=-14$.
Разложим многочлен: $(x +2)(x^2 -x -12)=0$
Корни: $x=-2$, $x=4$, $x=-3$.
Ответ: $-2$, $4$, $-3$. - Упростите: $\sqrt{54-14 \sqrt{5}}+\sqrt{5}$.
Решение: Представим подкоренное выражение как квадрат:
$\sqrt{(7 - \sqrt{5})^2} =7 - \sqrt{5}$.
Тогда выражение: $7 - \sqrt{5} + \sqrt{5} =7$.
Ответ: 7. - Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр $0,1,4,5$, если цифры числа могут повторяться?
Решение: Последняя цифра — 0 или 4.
1. Последняя 0: $3 \cdot4 =12$ вариантов.
2. Последняя 4: $3 \cdot4 =12$ вариантов.
Всего: $12 +12 =24$.
Ответ: 24. - Постройте график функции $y=\frac{3 x^{2}+8 x+4}{|2 x+2|+x}$. При каких $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком общих точек?
Решение: Разобьём на случаи:
1. $x \geq -1$: $y=x+2$.
2. $x < -1$: $y=-3x -2$.
Область значений: $y \geq1$, кроме $y=4$ (разрыв при $x=-2$).
Ответ: $a <1$ или $a=4$. - При каких значениях $x$ и $y$ выражение $6-2 x^{2}-2 x y-6 x-y^{2}$ принимает наибольшее значение?
Решение: Преобразуем выражение:
$15 -2\left(x+\frac{y+3}{2}\right)^2 -\frac{(y-3)^2}{2}$.
Максимум достигается при $x=-3$, $y=3$.
Ответ: $x=-3$, $y=3$. - При каких $a$ уравнение $a x^{2}+4(a-1) x+4 a-3=0$ имеет ровно один корень?
Решение:
1. $a=0$: линейное уравнение с одним корнем.
2. $a \neq0$: дискриминант $D=-20a +16=0$ ⇒$a=\frac{4}{5}$.
Ответ: $a=0$ или $a=\frac{4}{5}$. - Решите уравнение: $x^{2}-3 x-1+\frac{3}{x^{2}-3 x+3}=0$.
Решение: Замена $y=x^2 -3x$:
$y -1 +\frac{3}{y +3}=0$ ⇒$y(y +2)=0$.
Корни: $x=0$, $x=3$, $x=1$, $x=2$.
Ответ: $0$, $1$, $2$, $3$. - Спортсмен-триатлонист сначала проплыл 1 км за 15 мин, потом пробежал 10 км за 50 мин, затем проехал на велосипеде 29 км за 55 мин. Какова средняя скорость спортсмена?
Решение: Общий путь: $1 +10 +29=40$ км.
Общее время: $\frac{15 +50 +55}{60}=2$ ч.
Средняя скорость: $\frac{40}{2}=20$ км/ч.
Ответ: 20 км/ч. - Бросаются 2 игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $4$.
Решение: Благоприятные исходы: $(1,3)$, $(2,2)$, $(3,1)$.
Вероятность: $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$. - Вычислите площадь треугольника, ограниченного графиком функции $y=|2 x+2|-1$ и осью абсцисс.
Решение: Точки пересечения: $x=-1.5$ и $x=-0.5$.
Площадь двух треугольников: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot1 \cdot0.5=0.5$.
Ответ: $0.5$. - В треугольнике АВС ВМ - биссектриса. Площадь треугольника АВМ относится к площади треугольника ВСМ как 1:3. Найдите $\mathrm{AB}$, если $\mathrm{BC}=12$ см.
Решение: По свойству биссектрисы: $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{3}$ ⇒$AB=4$ см.
Ответ: 4 см. - Точка L принадлежит стороне ВС параллелограмма ABCD. Найдите площадь ABCD, если площадь треугольника ALD равна $23$.
Решение: Площадь ALD равна половине площади параллелограмма ⇒$S_{ABCD}=46$.
Ответ: 46. - В остроугольном треугольнике $\mathrm{ABC}$ провели высоты $\mathrm{AA}_{1}$ и $\mathrm{BB}_{1}$. Найдите $\angle \mathrm{CB}_{1} \mathrm{~A}_{1}$, если $\angle \mathrm{CBA}=17^{\circ}$.
Решение: Угол $\angle CB_1A_1 =17^{\circ}$ (соответствует углу при вершине B).
Ответ: $17^{\circ}$. - В трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше основания $BC$ на 3 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если $\angle \mathrm{A}=21^{\circ}$, $\angle \mathrm{D}=69^{\circ}$.
Решение: Средняя линия трапеции: $\frac{AD +BC}{2} =BC +1.5$.
Из прямоугольных треугольников: $BC +1.5= \frac{3}{2 \sin42^{\circ}} \approx2.25$ см.
Ответ: $1.5$ см. - Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а высота, проведённая к ней, равна $4$.
Решение: Углы $15^{\circ}$ и $75^{\circ}$ (высота $h=4=\frac{ab}{c}$ при $ab=64$, $a=8(\sqrt{3}-1)$, $b=8(\sqrt{3}+1)$).
Ответ: $15^{\circ}$ и $75^{\circ}$.
Материалы школы Юайти