Лицей №239 из 8 в 9 класс 2009 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2009 год

1. Упростить: $\frac{b^{2}-c^{2}}{c^{2}} \cdot \frac{c}{b-c}-\frac{b}{c}$
2. Прямоугольный ковѐр с размерами 3 метра и 4 метра покрывает $60 \%$ пола комнаты. Найдите площадь комнаты.
3. Решить неравенство: $|2 x-5|<x$.
4. Вычислить: $\frac{1}{\sqrt{9+4 \sqrt{5}}}+\frac{1}{\sqrt{9-4 \sqrt{5}}}$
5. Вычислить $3 x^{2}+2 x-1$ при $x=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$
6. Решить неравенство: $\frac{x^{2}-3}{x-2} \leq 6$.
7. При каких значениях $x$ выполняется равенство $\sqrt{x^{2}-6 x+5}=\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{5-x} ?$
8. Найдите наименьшее значение выражения $4 x^{2}-4 x y+2 y^{2}+5$
9. Построить график $y=1-|x+2|$.
10. При каких значениях $t$ неравенство $\frac{\sqrt{x-t}}{(x-3) \cdot(x-4)}<0$ не имеет решений ?
11. Решить уравнение: $\frac{6 x-18}{x^{2}-9}+2 x-7=0$
12. Число $n$ при делении на 4 даѐт в остатке 3. Найти остаток от деления числа $(3 n+2)$ на 4.
13. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 20 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине еѐ можно сделать на 30 минут быстрее, чем на второй?
14. При каких значениях а уравнение $(a+1) x^{2}-2 a x-4=0$ имеет два различных корня?
15. Периметр параллелограмма равен 16 см, а одна из его высот в три раза больше другой. Найти сторон.
16. Сумма внутренних углов многоугольника в 3 раза больше суммы внутренних углов квадрата. Найти число сторон многоугольника.
17. В треугольнике $A B C$ на стороне $A C$ взяли точку $M$ и провели прямую, параллельную $A B$, которая пересекла сторону $B C$ в точке $N$. Найти отношение площади треугольника $M C N$ к площади трапеции $A M N B$, если $A M: M C=3: 2$.
18. Периметр прямоугольника 28 см, а диагональ 10 см. Найти стороны прямоугольника.
19. Найти уравнение прямой проходящей через точку А(3;2) и отсекающую на осях координат равные по длине отрезки.
20. В прямоугольной трапеции основания 5 см и 8 см. Меньшая боковая сторона равна 4 см. Найти косинус острого угла.

Решения задач

1. Упростить: $\frac{b^{2}-c^{2}}{c^{2}} \cdot \frac{c}{b-c}-\frac{b}{c}$
   Решение: $\frac{(b-c)(b+c)}{c^{2}} \cdot \frac{c}{b-c} - \frac{b}{c} = \frac{b+c}{c} - \frac{b}{c} = \frac{c}{c} = 1$
   Ответ: 1.
   
   
2. Прямоугольный ковёр с размерами 3 метра и 4 метра покрывает $60 \%$ пола комнаты. Найдите площадь комнаты.
   Решение: Площадь ковра $3 \cdot 4 = 12$ м². Тогда площадь комнаты $12 : 0,6 = 20$ м².
   Ответ: 20 м².
   
   
3. Решить неравенство: $|2 x-5|<x$
   Решение: Рассмотрим два случая:
   • $2x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2,5$: $2x - 5 < x \Rightarrow x < 5$. Решение: $[2,5; 5)$
   • $2x - 5 < 0 \Rightarrow x < 2,5$: $5 - 2x < x \Rightarrow 5 \frac{5}{3}$. Решение: $(\frac{5}{3}; 2,5)$
   Объединение: $x \in (\frac{5}{3}; 5)$
   Ответ: $x \in \left(\frac{5}{3}; 5\right)$.
   
   
4. Вычислить: $\frac{1}{\sqrt{9+4 \sqrt{5}}}+\frac{1}{\sqrt{9-4 \sqrt{5}}}$
   Решение: Заметим, что $9 \pm 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} \pm 2)^2$. Тогда: $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} + \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{2\sqrt{5}}{1} = 2\sqrt{5}$
   Ответ: $2\sqrt{5}$.
   
   
5. Вычислить $3 x^{2}+2 x-1$ при $x=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$
   Решение: Подставляем $x$: $3\left(\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{9}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{2}-1}{3}\right) - 1 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3} + \frac{2\sqrt{2} - 2}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$
   Ответ: $-\frac{2}{3}$.
   
   
6. Решить неравенство: $\frac{x^{2}-3}{x-2} \leq 6$
   Решение: Преобразуем неравенство: $\frac{x^2 - 6x + 9}{x - 2} \leq 0 \Rightarrow \frac{(x - 3)^2}{x - 2} \leq 0$. Решение: $x \in (-\infty; 2) \cup \{3\}$
   Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup \{3\}$.
   
   
7. При каких значениях $x$ выполняется равенство $\sqrt{x^{2}-6 x+5}=\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{5-x} ?$
   Решение: ОДЗ: $x \leq 1$. После возведения в квадрат получаем тождество. Ответ: $x \leq 1$.
   Ответ: $x \leq 1$.
   
   
8. Найдите наименьшее значение выражения $4 x^{2}-4 x y+2 y^{2}+5$
   Решение: Выделим полные квадраты: $(2x - y)^2 + y^2 + 5$. Минимум достигается при $2x - y = 0$ и $y = 0$: $0 + 0 + 5 = 5$
   Ответ: 5.
   
   
9. Построить график $y=1-|x+2|$
   Решение: График имеет вершину в точке $(-2; 1)$, ветви направлены вниз. При $x \geq -2$: $y = -x - 1$; при $x < -2$: $y = x + 3$.
   Ответ: График построен.
   
   
10. При каких значениях $t$ неравенство $\frac{\sqrt{x-t}}{(x-3) \cdot(x-4)}<0$ не имеет решений ?
    Решение: Неравенство не имеет решений при $t \geq 4$, так как область допустимых значений $x \geq t$ не пересекается с интервалом $(3; 4)$.
    Ответ: $t \geq 4$.
    
    
11. Решить уравнение: $\frac{6 x-18}{x^{2}-9}+2 x-7=0$
    Решение: Упрощаем уравнение до $2x^2 - x - 15 = 0$. Корни: $x = 3$ (не входит в ОДЗ) и $x = -2,5$.
    Ответ: $-2,5$.
    
    
12. Число $n$ при делении на 4 даёт в остатке 3. Найти остаток от деления числа $(3 n+2)$ на 4.
    Решение: $n = 4k + 3$, тогда $3n + 2 = 12k + 11 \equiv 3 \mod 4$.
    Ответ: 3.
    
    
13. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 20 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине её можно сделать на 30 минут быстрее, чем на второй?
    Решение: Пусть время второй машины $x$ минут. Тогда: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 30} = \frac{1}{20}$. Решая уравнение, получаем $x = 60$ минут. Первая машина: $30$ минут.
    Ответ: 30 и 60 минут.
    
    
14. При каких значениях а уравнение $(a+1) x^{2}-2 a x-4=0$ имеет два различных корня?
    Решение: Условия: $a \neq -1$ и дискриминант $D = 4(a + 2)^2 > 0 \Rightarrow a \neq -2$.
    Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -1\}$.
    
    
15. Периметр параллелограмма равен 16 см, а одна из его высот в три раза больше другой. Найти стороны.
    Решение: Стороны $a$ и $b$: $a + b = 8$. Из соотношения высот: $a = 3b$. Решение: $a = 6$ см, $b = 2$ см.
    Ответ: 6 см и 2 см.
    
    
16. Сумма внутренних углов многоугольника в 3 раза больше суммы внутренних углов квадрата. Найти число сторон многоугольника.
    Решение: Сумма углов квадрата $360^\circ$. Тогда сумма углов многоугольника $1080^\circ$. Формула: $(n - 2) \cdot 180 = 1080 \Rightarrow n = 8$.
    Ответ: 8.
    
    
17. В треугольнике $A B C$ на стороне $A C$ взяли точку $M$ и провели прямую, параллельную $A B$, которая пересекла сторону $B C$ в точке $N$. Найти отношение площади треугольника $M C N$ к площади трапеции $A M N B$, если $A M: M C=3: 2$.
    Решение: Коэффициент подобия треугольников $MCN$ и $ABC$ равен $\frac{2}{5}$. Площадь $MCN$ составляет $\frac{4}{25}$ площади $ABC$. Площадь трапеции $\frac{21}{25}$. Отношение $\frac{4}{21}$.
    Ответ: $\frac{4}{21}$.
    
    
18. Периметр прямоугольника 28 см, а диагональ 10 см. Найти стороны прямоугольника.
    Решение: Система уравнений: $a + b = 14$, $a^2 + b^2 = 100$. Решение: $a = 6$ см, $b = 8$ см.
    Ответ: 6 см и 8 см.
    
    
19. Найти уравнение прямой проходящей через точку А(3;2) и отсекающую на осях координат равные по длине отрезки.
    Решение: Уравнение прямой $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$. Подставляя точку А: $a = 5$. Уравнение: $x + y = 5$.
    Ответ: $x + y = 5$.
    
    
20. В прямоугольной трапеции основания 5 см и 8 см. Меньшая боковая сторона равна 4 см. Найти косинус острого угла.
    Решение: Проекция боковой стороны на основание: $8 - 5 = 3$ см. Косинус угла: $\frac{3}{5}$.
    Ответ: $\frac{3}{5}$.