Лицей №239 из 8 в 9 класс 2008 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2008 год

1. Упростить: $\frac{4 a^{2}-b^{2}}{a-0,5 b}-4 a$.
2. Разложить на два множителя: $a^{3}-2 a-1$.
3. Решить неравенство: $|2 x-1|<5+x$.
4. Решить систему: $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=3 \\ x^{2}-y=2\end{array}\right.$.
5. При каких значениях $q$ сумма квадратов корней уравнения $x^{2}-q x+3=0$ равна 10 ?
6. Решить неравенство: $\frac{(x-2)^{2}(x+2)(x-4)}{\sqrt{x+1}} \geq 0$.
7. Упростить: $\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}$.
8. Найдите наибольшее трѐхзначное число, сумма цифр которого равна $23 .$
9. Построить график $y=\frac{x^{2}-4 x+3}{|x-3|}$.
10. При каких значениях $t$ уравнение $\frac{(x-t)(x-4)}{x-4 t}=0$ имеет ровно два разных корня?
11. Сколькими способами можно раздать яблоко, мандарин и грушу Пете, Саше и Гале так, чтобы каждому досталось по одному фрукту.
12. $a$ - целое число, не кратное 3. Найти остаток от деления числа $a^{2}$ на $3 .$
13. Таня и Лена пропалывают грядку за 12 минут, а одна Лена за 20 минут. За сколько минут прополет грядку одна Таня?
14. При каких значениях $a$ уравнение $(1-a) x^{2}-2 x+a+1=0$ имеет ровно один корень?
15. Найти периметр параллелограмма, если его площадь равна 48 кв. см, а точка пересечения диагоналей удалена от его сторон на 3 и $4 \mathrm{~cm}$.
16. Две стороны равнобедренного треугольника 2 см и 5 см. Найдите третью сторону. Ответ обосновать.
17. Катет прямоугольного треугольника относится к гипотенузе, равной 25 см, как 3:5.Найти отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла.
18. Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом $\kappa=3$ и проходящей через точку $\mathrm{A}(2 ; 4)$.
19. Стороны треугольника $6 \mathrm{~cm}, 8$ см и10см. Найти длину медианы, проведѐнной к большей стороне.
20. В прямоугольном треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой. $\operatorname{tg} A=\frac{2}{3} .$ Найти $\cos A .$

Решения задач

1. Упростить: $\frac{4a^{2}-b^{2}}{a-0,5b} - 4a$.
   Решение: Разложим числитель на множители:
   $\frac{(2a - b)(2a + b)}{a - 0,5b} - 4a = \frac{(2a - b)(2a + b)}{\frac{2a - b}{2}} - 4a = 2(2a + b) - 4a = 4a + 2b - 4a = 2b$.
   Ответ: $2b$.
2. Разложить на два множителя: $a^{3} - 2a - 1$.
   Решение: Подбором находим корень $a = -1$. Делим многочлен на $(a + 1)$:
   $a^{3} - 2a - 1 = (a + 1)(a^{2} - a - 1)$.
   Ответ: $(a + 1)(a^{2} - a - 1)$.
3. Решить неравенство: $|2x - 1| < 5 + x$.
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1) $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0.5$:
   $2x - 1 < 5 + x \Rightarrow x < 6$. Решение: $[0.5; 6)$.
   2) $2x - 1 < 0 \Rightarrow x < 0.5$:
   $-(2x - 1) < 5 + x \Rightarrow -2x + 1 < 5 + x \Rightarrow -3x -\frac{4}{3}$. Решение: $(-\frac{4}{3}; 0.5)$.
   Объединение: $(-\frac{4}{3}; 6)$.
   Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}; 6)$.
4. Решить систему: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ x^{2} - y = 2 \end{cases}$.
   Решение: Из первого уравнения $y = \frac{x - 3}{2}$. Подставляем во второе:
   $x^{2} - \frac{x - 3}{2} = 2 \Rightarrow 2x^{2} - x + 3 = 4 \Rightarrow 2x^{2} - x - 1 = 0$.
   Корни: $x = 1$ и $x = -0.5$. Соответствующие $y = -1$ и $y = -1.75$.
   Ответ: $(1; -1)$, $(-0.5; -1.75)$.
5. При каких значениях $q$ сумма квадратов корней уравнения $x^{2} - qx + 3 = 0$ равна 10?
   Решение: По теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = q$, $x_{1}x_{2} = 3$.
   Сумма квадратов: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = q^{2} - 6 = 10 \Rightarrow q^{2} = 16 \Rightarrow q = \pm4$.
   Ответ: $q = \pm4$.
6. Решить неравенство: $\frac{(x-2)^{2}(x+2)(x-4)}{\sqrt{x+1}} \geq 0$.
   Решение: Область определения: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
   Знак выражения определяется множителями $(x+2)(x-4)$. Решение: $x = 2$, $x \geq 4$.
   Ответ: $x = 2$, $x \in [4; +\infty)$.
7. Упростить: $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$.
   Решение: Заметим, что $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 1$, $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1$.
   Разность: $(\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 1) = 2$.
   Ответ: $2$.
8. Найдите наибольшее трёхзначное число, сумма цифр которого равна 23.
   Решение: Максимизируем старшие разряды: $9 + 9 + 5 = 23$.
   Ответ: $995$.
9. Построить график $y = \frac{x^{2} - 4x + 3}{|x - 3|}$.
   Решение: Упростим выражение:
   При $x > 3$: $y = x - 1$.
   При $x < 3$: $y = 1 - x$.
   При $x = 3$ функция не определена.
   Ответ: График состоит из двух прямых $y = x - 1$ (при $x > 3$) и $y = 1 - x$ (при $x < 3$).
10. При каких значениях $t$ уравнение $\frac{(x - t)(x - 4)}{x - 4t} = 0$ имеет ровно два разных корня?
    Решение: Корни $x = t$ и $x = 4$ должны быть различны и не совпадать с запрещённым значением $x = 4t$.
    Условия: $t \neq 4$, $t \neq 0$, $4t \neq 4 \Rightarrow t \neq 1$.
    Ответ: $t \neq 0$, $t \neq 1$.
11. Сколькими способами можно раздать яблоко, мандарин и грушу Пете, Саше и Гале так, чтобы каждому досталось по одному фрукту.
    Решение: Число перестановок трёх фруктов: $3! = 6$.
    Ответ: $6$.
12. $a$ — целое число, не кратное 3. Найти остаток от деления числа $a^{2}$ на 3.
    Решение: Возможные остатки $a$: 1 или 2. В обоих случаях $a^{2} \equiv 1 \mod 3$.
    Ответ: $1$.
13. Таня и Лена пропалывают грядку за 12 минут, а одна Лена за 20 минут. За сколько минут прополет грядку одна Таня?
    Решение: Совместная производительность: $\frac{1}{12}$, производительность Лены: $\frac{1}{20}$.
    Производительность Тани: $\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{1}{30}$. Время: $30$ минут.
    Ответ: $30$ минут.
14. При каких значениях $a$ уравнение $(1 - a)x^{2} - 2x + a + 1 = 0$ имеет ровно один корень?
    Решение: При $a = 1$ уравнение линейное: $-2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
    При $a \neq 1$ дискриминант: $D = 4a^{2} = 0 \Rightarrow a = 0$.
    Ответ: $a = 0$ или $a = 1$.
15. Найти периметр параллелограмма, если его площадь равна 48 кв. см, а точка пересечения диагоналей удалена от его сторон на 3 и 4 см.
    Решение: Высоты параллелограмма: $6$ см и $8$ см. Стороны: $\frac{48}{8} = 6$ см и $\frac{48}{6} = 8$ см.
    Периметр: $2(6 + 8) = 28$ см.
    Ответ: $28$ см.
16. Две стороны равнобедренного треугольника 2 см и 5 см. Найдите третью сторону.
    Решение: Если боковые стороны 5 см, то основание 2 см (удовлетворяет неравенству треугольника). Если боковые стороны 2 см, то основание 5 см (не удовлетворяет неравенству треугольника).
    Ответ: $5$ см.
17. Катет прямоугольного треугольника относится к гипотенузе, равной 25 см, как 3:5. Найти отрезки, на которые гипотенуза делится высотой.
    Решение: Катет $15$ см, второй катет $20$ см. Высота: $\frac{15 \cdot 20}{25} = 12$ см. Отрезки: $\frac{15^{2}}{25} = 9$ см и $\frac{20^{2}}{25} = 16$ см.
    Ответ: $9$ см и $16$ см.
18. Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом $\kappa = 3$ и проходящей через точку $A(2; 4)$.
    Решение: Уравнение $y = 3x + b$. Подставляем точку: $4 = 6 + b \Rightarrow b = -2$.
    Ответ: $y = 3x - 2$.
19. Стороны треугольника 6 см, 8 см и 10 см. Найти длину медианы, проведённой к большей стороне.
    Решение: Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна её половине: $\frac{10}{2} = 5$ см.
    Ответ: $5$ см.
20. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой. $\operatorname{tg} A = \frac{2}{3}$. Найти $\cos A$.
    Решение: Катеты $2k$ и $3k$, гипотенуза $\sqrt{13}k$. $\cos A = \frac{3k}{\sqrt{13}k} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$.
    Ответ: $\frac{3\sqrt{13}}{13}$.