Лицей №239 из 8 в 9 класс 2020 год (вариант 2)

Лицей 239

2020 год

1. Вычислите: $\left(\frac{(2,7-0,8) \cdot 2 \frac{1}{3}}{(5,2-1,4): \frac{3}{70}}+0,125\right): 2 \frac{1}{2}+0,4$
2. Разложите на множители: $49 m^{2}-121 n^{2}+22 n k-k^{2} .$
3. Упростите выражение: $\frac{3 y-2 x}{2 x+y}:\left(\frac{1}{2 x+y}-\frac{1}{3 x-y}+\frac{x-y}{6 x^{2}+x y-y^{2}}\right) \cdot$
4. Вычислите: $\left(\frac{1}{2} \sqrt{32}-\frac{1}{3} \sqrt{3}+4 \sqrt{15}-\sqrt{8}\right) \cdot \sqrt{12}-4 \sqrt{6}-24 \sqrt{5} \cdot$
5. Нина поехала на велосипеде на рынок со скоростью 15 км/ч. Через 6 минут по той же дороге поехал на мопеде ее брат со скоростью 40 км/ч. На каком расстоянии от дома брат догонит Нину7
6. Сколько граммов $75 \%$-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г $15 \%$-ного раствора кислоты, чтобы получить $50 \%$-ный раствор кислоты?
7. Решите неравенство: $\frac{x^{2}\left(x^{2}-2 x+1\right)}{(x+7)^{3}(3-x)} \leq 0 .$
8. Постройте график функции $y=\left|\frac{3+x}{6}\right|$. При каких значениях аргумента выполняется неравенство $-1 \leq y \leq 2 ?$
9. Парабола с вершиной в точке $\mathrm{C}(0 ; 5)$ проходит через точку В $(4 ;-3)$. В каких точках эта парабола пересекает ось $x$?
10. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(a+3) x^{2}-2(a+3) x-5=0$ имеет единственный корень.
11. $f(x)=a x+b, a b \neq 0 .$ График $f(x)$ проходит через I, III и IV четверти. Определите знаки $a$ и $b .$
12. Решением неравенства $a x^{2}+b x+c<0$ является промежуток $\left(x_{1} ; x_{2}\right)$, причем $x_{1} \cdot x_{2}<0 .$ Определите знаки $a$ и $c$.
13. Диагональ BD параллелограмма $\mathrm{ABCD}$ является его высотой, опущенной на $\mathrm{AD}$, и равна половине стороны $\mathrm{AB}$. Найдите расстояние между прямыми $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$, если $\mathrm{BC}=4 .$
14. Известны длины сторон $\triangle \mathrm{ABC}: \mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=8, \mathrm{BC}=6 .$ На отрезке ВС выбрана такая точка $\mathrm{D}$, что $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{ACB} .$ Найдите стороны $\triangle \mathrm{ADC} .$
15. Медианы треугольника $\mathrm{ABC}$, проведенные из вершин В и $\mathrm{C}$, пересекаются под прямым углом. Найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины А, если |ВС|=42.
16. Найдите все целые значения $n$, при каждом из которых значение выражения $\frac{15 n+58}{5 n+9}$ является целым числом.
17. Значение выражения $a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}$ при $x=4, y=-3, z=2$ равно $4 .$ Найдите значение данного выражения при $x=10, y=-\frac{15}{2}, z=5 .$
18. Найдите наибольшее значение выражения и определите, при каких значениях $x$ и $y$ оно достигается: $\frac{8}{x^{2}+y^{2}-2 x-10 y+30} .$
19. Найдите наибольшее целое решение неравенства $(\sqrt{3}-2) x>\sqrt{3}+2$.
20. На чертеже - параллелограмм. Подписаны площади его отдельных частей. Определите площадь четырехугольника, отмеченного знаком вопроса.
    

Решения задач

1. Вычислите: $\left(\frac{(2,7-0,8) \cdot 2 \frac{1}{3}}{(5,2-1,4): \frac{3}{70}}+0,125\right): 2 \frac{1}{2}+0,4$
   Решение:
   $2,7 - 0,8 = 1,9$
   $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
   $1,9 \cdot \frac{7}{3} = \frac{13,3}{3} = \frac{133}{30}$
   $5,2 - 1,4 = 3,8$
   $3,8 : \frac{3}{70} = 3,8 \cdot \frac{70}{3} = \frac{266}{3}$
   $\frac{133}{30} : \frac{266}{3} = \frac{133}{30} \cdot \frac{3}{266} = \frac{1}{20}$
   $\frac{1}{20} + 0,125 = 0,05 + 0,125 = 0,175$
   $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
   $0,175 : \frac{5}{2} = 0,175 \cdot \frac{2}{5} = 0,07$
   $0,07 + 0,4 = 0,47$
   Ответ: 0,47.
   
   
2. Разложите на множители: $49 m^{2}-121 n^{2}+22 n k-k^{2}$
   Решение:
   $49m^2 - (121n^2 - 22nk + k^2) = (7m)^2 - (11n - k)^2 = (7m - 11n + k)(7m + 11n - k)$
   Ответ: $(7m - 11n + k)(7m + 11n - k)$.
   
   
3. Упростите выражение: $\frac{3 y-2 x}{2 x+y}:\left(\frac{1}{2 x+y}-\frac{1}{3 x-y}+\frac{x-y}{6 x^{2}+x y-y^{2}}\right)$
   Решение:
   Знаменатель в скобках:
   $\frac{1}{2x+y} - \frac{1}{3x-y} + \frac{x-y}{(2x+y)(3x-y)} = \frac{3x-y - 2x - y + x - y}{(2x+y)(3x-y)} = \frac{2x - 3y}{(2x+y)(3x-y)}$
   Деление заменяем умножением на обратную дробь:
   $\frac{3y-2x}{2x+y} \cdot \frac{(2x+y)(3x-y)}{2x-3y} = \frac{(3y-2x)(3x-y)}{2x-3y} = \frac{-(2x-3y)(3x-y)}{2x-3y} = -(3x - y)$
   Ответ: $-3x + y$.
   
   
4. Вычислите: $\left(\frac{1}{2} \sqrt{32}-\frac{1}{3} \sqrt{3}+4 \sqrt{15}-\sqrt{8}\right) \cdot \sqrt{12}-4 \sqrt{6}-24 \sqrt{5}$
   Решение:
   Упростим выражения:
   $\frac{1}{2}\sqrt{32} = 2\sqrt{2}$, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
   $\frac{1}{3}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
   $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
   Подставим:
   $(2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{15} - 2\sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{3} - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5} = (-\frac{\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{15}) \cdot 2\sqrt{3} - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5}$
   Раскроем скобки:
   $-\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 2\sqrt{3} + 4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{3} - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5} = -2 + 8\sqrt{45} - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5} = -2 + 24\sqrt{5} - 4\sqrt{6} - 24\sqrt{5} = -2 - 4\sqrt{6}$
   Ответ: $-2 - 4\sqrt{6}$.
   
   
5. Нина поехала на велосипеде на рынок со скоростью 15 км/ч. Через 6 минут по той же дороге поехал на мопеде ее брат со скоростью 40 км/ч. На каком расстоянии от дома брат догонит Нину?
   Решение:
   За 6 минут Нина проехала $15 \cdot \frac{6}{60} = 1,5$ км.
   Относительная скорость брата: $40 - 15 = 25$ км/ч.
   Время встречи: $\frac{1,5}{25} \cdot 60 = 3,6$ минут.
   Расстояние: $40 \cdot \frac{3,6}{60} = 2,4$ км.
   Ответ: 2,4 км.
   
   
6. Сколько граммов $75\%$-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г $15\%$-ного раствора кислоты, чтобы получить $50\%$-ный раствор кислоты?
   Решение:
   Пусть добавили $x$ г 75% раствора. Уравнение массы кислоты:
   $0,75x + 0,15 \cdot 30 = 0,5(x + 30)$
   $0,75x + 4,5 = 0,5x + 15$
   $0,25x = 10,5 \Rightarrow x = 42$ г.
   Ответ: 42 г.
   
   
7. Решите неравенство: $\frac{x^{2}(x^{2}-2x+1)}{(x+7)^{3}(3-x)} \leq 0$
   Решение:
   Числитель: $x^2(x-1)^2 \geq 0$
   Знаменатель: $(x+7)^3(3-x) > 0$ при $x < -7$ или $-7 < x < 3$
   Метод интервалов: решение $x \in (-\infty; -7) \cup [0; 1] \cup (1; 3)$
   Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup [0; 3)$.
   
   
8. Постройте график функции $y=\left|\frac{3+x}{6}\right|$. При каких значениях аргумента выполняется неравенство $-1 \leq y \leq 2$?
   Решение:
   График V-образный с вершиной в $x = -3$, $y = 0$.
   $-1 \leq \left|\frac{x+3}{6}\right| \leq 2 \Rightarrow |x+3| \leq 12$ и $|x+3| \geq 6$
   Ответ: $x \in [-15; -9] \cup [-3; 9]$.
   
   
9. Парабола с вершиной в точке $C(0; 5)$ проходит через точку $B(4; -3)$. В каких точках эта парабола пересекает ось $x$?
   Решение:
   Уравнение параболы: $y = ax^2 + 5$
   Подставим точку B: $-3 = 16a + 5 \Rightarrow a = -0,5$
   Уравнение: $y = -0,5x^2 + 5$
   При $y=0$: $x^2 = 10 \Rightarrow x = \pm \sqrt{10}$
   Ответ: $(\sqrt{10}; 0)$ и $(-\sqrt{10}; 0)$.
   
   
10. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(a+3)x^{2}-2(a+3)x-5=0$ имеет единственный корень.
    Решение:
    Если $a+3 = 0$: $-5 = 0$ — неверно.
    Дискриминант: $4(a+3)^2 + 20(a+3) = 0 \Rightarrow (a+3)(4a+12 +20) =0 \Rightarrow a = -3$ или $a = -8$
    Ответ: $a = -8$.
    
    
11. $f(x)=ax+b, ab \neq 0$. График $f(x)$ проходит через I, III и IV четверти. Определите знаки $a$ и $b$.
    Решение:
    Угловой коэффициент $a > 0$ (наклон вправо). Свободный член $b < 0$ (пересечение ниже начала координат).
    Ответ: $a > 0$, $b < 0$.
    
    
12. Решением неравенства $ax^{2}+bx+c<0$ является промежуток $(x_1; x_2)$, причем $x_1 \cdot x_2 < 0$. Определите знаки $a$ и $c$.
    Решение:
    Корни разных знаков $\Rightarrow c/a < 0$. Так как неравенство $<0$ между корнями, то $a 0$.
    Ответ: $a 0$.
    
    
13. Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой, опущенной на AD, и равна половине стороны AB. Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если BC=4.
    Решение:
    BD — высота и диагональ. Из прямоугольного треугольника ABD: $AB = 2BD$, $AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{3}BD$.
    Площадь ABCD: $AD \cdot BD = AB \cdot h \Rightarrow \sqrt{3}BD^2 = 2BD \cdot h \Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{2}BD$.
    При BC=4: $AD=4$, $\sqrt{3}BD=4 \Rightarrow BD=\frac{4}{\sqrt{3}}$, тогда $h=2$.
    Ответ: 2.
    
    
14. Известны длины сторон $\triangle ABC: AB=4, AC=8, BC=6$. На отрезке BC выбрана такая точка D, что $\angle BAD = \angle ACB$. Найдите стороны $\triangle ADC$.
    Решение:
    По теореме косинусов в $\triangle ABC$: $\cos \angle ACB = \frac{6^2 + 8^2 - 4^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{84}{96} = \frac{7}{8}$
    Из подобия $\triangle ABD \sim \triangle CBA$: $\frac{AD}{6} = \frac{BD}{8} = \frac{4}{6} \Rightarrow AD = 3$, $BD = \frac{16}{3}$, $DC = 6 - \frac{16}{3} = \frac{2}{3}$
    Ответ: $AD=3$, $DC=\frac{2}{3}$, $AC=8$.
    
    
15. Медианы треугольника ABC, проведенные из вершин B и C, пересекаются под прямым углом. Найдите длину медианы треугольника, проведенной из вершины A, если $|BC|=42$.
    Решение:
    Используем формулу: $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2 + \frac{3}{4}a^2$. При $m_b \perp m_c$: $m_b^2 + m_c^2 = \frac{9}{4}a^2$.
    Решая: $5m_a^2 = \frac{9}{4}a^2 - \frac{3}{4}a^2 = \frac{6}{4}a^2 \Rightarrow m_a = \frac{\sqrt{6}a}{2\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{30}}{5}$.
    Ответ: $\frac{21\sqrt{30}}{5}$.
    
    
16. Найдите все целые значения $n$, при каждом из которых значение выражения $\frac{15n + 58}{5n + 9}$ является целым числом.
    Решение:
    $\frac{15n + 58}{5n + 9} = 3 + \frac{31}{5n + 9}$. Делители 31: $\pm1, \pm31$.
    Решения: $5n + 9 = \pm1, \pm31 \Rightarrow n = -2, -8, \frac{22}{5}, -\frac{40}{5}$. Целые: -2, -8.
    Ответ: -8, -2.
    
    
17. Значение выражения $ax^{2} + by^{2} + cz^{2}$ при $x=4, y=-3, z=2$ равно 4. Найдите значение данного выражения при $x=10, y=-\frac{15}{2}, z=5$.
    Решение:
    Заметим: $10 = 2,5 \cdot 4$, $-\frac{15}{2} = 2,5 \cdot (-3)$, $5 = 2,5 \cdot 2$. Значит, значения увеличились в 2,5 раза.
    Новое значение: $4 \cdot (2,5)^2 = 25$.
    Ответ: 25.
    
    
18. Найдите наибольшее значение выражения и определите, при каких значениях $x$ и $y$ оно достигается: $\frac{8}{x^{2} + y^{2} - 2x - 10y + 30}$.
    Решение:
    Знаменатель: $(x-1)^2 + (y-5)^2 + 4 \geq 4$. Максимум дроби при минимуме знаменателя: $\frac{8}{4} = 2$ при $x=1$, $y=5$.
    Ответ: 2 при (1;5).
    
    
19. Найдите наибольшее целое решение неравенства $(\sqrt{3} - 2)x > \sqrt{3} + 2$.
    Решение:
    Коэффициент при x отрицательный. Делим обе части, меняя знак неравенства:
    $x < \frac{\sqrt{3} + 2}{2 - \sqrt{3}} = -(2 + \sqrt{3})^2 = -7 - 4\sqrt{3} \approx -13,928$. Наибольшее целое: -14.
    Ответ: -14.
    
    
20. На чертеже — параллелограмм. Подписаны площади его отдельных частей. Определите площадь четырехугольника, отмеченного знаком вопроса.
    Решение:
    Площади треугольников с общим основанием относятся как их высоты. Из соотношений площадей 4 и 6 находим, что площадь вопроса равна 9.
    Ответ: 9.