Лицей №239 из 8 в 9 класс 2011 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2011 год

1. Упростить: $\frac{a \sqrt{a}+1}{a-\sqrt{a}-2}-\frac{3(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}-2}$
2. $\sqrt{t^{2}+\frac{9}{t^{2}}+6} .$ Вычислить при $t=-0,5 .$
3. Сколько двузначных чисел делятся без остатка на 6 и на 9 ?
4. Решить уравнение: $\frac{x}{x+2}-\frac{5}{x-2}=\frac{8}{x^{2}-4}$
5. Решить неравенство: $\frac{x^{2}}{2-x} \leq x$.
6. Товар стоил $a$ рублей. Потом он подешевел на $10 \%$. После чего подорожал на $10 \%$ от новой цены. Сколько стал стоить товар после подорожания ?
7. $x_{1}$ и $x_{2}$ корни уравнения $5 x^{2}-3 x-11=0$. Составить квадратное уравнение с корнями $\frac{1}{x_{1}}$ и $\frac{1}{x_{2}}$.
8. Пароход прошѐл 9 км по озеру и 16 км против течения реки за 1 час. Найти скорость парохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
9. Построить график $y=\frac{(x-1) \cdot(x-3)}{|x-2|+1}$.
10. Решить неравенство: $|2-3 x| \geq x^{2}-2$.
11. Найти произведение вещественных корней уравнения $x^{4}+3 x^{2}-4=0$.
12. При каких значениях $a$ уравнение $a x^{2}+4 x+a=0$ имеет два различных корня?
13. При каких значениях $t$ уравнение $\frac{(x-t) \cdot(x-2 t)}{x-2}=0$ имеет два различных корня?
14. Решить уравнение: $x^{1024}+2=\frac{1}{1+x^{318}}$.
15. Найти уравнения прямых, проходящих через точку $A(0 ; 3)$ и отсекающих прямоугольный треугольник площадью 9 с катетами, лежащими на осях координат.
16. Площадь прямоугольной трапеции 24 см $^{2}$. Две меньшие стороны равны между собой, а острый угол равен $45^{0}$. Найти меньшее основание.
17. Сторона ромба $10, \mathrm{a}$ одна из диагоналей $16 .$ Найти вторую диагональ.
18. В равнобедренном треугольнике с углом $50^{\circ}$ при вершине найти угол между высотами, проведѐнными на боковые стороны.
19. Диагональ $A C$ параллелограмма $A B C D$ равна 15 . Середина $M$ стороны $A B$ соединена с точкой $D$. Найти отрезки, на которые диагональ $A C$ делится отрезком $D M$.
20. В прямоугольном треугольнике угол $C$ прямой, катет $A C$ равен $m, \angle A B C$ равен $\alpha$. Найти катет $B C$.

Решения задач

1. Упростить: $\frac{a \sqrt{a}+1}{a-\sqrt{a}-2}-\frac{3(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}-2}$
   Решение: Замена $t = \sqrt{a}$, тогда $a = t^2$. Преобразуем выражение: \[ \frac{t^3 + 1}{t^2 - t - 2} - \frac{3(t - 1)}{t - 2} = \frac{(t + 1)(t^2 - t + 1)}{(t - 2)(t + 1)} - \frac{3(t - 1)}{t - 2} = \frac{t^2 - t + 1 - 3t + 3}{t - 2} = \frac{(t - 2)^2}{t - 2} = t - 2 \] Возвращаемся к исходной переменной: $\sqrt{a} - 2$.
   Ответ: $\sqrt{a} - 2$.
   
   
2. Вычислить: $\sqrt{t^{2}+\frac{9}{t^{2}}+6}$ при $t=-0,5$.
   Решение: \[ \sqrt{(-0,5)^2 + \frac{9}{(-0,5)^2} + 6} = \sqrt{0,25 + 36 + 6} = \sqrt{42,25} = 6,5 \] Ответ: 6,5.
   
   
3. Сколько двузначных чисел делятся без остатка на 6 и на 9?
   Решение: НОК(6, 9) = 18. Двузначные числа, кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90.
   Ответ: 5.
   
   
4. Решить уравнение: $\frac{x}{x+2}-\frac{5}{x-2}=\frac{8}{x^{2}-4}$
   Решение: Умножаем обе части на $(x-2)(x+2)$: \[ x(x-2) - 5(x+2) = 8 \Rightarrow x^2 - 7x - 18 = 0 \] Корни: $x = 9$ (подходит), $x = -2$ (не входит в ОДЗ).
   Ответ: 9.
   
   
5. Решить неравенство: $\frac{x^{2}}{2-x} \leq x$
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{2x(x - 1)}{2 - x} \leq 0 \] Метод интервалов даёт решение: $x \in [0; 1] \cup (2; +\infty)$.
   Ответ: $x \in [0; 1] \cup (2; +\infty)$.
   
   
6. Товар стоил $a$ рублей. После изменений цена стала $0,99a$.
   Ответ: $0,99a$.
   
   
7. Составить квадратное уравнение с корнями $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$:
   Решение: По теореме Виета новое уравнение: $11x^2 + 3x - 5 = 0$.
   Ответ: $11x^2 + 3x - 5 = 0$.
   
   
8. Скорость парохода по озеру: 27 км/ч.
   Ответ: 27 км/ч.
   
   
9. График функции $y = \frac{(x-1)(x-3)}{|x-2| + 1}$ состоит из двух прямых: \[ y = \begin{cases} -x + 1, & x < 2 \\ x - 3, & x \geq 2 \end{cases} \] Ответ: график построен.
   
   
10. Решить неравенство: $|2 - 3x| \geq x^2 - 2$
    Ответ: $x \in [-4; 3]$.
    
    
11. Произведение вещественных корней уравнения: $-1$.
    Ответ: $-1$.
    
    
12. Уравнение $ax^2 + 4x + a = 0$ имеет два корня при $a \in (-2; 0) \cup (0; 2)$.
    Ответ: $a \in (-2; 0) \cup (0; 2)$.
    
    
13. Уравнение $\frac{(x-t)(x-2t)}{x-2} = 0$ имеет два корня при $t \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}$.
    Ответ: $t \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}$.
    
    
14. Уравнение $x^{1024} + 2 = \frac{1}{1 + x^{318}}$ не имеет решений.
    Ответ: нет решений.
    
    
15. Уравнения прямых: $y = -0,5x + 3$ и $y = 0,5x + 3$.
    Ответ: $y = -0,5x + 3$ и $y = 0,5x + 3$.
    
    
16. Меньшее основание трапеции: 4 см.
    Ответ: 4 см.
    
    
17. Вторая диагональ ромба: 12.
    Ответ: 12.
    
    
18. Угол между высотами: $130^\circ$.
    Ответ: $130^\circ$.
    
    
19. Отрезки диагонали: 5 и 10.
    Ответ: 5 и 10.
    
    
20. Катет $BC = \frac{m}{\tg \alpha}$.
    Ответ: $\frac{m}{\tg \alpha}$.