Лицей №239 из 8 в 9 класс 2008 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2008 год

1. Найти $x: \quad \frac{(0,06: x+8 \cdot 0,06) \cdot\left(16 \frac{2}{3} \cdot 2-0,8 \cdot 16 \frac{2}{3}\right)}{\frac{1}{8}:\left(\frac{3}{8}-0,3-0,5 \cdot 0,1\right)-\left(8,03-7 \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{1}{7}: 0,02}=3,4$
2. Решить уравнения:
   1. $\frac{1+\frac{x}{4}}{2}+\frac{\frac{7}{2} x+1}{6}-\frac{1-5 x}{24}-\frac{\frac{7}{2}+6 x}{12}=\frac{1}{3}$
   2. $\left(\frac{3 x-1}{x^{2}-4}-\frac{9 x}{(3 x-1) \cdot(x+2)}\right) \cdot \frac{15 x^{3}-60 x}{12 x+1}=\frac{15 x}{3 x-1}$
3. Решить систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3 x-\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}} \leq \frac{1}{2} \\ |6 x-3|+|5 x+10|>3 x+7\end{array}\right.$
4. Упростить выражение: $\left(\frac{a+4}{2-a}-\frac{8 a^{2}-32}{a^{3}-8}: \frac{4 a+8}{a^{2}+2 a+4}\right): a+\frac{1+a}{a-2}$
5. Построить график функции: $$ y=\left(1-\frac{1}{1-\frac{2}{x}}\right):\left(\frac{4+x^{2}}{(2-x)^{3}}+\frac{4 x}{(x-2)^{3}}\right)+x $$
6. Пусть $a-\frac{1}{a}=\frac{2}{3}$. Найти $a^{3}-\frac{1}{a^{3}}$

Решения задач

1. Найти $x$: \[ \frac{(0,06: x+8 \cdot 0,06) \cdot\left(16 \frac{2}{3} \cdot 2-0,8 \cdot 16 \frac{2}{3}\right)}{\frac{1}{8}:\left(\frac{3}{8}-0,3-0,5 \cdot 0,1\right)-\left(8,03-7 \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{1}{7}: 0,02}=3,4 \] Решение: Упростим числитель и знаменатель отдельно. Числитель: \[ 16\frac{2}{3} = \frac{50}{3}, \quad 0,8 = \frac{4}{5} \] \[ \frac{50}{3} \cdot 2 - \frac{4}{5} \cdot \frac{50}{3} = \frac{100}{3} - \frac{200}{15} = \frac{100}{3} - \frac{40}{3} = \frac{60}{3} = 20 \] \[ 0,06:x + 8 \cdot 0,06 = \frac{0,06}{x} + 0,48 \] Числитель: \(\left(\frac{0,06}{x} + 0,48\right) \cdot 20 = \frac{1,2}{x} + 9,6\) Знаменатель: \[ \frac{3}{8} - 0,3 - 0,5 \cdot 0,1 = \frac{3}{8} - \frac{3}{10} - \frac{1}{20} = \frac{15}{40} - \frac{12}{40} - \frac{2}{40} = \frac{1}{40} \] \[ \frac{1}{8} : \frac{1}{40} = \frac{1}{8} \cdot 40 = 5 \] \[ 8,03 - 7\frac{3}{4} = 8,03 - 7,75 = 0,28 \] \[ 0,28 \cdot \frac{1}{7} : 0,02 = 0,04 : 0,02 = 2 \] Знаменатель: \(5 - 2 = 3\) Уравнение принимает вид: \[ \frac{\frac{1,2}{x} + 9,6}{3} = 3,4 \quad \Rightarrow \quad \frac{1,2}{x} + 9,6 = 10,2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1,2}{x} = 0,6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1,2}{0,6} = 2 \] Ответ: 2.
   
   
2. Решить уравнения:
   1. \(\frac{1+\frac{x}{4}}{2}+\frac{\frac{7}{2}x+1}{6}-\frac{1-5x}{24}-\frac{\frac{7}{2}+6x}{12}=\frac{1}{3}\) Решение: Умножим все члены уравнения на 24 (НОК знаменателей): \[ 12(1+\frac{x}{4}) + 4(\frac{7}{2}x+1) - (1-5x) - 2(\frac{7}{2}+6x) = 8 \] Раскроем скобки: \[ 12 + 3x + 14x + 4 - 1 + 5x - 7 - 12x = 8 \] Соберем подобные: \[ (3x + 14x + 5x - 12x) + (12 + 4 - 1 - 7) = 8 \quad \Rightarrow \quad 10x + 8 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] Ответ: 0.
      
      
   2. \(\left(\frac{3x-1}{x^{2}-4}-\frac{9x}{(3x-1)(x+2)}\right) \cdot \frac{15x^{3}-60x}{12x+1}=\frac{15x}{3x-1}\) Решение: Упростим выражение в скобках: \[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2), \quad 15x^3 - 60x = 15x(x^2 - 4) = 15x(x-2)(x+2) \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{(3x-1)^2 - 9x(x-2)}{(x-2)(x+2)(3x-1)} \cdot \frac{15x(x-2)(x+2)}{12x+1} = \frac{15x}{3x-1} \] Упростим числитель первой дроби: \[ (3x-1)^2 - 9x(x-2) = 9x^2 - 6x + 1 - 9x^2 + 18x = 12x + 1 \] После сокращений: \[ \frac{12x+1}{(x-2)(x+2)(3x-1)} \cdot \frac{15x(x-2)(x+2)}{12x+1} = \frac{15x}{3x-1} \] Левая часть после сокращений равна правой части. Уравнение верно при всех допустимых x (x ≠ ±2, x ≠ 1/3, x ≠ -1/12). Ответ: Все действительные числа, кроме x = ±2, x = 1/3, x = -1/12.
   
   
   
3. Решить систему неравенств: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{3x-\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}} \leq \frac{1}{2} \\ |6x-3|+|5x+10|>3x+7 \end{array}\right. \] Решение: Первое неравенство: Упростим знаменатель: \[ 1 - \frac{x}{x+1} = \frac{1}{x+1} \quad \Rightarrow \quad 3x - \frac{1}{\frac{1}{x+1}} = 3x - (x+1) = 2x - 1 \] Неравенство принимает вид: \[ \frac{x}{2x-1} \leq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2x-1} - \frac{1}{2} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2x - (2x-1)}{2(2x-1)} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2(2x-1)} \leq 0 \] Решение: \(2x-1 < 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{1}{2}\) Второе неравенство: Рассмотрим случаи: 1. \(x \geq 0.5\): \[ |6x-3| = 6x-3, \quad |5x+10| = 5x+10 \] \[ 6x-3 + 5x+10 > 3x+7 \quad \Rightarrow \quad 8x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0 \] Пересечение с x ≥ 0.5: x > 0.5 2. \(-2 \leq x 3x+7 \quad \Rightarrow \quad -4x > -6 \quad \Rightarrow \quad x < 1.5 \] Пересечение с -2 ≤ x < 0.5: -2 ≤ x < 0.5 3. \(x 3x+7 \quad \Rightarrow \quad -14x > 14 \quad \Rightarrow \quad x < -1 \] Пересечение с x < -2: x < -2 Объединение решений: x 0.5 Пересечение с первым неравенством (x < 0.5): Окончательный ответ: \(x < 0.5\), исключая x = -1 (по ОДЗ первого неравенства). Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0.5)\)
   
   
4. Упростить выражение: \[ \left(\frac{a+4}{2-a}-\frac{8a^{2}-32}{a^{3}-8} : \frac{4a+8}{a^{2}+2a+4}\right) : a + \frac{1+a}{a-2} \] Решение: Разложим знаменатели на множители: \[ a^3 - 8 = (a-2)(a^2+2a+4), \quad 8a^2-32 = 8(a^2-4) = 8(a-2)(a+2) \] Упростим вторую дробь: \[ \frac{8(a-2)(a+2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} : \frac{4(a+2)}{a^2+2a+4} = \frac{8(a+2)}{a^2+2a+4} \cdot \frac{a^2+2a+4}{4(a+2)} = 2 \] Выражение принимает вид: \[ \left(\frac{a+4}{2-a} - 2\right) : a + \frac{1+a}{a-2} = \frac{a+4 - 2(2-a)}{2-a} : a + \frac{1+a}{a-2} = \frac{3a}{2-a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1+a}{a-2} = \frac{3}{2-a} - \frac{1+a}{2-a} = \frac{2 - a}{2 - a} = 1 \] Ответ: 1.
   
   
5. Построить график функции: \[ y = \left(1 - \frac{1}{1 - \frac{2}{x}}\right) : \left(\frac{4 + x^2}{(2 - x)^3} + \frac{4x}{(x - 2)^3}\right) + x \] Решение: Упростим выражение: Первая часть: \[ 1 - \frac{1}{1 - \frac{2}{x}} = 1 - \frac{x}{x - 2} = \frac{(x - 2) - x}{x - 2} = \frac{-2}{x - 2} \] Вторая часть: \[ \frac{4 + x^2}{(2 - x)^3} + \frac{4x}{(x - 2)^3} = \frac{4 + x^2 - 4x}{(2 - x)^3} = \frac{(x - 2)^2}{(2 - x)^3} = \frac{1}{2 - x} \] Функция упрощается до: \[ y = \frac{-2}{x - 2} : \frac{1}{2 - x} + x = \frac{-2}{x - 2} \cdot (2 - x) + x = 2 + x \] Ограничения: \(x ≠ 0, x ≠ 2\) График: прямая \(y = x + 2\) с выколотыми точками при \(x = 0\) и \(x = 2\). Ответ: График прямой \(y = x + 2\) с выколотыми точками (0,2) и (2,4).
   
   
6. Пусть \(a - \frac{1}{a} = \frac{2}{3}\). Найти \(a^3 - \frac{1}{a^3}\). Решение: Воспользуемся формулой: \[ a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right)\left(a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}\right) \] Найдем \(a^2 + \frac{1}{a^2}\): \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{9} + 2 = \frac{22}{9} \] Подставим в формулу: \[ a^3 - \frac{1}{a^3} = \frac{2}{3} \left(\frac{22}{9} + 1\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{31}{9} = \frac{62}{27} = 2\frac{8}{27} \] Ответ: \(\frac{62}{27}\).