Лицей №239 из 8 в 9 класс 2014 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2014 год

1. Разложить на множители: $a^{2}-9 b^{2}+12 b c-4 c^{2}$
2. Сократить дробь: $\frac{2 \sqrt{x}+x-x \sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}}$
3. В январе было 5 понедельников. Какое наибольшее число четвергов могло быть в этом январе? Ответ обосновать.
4. Найти область определения функции: $\frac{\sqrt{x^{2}-6 x+8}}{x-5}$
5. При каких значениях $\kappa$ уравнение $7 x^{2}-2 x+4 \kappa=0$ имеет только положительные корни.
6. Решить уравнение: $\frac{36}{4-x^{2}}+2=\frac{1-x}{x+2}-\frac{9}{x-2}$
7. Какие значения может принимать $y$, если $3 x+2 y=6$ и $|x|<8$ ?
8. В кубе с ребром 10 см все грани покрасили в разные цвета. Затем куб разрезали на 1000 кубиков со стороной в 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две грани окрашены в разные цвета?
9. Решить неравенство: $\frac{3}{x}<5$
10. Построить график функции: $y=\sqrt{1-4 x+4 x^{2}}-3$
11. Сколько граммов воды надо добавить к 180 граммам сиропа, содержащего $25 \%$ сахара, чтобы получить сироп, процентное содержание сахара в котором равно $20 % ?$
12. При каких значениях $\kappa$ прямая $y=\kappa x$ имеет единственную общую точку с графиком функции $y=(x-1)^{2} ?$
13. Найдите наименьшее значение выражения $\sqrt{2 x+2 y+10}+\sqrt{x+3 y-3}$ и укажите пары значений $x$ и $y$, при которых оно достигается.
14. В карточной колоде 36 карт, по девять каждой масти. Мы берем двух королей. Сколько различных пар мы можем получить?
15. При каких значениях параметра а число 1 расположено между корнями уравнения $x^{2}+(a+1) x-a^{2}=0 ?$
16. Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см и одна из его сторон меньше другой на 6 см. найти стороны треугольника.
17. Найти уравнение прямой, проходящей через точки $A(1 ; 3)$ и $B(3 ; 7)$.
18. Гипотенуза $A B$ прямоугольного треугольника $A B C$ равна $c$, а мера острого угла $A$ равна $\alpha$. Найти периметр треугольника.
19. В трапеции большее основание равно 18 см, углы при большем основании равны $53^{0}$ и $37^{0}$. Найти расстояние от точки пересечения продолжений боковых сторон до середины большего основания.
20. Две окружности, радиусы которых отличаются в 4 раза, касаются внешним образом. $A B$ - их общая касательная ( $A$ и $B$ - точки касания) имеет длину 8 см. Найти радиусы окружностей.

Решения задач

1. Разложить на множители: $a^{2}-9 b^{2}+12 b c-4 c^{2}$
   Решение:
   $a^{2}-9 b^{2}+12 b c-4 c^{2} = a^{2} - (9b^{2}-12bc+4c^{2}) = a^{2} - (3b-2c)^{2} = (a - (3b-2c))(a + (3b-2c)) = (a -3b +2c)(a +3b -2c)$
   Ответ: $(a -3b +2c)(a +3b -2c)$.
   
   
2. Сократить дробь: $\frac{2 \sqrt{x}+x-x \sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}}$
   Решение:
   $\frac{2 \sqrt{x}+x-x \sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(2 + \sqrt{x} - x)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2 + \sqrt{x} - x}{\sqrt{x} - 2} = \frac{-(x - \sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 2} = \frac{-(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 2} = -(\sqrt{x} + 1)$
   Ответ: $-(\sqrt{x} + 1)$.
   
   
3. В январе было 5 понедельников. Какое наибольшее число четвергов могло быть в этом январе? Ответ обосновать.
   Решение: Январь имеет 31 день. Если первый понедельник приходится на 7 января, то четверги будут 3, 10, 17, 24, 31. Всего 5 четвергов. При другом расположении понедельников количество четвергов уменьшается.
   Ответ: 5.
   
   
4. Найти область определения функции: $\frac{\sqrt{x^{2}-6 x+8}}{x-5}$
   Решение:
   $x^{2}-6x+8 \geq 0 \Rightarrow (x-2)(x-4) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$
   $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$
   Объединение: $x \in (-\infty; 2] \cup [4; 5) \cup (5; +\infty)$
   Ответ: $(-\infty; 2] \cup [4; 5) \cup (5; +\infty)$.
   
   
5. При каких значениях $\kappa$ уравнение $7 x^{2}-2 x+4 \kappa=0$ имеет только положительные корни.
   Решение:
   Условия: $D \geq 0$, $x_{1}+x_{2} > 0$, $x_{1}x_{2} > 0$
   $D = 4 - 112\kappa \geq 0 \Rightarrow \kappa \leq \frac{1}{28}$
   $x_{1}x_{2} = \frac{4\kappa}{7} > 0 \Rightarrow \kappa > 0$
   Ответ: $\kappa \in (0; \frac{1}{28}]$.
   
   
6. Решить уравнение: $\frac{36}{4-x^{2}}+2=\frac{1-x}{x+2}-\frac{9}{x-2}$
   Решение:
   Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$
   $36 + 2(x^{2}-4) = (1-x)(x-2) -9(x+2)$
   $2x^{2} + 28 = -x^{2} -6x -20$
   $3x^{2} +6x +48 = 0 \Rightarrow D = -540 < 0$
   Ответ: Нет решений.
   
   
7. Какие значения может принимать $y$, если $3 x+2 y=6$ и $|x|<8$ ?
   Решение:
   $x = \frac{6-2y}{3}$, подставляем в $|x| <8$:
   $-8 < \frac{6-2y}{3} <8 \Rightarrow -24 <6-2y <24 \Rightarrow -30 < -2y y > -9$
   Ответ: $y \in (-9; 15)$.
   
   
8. В кубе с ребром 10 см все грани покрасили в разные цвета. Затем куб разрезали на 1000 кубиков со стороной в 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две грани окрашены в разные цвета?
   Решение:
   Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на рёбрах куба (исключая углы). На каждом ребре: $10-2=8$ кубиков. Всего рёбер: 12.
   $12 \cdot 8 = 96$
   Ответ: 96.
   
   
9. Решить неравенство: $\frac{3}{x}<5$
   Решение:
   При $x >0$: $3 \frac{3}{5}$
   При $x 5x \Rightarrow x < \frac{3}{5}$ (но $x <0$)
   Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.
   
   
10. Построить график функции: $y=\sqrt{1-4 x+4 x^{2}}-3$
    Решение:
    $y = \sqrt{(2x-1)^{2}} -3 = |2x-1| -3$
    При $x \geq \frac{1}{2}$: $y = 2x -4$
    При $x < \frac{1}{2}$: $y = -2x -2$
    Ответ: График состоит из двух прямых: $y=2x-4$ при $x \geq 0.5$ и $y=-2x-2$ при $x <0.5$.
    
    
11. Сколько граммов воды надо добавить к 180 граммам сиропа, содержащего $25 \%$ сахара, чтобы получить сироп, процентное содержание сахара в котором равно $20 % ?$
    Решение:
    Масса сахара: $180 \cdot 0.25 =45$ г
    Пусть добавили $x$ г воды: $\frac{45}{180+x} =0.2 \Rightarrow x=45$
    Ответ: 45 г.
    
    
12. При каких значениях $\kappa$ прямая $y=\kappa x$ имеет единственную общую точку с графиком функции $y=(x-1)^{2} ?$
    Решение:
    Уравнение: $\kappa x = (x-1)^{2} \Rightarrow x^{2} - (2+\kappa)x +1=0$
    $D = (2+\kappa)^{2} -4 = \kappa^{2} +4\kappa =0 \Rightarrow \kappa(\kappa +4)=0$
    Ответ: $\kappa=0$ или $\kappa=-4$.
    
    
13. Найдите наименьшее значение выражения $\sqrt{2 x+2 y+10}+\sqrt{x+3 y-3}$ и укажите пары значений $x$ и $y$, при которых оно достигается.
    Решение:
    Минимум достигается при $2x+2y+10=0$ и $x+3y-3=0$
    Решаем систему:
    $\begin{cases} 2x+2y=-10 \\ x+3y=3 \end{cases} \Rightarrow x=-9, y=4$
    Значение выражения: $\sqrt{0} + \sqrt{0} =0$
    Ответ: 0 при $x=-9$, $y=4$.
    
    
14. В карточной колоде 36 карт, по девять каждой масти. Мы берем двух королей. Сколько различных пар мы можем получить?
    Решение:
    В колоде 4 короля. Число способов выбрать 2: $C(4,2)=6$
    Ответ: 6.
    
    
15. При каких значениях параметра а число 1 расположено между корнями уравнения $x^{2}+(a+1) x-a^{2}=0 ?$
    Решение:
    Условие: $f(1) <0 \Rightarrow 1 +a+1 -a^{2} 0 \Rightarrow a \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$
    Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.
    
    
16. Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см и одна из его сторон меньше другой на 6 см. Найти стороны треугольника.
    Решение:
    Пусть основание $a=2$ см, боковые стороны $b=8$ см. Проверка: $2+8+8=18$ см, $8-2=6$ см.
    Ответ: 2 см, 8 см, 8 см.
    
    
17. Найти уравнение прямой, проходящей через точки $A(1 ; 3)$ и $B(3 ; 7)$.
    Решение:
    Угловой коэффициент: $k = \frac{7-3}{3-1} =2$
    Уравнение: $y -3 =2(x-1) \Rightarrow y=2x+1$
    Ответ: $y=2x+1$.
    
    
18. Гипотенуза $A B$ прямоугольного треугольника $A B C$ равна $c$, а мера острого угла $A$ равна $\alpha$. Найти периметр треугольника.
    Решение:
    Катеты: $BC =c \sin\alpha$, $AC =c \cos\alpha$
    Периметр: $c +c \sin\alpha +c \cos\alpha =c(1+\sin\alpha+\cos\alpha)$
    Ответ: $c(1+\sin\alpha+\cos\alpha)$.
    
    
19. В трапеции большее основание равно 18 см, углы при большем основании равны $53^{0}$ и $37^{0}$. Найти расстояние от точки пересечения продолжений боковых сторон до середины большего основания.
    Решение:
    Точка пересечения продолжений боковых сторон образует прямоугольный треугольник. Расстояние до середины основания равно половине гипотенузы: $\frac{18}{2}=9$ см.
    Ответ: 9 см.
    
    
20. Две окружности, радиусы которых отличаются в 4 раза, касаются внешним образом. $A B$ - их общая касательная ( $A$ и $B$ - точки касания) имеет длину 8 см. Найти радиусы окружностей.
    Решение:
    Пусть радиусы $r$ и $4r$. Длина касательной: $AB=4r=8 \Rightarrow r=2$ см.
    Ответ: 2 см и 8 см.