Лицей №239 из 8 в 9 класс 2013 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2013 год

1. Упростите выражение: $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{\sqrt{17}+2} \cdot \sqrt{\sqrt{17}-2}}$.
2. Вычислите: 562.570-568.564.
3. Сократите дробь: $\quad \frac{15^{n+4}}{3^{n+2,5^{n+3}}}$.
4. Рубашка на 20%дешевле пиджака. На сколько процентов пиджак дороже рубашки?
5. Известно, что парабола проходит через точку А(-1;0,75), и ее вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую $y=12$.
6. Постройте график $\mathrm{y}=|\mathrm{x}-2|+|\mathrm{x}+1|$.
7. В шахматном турнире принимают участие 7 игроков. Сколько нужно сыграть игр, чтобы каждый шахматист сыграл с каждым?
8. Найти сумму квадратов корней квадратного уравнения $x^{2}+9 x+20=0$.
9. Решите уравнение: $\frac{5 x}{1-x}=\frac{10 x}{x^{2}+x+1}-\frac{10 x^{2}+5 x}{1-x^{3}}$.
10. Упростите выражение: $\left(\sqrt{m}+\frac{n}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}\right)\left(1+\frac{\sqrt{n^{3}}}{m \sqrt{m}-n \sqrt{n}}\right)(\sqrt{m}-\sqrt{n})$.
11. Найдите наименьшее значение выражения $x^{2}+2 x y+8 y^{2}$, если $x-2 y=4 .$
12. Из Санкт-Петербурга в Псков выехал автомобиль Москвич со скоростью 60км/ч. В то же время навстречу ему из Пскова выехал автомобиль Жигули со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние было между ними за час до встречи?
13. Найдите область определения функции $\mathrm{f}(\mathrm{x}): \sqrt{\frac{x^{2}+8 x+15}{x-2}} .$
14. Найдите такие натуральные а,в и с, что $a \cdot 29+_{B} \cdot 30+c \cdot 31=366$.
15. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ угол $\mathrm{C}$ прямой. $\mathrm{AC}=3, \mathrm{BC}=4$. Найдите медиану СК.
16. Прямая проходит через точку В $(2 ; 1)$ и пересекает ось абсцисс в точке, удаленной от начала координат на $3 .$ Напишите уравнение этой прямой.
17. Три окружности, радиусы которых 2,4 и 6 , попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трех окружностей.
18. Сторона ромба равна 20, а тупой угол $120^{\circ}$. Найдите длину меньшей диагонали.
19. Площадь прямоугольной трапеции $54 \mathrm{~cm}^{2} .$ Две меньшие стороны равны между собой, а острый угол $45^{0} .$ Найдите меньшее основание.
20. B треугольнике $\mathrm{ABC}$ угол $\mathrm{B}=64^{0}$, угол $\mathrm{C}=24^{0} .$ Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины A.

Решения задач

1. Упростите выражение: \(\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{\sqrt{17}+2} \cdot \sqrt{\sqrt{17}-2}}\).
   Решение: \[ \sqrt{\sqrt{17}+2} \cdot \sqrt{\sqrt{17}-2} = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - 2^2} = \sqrt{13} \] \[ \frac{\sqrt{52}}{\sqrt{13}} = \sqrt{\frac{52}{13}} = \sqrt{4} = 2 \] Ответ: 2.
2. Вычислите: \(562 \times 570 - 568 \times 564\).
   Решение: \[ 562 \times 570 = (566 - 4)(566 + 4) = 566^2 - 16 \] \[ 568 \times 564 = (566 + 2)(566 - 2) = 566^2 - 4 \] \[ 566^2 - 16 - (566^2 - 4) = -12 \] Ответ: -12.
3. Сократите дробь: \(\frac{15^{n+4}}{3^{n+2} \cdot 5^{n+3}}\).
   Решение: \[ 15^{n+4} = 3^{n+4} \cdot 5^{n+4} \] \[ \frac{3^{n+4} \cdot 5^{n+4}}{3^{n+2} \cdot 5^{n+3}} = 3^2 \cdot 5 = 45 \] Ответ: 45.
4. Рубашка на 20% дешевле пиджака. На сколько процентов пиджак дороже рубашки?
   Решение: Пусть цена пиджака \(P\), тогда цена рубашки \(0.8P\). \[ \frac{P - 0.8P}{0.8P} \times 100% = 25\% \] Ответ: на 25\%.
5. Известно, что парабола проходит через точку \(А(-1; 0.75)\), и ее вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую \(y=12\).
   Решение: Уравнение параболы: \(y = ax^2\). \[ 0.75 = a(-1)^2 \Rightarrow a = 0.75 \] \[ 12 = 0.75x^2 \Rightarrow x = \pm4 \] Ответ: \(y = 0.75x^2\); точки пересечения \((\pm4, 12)\).
6. Постройте график \(y = |x - 2| + |x + 1|\).
   Решение: Критические точки \(x = -1\) и \(x = 2\): \[ y = \begin{cases} -2x + 1, & x < -1 \\ 3, & -1 \leq x < 2 \\ 2x - 1, & x \geq 2 \end{cases} \] Ответ: график состоит из трёх линейных участков.
7. В шахматном турнире принимают участие 7 игроков. Сколько нужно сыграть игр, чтобы каждый шахматист сыграл с каждым?
   Решение: \[ C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2} = 21 \] Ответ: 21.
8. Найти сумму квадратов корней квадратного уравнения \(x^2 + 9x + 20 = 0\).
   Решение: \[ x_1 + x_2 = -9, \quad x_1x_2 = 20 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 81 - 40 = 41 \] Ответ: 41.
9. Решите уравнение: \(\frac{5x}{1 - x} = \frac{10x}{x^2 + x + 1} - \frac{10x^2 + 5x}{1 - x^3}\).
   Решение: Общий знаменатель: \((1 - x)(x^2 + x + 1)\). \[ 5x(x^2 + x + 1) = 10x(1 - x) - (10x^2 + 5x) \] \[ 5x^3 + 5x^2 + 5x = 10x - 10x^2 - 10x^2 - 5x \] \[ 5x^3 + 25x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = -5 \] Ответ: \(x = 0\); \(x = -5\).
10. Упростите выражение: \(\left(\sqrt{m} + \frac{n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}\right)\left(1 + \frac{\sqrt{n^3}}{m\sqrt{m} - n\sqrt{n}}\right)(\sqrt{m} - \sqrt{n})\).
    Решение: После упрощений: \[ (\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = m - n \] Ответ: \(m - n\).
11. Найдите наименьшее значение выражения \(x^2 + 2xy + 8y^2\), если \(x - 2y = 4\).
    Решение: \[ x = 2y + 4 \] \[ (2y + 4)^2 + 2(2y + 4)y + 8y^2 = 16y^2 + 24y + 16 \] Минимум при \(y = -\frac{3}{4}\): \[ 16\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 24\left(-\frac{3}{4}\right) + 16 = 7 \] Ответ: 7.
12. Из Санкт-Петербурга в Псков выехал автомобиль Москвич со скоростью 60 км/ч. В то же время навстречу ему из Пскова выехал автомобиль Жигули со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние было между ними за час до встречи?
    Решение: За час до встречи сумма пройденных расстояний: \[ 60 + 80 = 140 \text{ км} \] Ответ: 140 км.
13. Найдите область определения функции \(f(x) = \sqrt{\frac{x^2 + 8x + 15}{x - 2}}\).
    Решение: \[ \frac{(x + 3)(x + 5)}{x - 2} \geq 0 \] Ответ: \(x \in [-5, -3] \cup (2, +\infty)\).
14. Найдите такие натуральные \(a, b, c\), что \(a \cdot 29 + b \cdot 30 + c \cdot 31 = 366\).
    Решение: Подбором: \[ a = 1, \quad b = 4, \quad c = 7 \] Ответ: \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = 7\).
15. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой. \(AC = 3\), \(BC = 4\). Найдите медиану \(CK\).
    Решение: Гипотенуза \(AB = 5\): \[ CK = \frac{AB}{2} = 2.5 \] Ответ: 2.5.
16. Прямая проходит через точку \(B(2; 1)\) и пересекает ось абсцисс в точке, удаленной от начала координат на 3. Напишите уравнение этой прямой.
    Решение: Точки пересечения: \((3, 0)\) и \((-3, 0)\): \[ y = -x + 3 \quad \text{или} \quad y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5} \] Ответ: \(y = -x + 3\) и \(y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}\).
17. Три окружности, радиусы которых 2, 4 и 6, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трех окружностей.
    Решение: Стороны треугольника: 6, 8, 10 (прямоугольный): \[ r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2 \] Ответ: 2.
18. Сторона ромба равна 20, а тупой угол \(120^\circ\). Найдите длину меньшей диагонали.
    Решение: Меньшая диагональ: \[ d = 2 \times 20 \times \sin(30^\circ) = 20 \] Ответ: 20.
19. Площадь прямоугольной трапеции 54 см². Две меньшие стороны равны между собой, а острый угол \(45^\circ\). Найдите меньшее основание.
    Решение: Высота \(h = a\): \[ \frac{a + (a + a)}{2} \times a = 54 \Rightarrow a = 6 \] Ответ: 6 см.
20. В треугольнике \(ABC\) угол \(B = 64^\circ\), угол \(C = 24^\circ\). Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины \(A\).
    Решение: Угол \(BAC = 92^\circ\). Биссектриса делит угол на \(46^\circ\), высота образует угол \(66^\circ\): \[ 66^\circ - 46^\circ = 20^\circ \] Ответ: \(20^\circ\).