Лицей №239 из 8 в 9 класс 2015 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2015 год

1. Разложить на множители $x^{3}-4 x^{2}+x+6$
2. Выполнить действия $\left(\mathrm{c}+\frac{8-\mathrm{c}^{3}}{\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{c}}\right) \cdot \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}^{2}+4 \mathrm{c}+4}+\frac{2}{2+\mathrm{c}}$
3. Цена билета на стадион была 120 рублей. После снижения цены билета количество посетителей увеличилось на $50 %$, а сбор увеличился на $25 %$. Найти новую цену билета.
4. Решить уравнение $\frac{1-2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}=\frac{-2}{\mathrm{x}^{2}-1}$
5. Вычислить $(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-a}}) \cdot \sqrt{2+a} \cdot(\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3-a}})-\mathrm{a}$
6. Решить уравнение $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}+36=0$, если известно, что его корни $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ связаны соотношением $\frac{1}{\mathrm{x}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{x}_{2}}=\frac{5}{12}$
7. Решить Уравнение $\sqrt{\mathrm{x}-2} \cdot\left(3 \mathrm{x}^{2}-11 \mathrm{x}+6\right)=0$
8. Решить неравенство $\frac{\left(1-\mathrm{x}^{2}\right) \cdot\left(2 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}-7\right)}{2+\mathrm{x}} \geq 0$
9. Решить неравенство $x^{2}-5 x+6>|x-6|$
10. Нарисовать на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию $\frac{\left(\mathrm{x}^{2}-9\right) \cdot(\mathrm{y}-\mathrm{x}+1)}{\mathrm{x}-3}=0$
11. Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ равно $\frac{a b}{5}$. Найдите их наибольший общий делитель.
12. При каких значениях $\kappa$ прямая $y=2 x+3$ имеет с параболой $y=(x-\kappa)^{2}$ хотя бы одну общую точку?
13. При каких значениях х и увыражение $5 \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{x}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{xy}+1$ принимает наименьшее значение?
14. Решить систему: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-3 x y=1 \\ x+y=1\end{array}\right.$
15. Найдите расстояние от начала координат до прямой $y=2+2 x$
16. На окружности взяли 6 точек и провели через них всевозможные хорды. Сколько всего хорд провели?
17. В равнобедренном треугольнике один из углов равен $120^{\circ}$. Найти высоту, проведенную к боковой стороне, если основание треугольника равно 30 см.
18. Четырехугольник $A B C D$ трапеция $(A D \square B C)$.Известно, что $\frac{S_{\square A O D}}{S_{\square B O C}}=25$. Найти $\frac{B C}{A D}$
19. Стороны треугольника равны $\sqrt{5}, \sqrt{11}, 4 .$ Найдите площадь треугольника.
20. В прямоугольной трапеции $A B C D(A D \square B C)$ угол $B=120^{\circ}, A B=B C=6 . K$ - середина $B C$. Найти $A K$

Решения задач

1. Разложить на множители $x^{3}-4 x^{2}+x+6$
   Решение: Найдём целый корень. Проверим $x=2$: $8 - 16 + 2 + 6 = 0$. Разделим многочлен на $(x-2)$ методом Горнера:
   $x^3 - 4x^2 +x +6 = (x-2)(x^2 - 2x -3)$
   $x^2 -2x -3 = (x-3)(x+1)$
   
   Окончательно:
   $(x-2)(x-3)(x+1)$
   Ответ: $(x-2)(x-3)(x+1)$.
   
   
2. Выполнить действия $\left(c+\frac{8-c^{3}}{c^{2}-2c}\right) \cdot \frac{c}{c^{2}+4c+4}+\frac{2}{2+c}$
   Решение: Упростим выражение в скобках:
   $c + \frac{8-c^3}{c(c-2)} = \frac{c^2(c-2) + 8 -c^3}{c(c-2)} = \frac{-2(c^2-4)}{c(c-2)} = \frac{-2(c-2)(c+2)}{c(c-2)} = \frac{-2(c+2)}{c}$
   Умножим на $\frac{c}{(c+2)^2}$:
   $\frac{-2(c+2)}{c} \cdot \frac{c}{(c+2)^2} = \frac{-2}{c+2}$
   Добавим оставшееся слагаемое:
   $\frac{-2}{c+2} + \frac{2}{2+c} = 0$
   Ответ: 0.
   
   
3. Цена билета на стадион была 120 рублей. После снижения цены количество посетителей увеличилось на 50\%, а сбор увеличился на 25\%. Найти новую цену билета.
   Решение: Пусть новая цена $x$, тогда:
   $1.5N \cdot x = 1.25 \cdot 120N$
   $1.5x = 150 \implies x = 100$
   Ответ: 100.
   
   
4. Решить уравнение $\frac{1-2x}{x-1}=\frac{-2}{x^{2}-1}$
   Решение: Преобразуем уравнение:
   $\frac{1-2x}{x-1} + \frac{2}{(x-1)(x+1)} = 0$
   Общий знаменатель $(x-1)(x+1)$:
   $(1-2x)(x+1) + 2 = -2x^2 -x +3 = 0$
   Корни: $2x^2 +x -3=0 \implies x = 1$ (не подходит) и $x = -\frac{3}{2}$.
   Ответ: $-\frac{3}{2}$.
   
   
5. Вычислить $(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-a}}) \cdot \sqrt{2+a} \cdot(\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3-a}})-a$
   Решение: Используем тождество $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
   $\sqrt{(\sqrt{5}^2 - (\sqrt{3-a})^2)} \cdot \sqrt{2+a} - a = \sqrt{2+a} \cdot \sqrt{2+a} - a = 2+a - a = 2$
   Ответ: 2.
   
   
6. Решить уравнение $x^{2}+px+36=0$ с условием $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{5}{12}$
   Решение: По Виету:
   $\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-p}{36} = \frac{5}{12} \implies p = -15$
   Уравнение: $x^2 -15x +36=0$ с корнями 3 и 12.
   Ответ: $3; 12$.
   
   
7. Решить уравнение $\sqrt{x-2} \cdot(3x^{2}-11x+6)=0$
   Решение: Корень уравнения $\sqrt{x-2}=0 \implies x=2$. Квадратное уравнение:
   $3x^2 -11x +6 =0 \implies x=3$ и $x=\frac{2}{3}$ (не подходит по ОДЗ).
   Ответ: $2; 3$.
   
   
8. Решить неравенство $\frac{(1-x^{2})(2x^{2}+5x-7)}{2+x} \geq 0$
   Решение: Разложим числитель:
   $-(x-1)(x+1)(2x-2)(x+3.5)$
   Интервалы для $x \in (-\infty; -3.5] \cup (-2; -1] \cup \{1\}$.
   Ответ: $(-\infty; -3.5] \cup (-2; -1] \cup \{1\}$.
   
   
9. Решить неравенство $x^{2}-5x+6>|x-6|$
   Решение: Разбиваем на случаи:
   $\begin{cases}x \geq6 \implies x^2 -5x +6 >x-6 \implies x \geq6 \\ x 0 \implies x \in (-\infty;0) \cup (4;6)\end{cases}$
   Объединяем: $(-\infty;0) \cup (4; \infty)$.
   Ответ: $(-\infty;0) \cup (4; \infty)$.
   
   
10. Нарисовать множество точек, удовлетворяющих $\frac{(x^{2}-9)(y-x+1)}{x-3}=0$
    Решение: Исключая $x=3$, получаем:
    $x=-3$ (любые $y$) и $y=x-1$ (кроме $x=3$).
    Ответ: Прямая $x=-3$ и прямая $y=x-1$ без точки $(3,2)$.
    
    
11. НОК чисел $a$ и $b$ равно $\frac{ab}{5}$. Найти НОД.
    Решение: По формуле НОК$\cdot$НОД $=ab \implies \frac{ab}{5} \cdot$НОД$=ab \implies$ НОД$=5$.
    Ответ: 5.
    
    
12. При каких $k$ прямая $y=2x+3$ имеет с параболой $y=(x-k)^{2}$ общие точки?
    Решение: Уравнение $2x+3 = (x-k)^2$, дискриминант:
    $8k +16 \geq0 \implies k \geq -2$
    Ответ: $k \geq -2$.
    
    
13. Найти минимум $5x^{2}+4x+y^{2}-2xy+1$
    Решение: Выделяем полный квадрат:
    $(y -x)^2 +4(x+\frac{1}{2})^2$, минимум при $x=-\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}$.
    Ответ: Минимум при $x=-\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}$.
    
    
14. Решить систему $\begin{cases}x^{2}-3xy=1 \\ x+y=1\end{cases}$
    Решение: Подставляем $y=1-x$ в первое уравнение:
    $x^2 -3x(1-x)=1 \implies 4x^2 -3x -1=0 \implies x=1$, $y=0$ и $x=-\frac{1}{4}$, $y=\frac{5}{4}$.
    Ответ: $(1; 0)$ и $(-\frac{1}{4}; \frac{5}{4})$.
    
    
15. Найти расстояние от начала координат до прямой $y=2+2x$
    Решение: Формула расстояния:
    $\frac{|2(0) -1(0) +2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
    Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
    
    
16. Количество хорд через 6 точек на окружности
    Решение: Число хорд $C^2_6=15$
    Ответ: 15.
    
    
17. Высота в равнобедренном треугольнике с углом $120^{\circ}$ и основанием 30 см
    Решение: Высота к боковой стороне делит её пополам. По формуле площади:
    $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\sqrt{3} =15$ см.
    Ответ: 15 см.
    
    
18. Отношение оснований трапеции по площадям треугольников
    Решение: $\frac{BC}{AD} = \sqrt{\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}} = \frac{1}{5}$
    Ответ: $\frac{1}{5}$.
    
    
19. Площадь треугольника со сторонами $\sqrt{5}, \sqrt{11}, 4$
    Решение: Проверяем прямоугольность:
    $4^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{11})^2$, площадь $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{11}}{2} = \frac{\sqrt{55}}{2}$.
    Ответ: $\frac{\sqrt{55}}{2}$.
    
    
20. Длина $AK$ в прямоугольной трапеции $ABCD$
    Решение: Координаты точек и векторный анализ дают $AK=6\sqrt{3}$.
    Ответ: $6\sqrt{3}$.