Лицей №239 из 8 в 9 класс 2015 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2015 год

1. Разложить на множители $x^{3}+4 x^{2}+x-6$
2. Выполнить действия $\left(\mathrm{c}-\frac{\mathrm{c}^{3}+8}{2 \mathrm{c}+\mathrm{c}^{2}}\right) \cdot \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}^{2}-4 \mathrm{c}+4}+\frac{2}{2-\mathrm{c}}$
3. Цена билета на стадион была 150 рублей. После снижения цены билета количество посетителей увеличилось на $50 \%$, а сбор увеличился на $25 \%$. Найти новую цену билета.
4. Решить уравнение $\frac{2 \mathrm{x}+1}{1+\mathrm{x}}=\frac{2}{\mathrm{x}^{2}-1}$
5. Вычислить $(\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{5-\mathrm{a}}}) \cdot \sqrt{2+\mathrm{a}} \cdot(\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{5-\mathrm{a}}})-\mathrm{a}$
6. Решить уравнение $x^{2}-15 x+q=0$, если известно, что его корни $x_{1}, x_{2}$ связаны соотношением $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{5}{12}$
7. Решить уравнение $\sqrt{\mathrm{x}-3} \cdot\left(3 \mathrm{x}^{2}-14 \mathrm{x}+8\right)=0$
8. Решить неравенство $\frac{\left(x^{2}-1\right) \cdot\left(2 x^{2}-5 x-7\right)}{2-x} \leq 0$
9. Решить неравенство $x^{2}-3 x+2>|x-5|$
10. Нарисовать на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию $\frac{\left(\mathrm{x}^{2}-4\right) \cdot(\mathrm{y}-\mathrm{x}+1)}{\mathrm{x}-2}=0$
11. Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ равно $\frac{a b}{3}$. Найдите их наибольший общий делитель.
12. При каких значениях $\kappa$ прямая $y=2 x-3$ имеет с параболой $y=(x-\kappa)^{2}$ хотя бы одну общую точку?
13. При каких значениях х и у выражение $5 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{xy}+1$ принимает наименьшее значение?
14. Решить систему: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+3 x y=1 \\ x-y=1\end{array}\right.$
15. Найдите расстояние от начала координат до прямой $y=2-2 x$
16. На окружности взяли 7 точек и провели через них всевозможные хорды. Сколько всего хорд провели?
17. В равнобедренном треугольнике один из углов равен $120^{\circ}$, а высота, проведенная к боковой стороне равна 15 cм. Найдите основание треугольника.
18. Четырехугольник $A B C D$ трапеция $(A D \square B C) .$ Известно, что $\frac{S_{\square A O D}}{S_{\square B O C}}=16 .$ Найти $\frac{B C}{A D}$
19. Стороны треугольника равны $\sqrt{2}, \sqrt{7}, 3$. Найдите площадь треугольника.
20. В прямоугольной трапеции $A B C D(A D \square B C)$ угол $B=120^{\circ}, A B=B C=4 . K$ - середина $B C$. Найти $A K$

Решения задач

1. Разложить на множители $x^{3}+4x^{2}+x-6$
   Решение: Проверим целые корни среди делителей -6. При $x = 1$: $1 + 4 + 1 -6 = 0$ ⇒ $x=1$ - корень. Делим многочлен на $(x-1)$:
   $(x-1)(x^2+5x+6) = (x-1)(x+2)(x+3)$
   Ответ: $(x−1)(x+2)(x+3)$.
   
   
2. Выполнить действия $\left(c - \frac{c^3 + 8}{2c + c^2}\right) \cdot \frac{c}{c^2 - 4c + 4} + \frac{2}{2 - c}$
   Решение:
   Упростим выражение в скобках:
   $\frac{c^3 + 8}{2c + c^2} = \frac{(c + 2)(c^2 - 2c + 4)}{c(c + 2)} = \frac{c^2 - 2c + 4}{c}$
   Тогда: $c - \frac{c^2 - 2c + 4}{c} = \frac{c^2 - (c^2 - 2c + 4)}{c} = \frac{2c - 4}{c}$
   Умножаем на $\frac{c}{(c - 2)^2}$:
   $\frac{2(c - 2)}{c} \cdot \frac{c}{(c - 2)^2} = \frac{2}{c - 2}$
   Добавляем $\frac{2}{2 - c} = -\frac{2}{c - 2}$:
   $\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c - 2} = 0$
   Ответ: 0.
   
   
3. Цена билета на стадион была 150 руб. После снижения цены количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. Найти новую цену билета.
   Решение: Пусть исходный сбор = $150N$. Новый сбор = $1,25 \cdot 150N = 187,5N$. Количество посетителей = $1,5N$. Новая цена:
   $\frac{187,5N}{1,5N} = 125$
   Ответ: 125 руб.
   
   
4. Решить уравнение $\frac{2x + 1}{1 + x} = \frac{2}{x^2 - 1}$
   Решение: ОДЗ: $x ≠ ±1$. Умножаем обе части на $(1 + x)(x^2 - 1)$:
   $(2x + 1)(x - 1) = 2$
   $2x^2 - x - 1 = 2$ ⇒ $2x^2 - x - 3 = 0$
   Корни: $x = \frac{1 ± 5}{4}$ ⇒ $x= \frac{3}{2}$ (корень $x=-1$ исключается по ОДЗ)
   Ответ: $\frac{3}{2}$.
   
   
5. Вычислить $(\sqrt{\sqrt{7} - \sqrt{5 - a}})(\sqrt{2 + a})(\sqrt{\sqrt{7} + \sqrt{5 - a}}) - a$
   Решение: Применим свойство $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
   $(\sqrt{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5 - a})^2} \cdot \sqrt{2 + a}) - a = \sqrt{(7 - (5 - a))} \cdot \sqrt{2 + a} - a = \sqrt{(2 + a)} \cdot \sqrt{2 + a} - a = |2 + a| - a$. При $2 + a ≥ 0$: $2 + a - a = 2$
   Ответ: 2.
   
   
6. Решить уравнение $x^2 - 15x + q = 0$, если $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{12}$
   Решение: По теореме Виета:
   $\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{15}{q} = \frac{5}{12}$ ⇒ $q = \frac{15 \cdot 12}{5} = 36$
   Уравнение: $x^2 - 15x + 36 = 0$. Корни: $x=3$ и $x=12$.
   Ответ: $q=36$, корни 3 и 12.
   
   
7. Решить уравнение $\sqrt{x - 3} \cdot (3x^2 - 14x + 8) = 0$
   Решение:
   $\sqrt{x - 3} = 0 ⇒ x = 3$
   $3x^2 - 14x + 8 = 0$ ⇒ $x = \frac{14 ± 10}{6} ⇒ x=4$ и $x=\frac{2}{3}$ (последний корень исключается, так как $x≥3$).
   Ответ: $3$ и $4$.
   
   
8. Решить неравенство $\frac{(x^2 - 1)(2x^2 - 5x - 7)}{2 - x} ≤ 0$
   Решение: Метод интервалов. Критические точки: $x = ±1$, корни $2x^2 - 5x -7 = 0$: $x=3,5$ и $x=-1$, $x=2$. Проверим знаки на интервалах: $x ∈ (-∞; -1) ∪ (1; 2) ∪ (3,5; +∞)$ с учетом знаменателя.
   Знаки меняются в точках $-1, 1, 2, 3,5$. Учитывая условия неравенства и ОДЗ, решение: $x ∈ [-1;1] ∪ (2;3,5]$.
   (Пропущенный ответ в оригинальном списке).
   
   
9. Решить неравенство $x^2 - 3x + 2 > |x - 5|$
   Решение: Рассмотрим случаи:
   1. $x ≥5$: $x^2 -3x +2 >x -5 ⇒ x^2 -4x +7 >0$ — всегда верно. 2. $x 5 -x ⇒ x^2 -2x -3 >0$ ⇒ $x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; +∞)$.
   Объединение решений: $x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; +∞)$.
   (Ответ не указан явно).
   
   
10. Нарисовать множество точек $\frac{(x^2 - 4)(y - x +1)}{x - 2} = 0$
    Решение: Уравнение распадается на:
    1. $x^2 -4 =0 ⇒ x=±2$ (но $x≠2$ по знаменателю) ⇒ только $x=-2$; 2. $y -x +1=0 ⇒ y=x-1$; 3. $x -2 ≠0 ⇒ x≠2$.
    Ответ: Объединение прямой $y=x-1$ и вертикальной прямой $x=-2$, исключая $x=2$.
    (Ответ не указан явно).
    
    
11. НОК(a,b) = $\frac{ab}{3}$. Найти НОД.
    Решение: Используем формулу $НОК(a,b) \cdot НОД(a,b) = ab$ ⇒ $\frac{ab}{3} \cdot d = ab$ ⇒ $d = 3$.
    Ответ: 3.
    
    
12. При каких $κ$ прямая $y=2x -3$ пересекает параболу $y=(x - κ)^2$
    Решение: $(x - κ)^2 = 2x -3$ ⇒ $x^2 - (2κ +2)x + κ² +3 =0$
    Дискриминант $D = 4κ² +8κ +4 -4κ² -12 = 8κ -8 ≥0 ⇒ κ ≥1$.
    Ответ: $κ ≥1$.
    
    
13. Минимальное значение выражения $5x^2 -4x + y² +2xy +1$
    Решение: Преобразуем выражение:
    $(x+y)^2 + (2x−1)^2 ≥0$. Минимум $0$ при $x=0,5$, $y=-0,5$
    Ответ: $x=0,5$, $y=-0,5$.
    
    
14. Решить систему: $\begin{cases}x^2 +3xy =1 \\x - y =1\end{cases}$
    Решение: $y =x -1$ подставляем в первое уравнение:
    $x^2 +3x(x-1) =1 ⇒4x^2 -3x -1 =0$
    Корни: $x=1$ ⇒ $y=0$; $x=-\frac{1}{4}$ ⇒ $y=-\frac{5}{4}$
    (Ответ не указан).
    
    
15. Расстояние от начала координат до прямой $y=2-2x$
    Решение: Формула расстояния: $\frac{|2|}{\sqrt{2² +1}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
    (Ответ не указан).
    
    
16. Количество хорд через 7 точек на окружности
    Решение: $\binom{7}{2} =21$ хорда.
    Ответ:21.
    
    
17. Основание равнобедренного треугольника с углом $120°$ и высотой 15 см
    Решение: Обозначим боковые стороны $AB=BC=a$. Высота $BD=15$ см к основанию $AC$ делит его на 2 части. Длина основания $AC=2 \cdot15 \cdot \tan30° =30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} =10\sqrt{3}$ (неверно).
    Верное решение: используем синус угла $120°$:
    $AC = 2 \cdot AB \cdot \sin60° = 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.
    Площадь треугольника: $\frac{1}{2}a² \sin120° = \frac{1}{2}a \cdot15$ ⇒ $a² \frac{\sqrt{3}}{2} =15a ⇒a√3=30 ⇒a=\frac{30}{√3} =10\sqrt3$ ⇒ $AC =10\sqrt3 \cdot\sqrt3 =30$ см.
    Ответ:30 см.
    
    
18. Трапеция $ABCD$. Отношение площадей треугольников $S_{AOD}/S_{BOC}=16$. Найти $BC/AD$
    Решение: Пусть $BC=k \cdot AD$. Тогда $S_{AOD}/S_{BOC}=k²=16 ⇒k=\frac{1}{4}$, т.к. площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
    Ответ: $\frac{1}{4}$.
    
    
19. Площадь треугольника со сторонами $\sqrt{2}$, $\sqrt7$, 3.
    Решение: Треугольник прямоугольный, т.к. $(\sqrt{2})² + (\sqrt7)^2 =9=3²$. Площадь: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt7 = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
    (Ответ не указан).
    
    
20. Длина $AK$ в трапеции с $AB=BC=4$ и $\angle B=120°$
    Решение: Координаты точек: $B(0;0)$, $C(4;0)$. Точка $A(-2;2\sqrt3)$ (угол $120°$). $K$ - середина $BC(2;0)$. Рассчитаем $AK$:
    $\sqrt{(2+2)^2 + (0-2\sqrt3)^2} = \sqrt{16+12} = \sqrt{28} =2\sqrt7$
    Ответ: $2\sqrt7$.