Лицей №239 из 8 в 9 класс 2014 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2014 год

1. Разложить на множители: $a^{2}-4 b^{2}+12 b c-9 c^{2}$
2. Сократить дробь: $\frac{3 \sqrt{x}-2 x-x \sqrt{x}}{x+3 \sqrt{x}}$
3. В марте было 5 вторников. Какое наибольшее число пятниц могло быть в этом марте? Ответ обосновать.
4. Найти область определения функции: $\frac{\sqrt{x^{2}-7 x+12}}{x-6}$
5. При каких значениях $к$ уравнение $3 x^{2}-2 x+9 \kappa=0$ имеет только положительные корни.
6. Решить уравнение: $\frac{3 x}{x+3}-\frac{42}{x^{2}-9}=1+\frac{7}{3-x}$
7. Какие значения может принимать $y$, если $4 x+3 y=8$ и $|y|<12$ ?
8. В кубе с ребром 1 метр все грани покрасили в разные цвета. Затем куб разрезали на 1000 кубиков со стороной в 10 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две грани окрашены в разные цвета?
9. Решить неравенство: $\frac{7}{x}<4$
10. Построить график функции: $y=\sqrt{1+4 x+4 x^{2}}-3$
11. Сколько граммов воды надо добавить к 220 граммам сиропа, содержащего $25 \%$ сахара, чтобы получить сироп, процентное содержание сахара в котором равно $20 % ?$
12. При каких значениях $\kappa$ прямая $y=\kappa x$ имеет единственную общую точку с графиком функции $y=(x+1)^{2}$ ?
13. Найдите наименьшее значение выражения $\sqrt{2 x-2 y+10}+\sqrt{x+3 y-3}$ и укажите пары значений $x$ и $y$, при которых оно достигается.
14. В карточной колоде 36 карт, по девять каждой масти. Мы берем двух валетов. Сколько различных пар мы можем получить?
15. При каких значениях параметра а число 1 расположено между корнями уравнения $x^{2}+(1-a) x-a^{2}=0$ ?
16. Периметр равнобедренного треугольника равен 27 см и одна из его сторон меньше другой на 9 см. найти стороны треугольника.
17. Найти уравнение прямой, проходящей через точки $A(2 ; 5)$ и $B(4 ; 9)$.
18. Гипотенуза $A B$ прямоугольного треугольника $A B C$ равна $c$, а мера острого угла $A$ равна $\alpha$. Найти площадь треугольника.
19. В трапеции большее основание равно 22 см, углы при большем основании равны $58^{0}$ и $32^{0}$. Найти расстояние от точки пересечения продолжений боковых сторон до середины большего основания.
20. Две окружности, радиусы которых отличаются в 4 раза, касаются внешним образом. $A B$ - их общая касательная ( $A$ и $B$ - точки касания) имеет длину 16 см. Найти радиусы окружностей.

Решения задач

1. Разложить на множители: $a^{2}-4 b^{2}+12 b c-9 c^{2}$
   Решение: Группируем слагаемые:
   $a^{2} - (4b^{2} - 12bc + 9c^{2}) = a^{2} - (2b - 3c)^{2} = (a - (2b - 3c))(a + (2b - 3c)) = (a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$
   Ответ: $(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$.
   
   
2. Сократить дробь: $\frac{3 \sqrt{x}-2 x-x \sqrt{x}}{x+3 \sqrt{x}}$
   Решение: Замена $t = \sqrt{x}$:
   $\frac{3t - 2t^{2} - t^{3}}{t^{2} + 3t} = \frac{-t(t^{2} + 2t - 3)}{t(t + 3)} = \frac{-(t + 3)(t - 1)}{t + 3} = 1 - t = 1 - \sqrt{x}$
   Ответ: $1 - \sqrt{x}$.
   
   
3. В марте было 5 вторников. Какое наибольшее число пятниц могло быть в этом марте?
   Решение: Март имеет 31 день (4 недели + 3 дня). Если 1 марта — вторник, то вторники: 1, 8, 15, 22, 29. Оставшиеся дни: 30, 31. Пятницы: 4, 11, 18, 25, 30. Максимум 5 пятниц.
   Ответ: 5.
   
   
4. Найти область определения функции: $\frac{\sqrt{x^{2}-7 x+12}}{x-6}$
   Решение:
   $x^{2} - 7x + 12 \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$ или $x \geq 4$
   $x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$
   Область определения: $(-\infty; 3] \cup [4; 6) \cup (6; +\infty)$
   Ответ: $(-\infty; 3] \cup [4; 6) \cup (6; +\infty)$.
   
   
5. При каких значениях $k$ уравнение $3 x^{2}-2 x+9 k=0$ имеет только положительные корни.
   Решение:
   Дискриминант: $4 - 108k \geq 0 \Rightarrow k \leq \frac{1}{27}$
   Произведение корней: $\frac{9k}{3} = 3k > 0 \Rightarrow k > 0$
   Ответ: $0 < k \leq \frac{1}{27}$.
   
   
6. Решить уравнение: $\frac{3 x}{x+3}-\frac{42}{x^{2}-9}=1+\frac{7}{3-x}$
   Решение: Общий знаменатель $(x+3)(x-3)$:
   $3x(x-3) - 42 = (x^{2} - 9) + 7(x + 3)$
   $3x^{2} - 9x - 42 = x^{2} - 9 + 7x + 21$
   $2x^{2} - 16x - 48 = 0 \Rightarrow x = -4$ (корень $x=6$ не входит в ОДЗ)
   Ответ: $-4$.
   
   
7. Какие значения может принимать $y$, если $4 x+3 y=8$ и $|y|<12$ ?
   Решение: Выразим $x = \frac{8 - 3y}{4}$. Условие $|y| < 12$ даёт $-12 < y < 12$.
   Ответ: $-12 < y < 12$.
   
   
8. В кубе с ребром 1 метр разрезали на 1000 кубиков. Сколько кубиков с двумя разными окрашенными гранями?
   Решение: Кубики на рёбрах (не угловые): 12 рёбер $\times$ 8 кубиков = 96.
   Ответ: 96.
   
   
9. Решить неравенство: $\frac{7}{x}<4$
   Решение:
   При $x > 0$: $x > \frac{7}{4}$
   При $x < 0$: $x < \frac{7}{4}$ (но $x < 0$)
   Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{7}{4}; +\infty)$.
   
   
10. Построить график функции: $y=\sqrt{1+4 x+4 x^{2}}-3$
    Решение: $\sqrt{(2x + 1)^2} - 3 = |2x + 1| - 3$
    При $x \geq -0.5$: $y = 2x - 2$
    При $x < -0.5$: $y = -2x - 4$
    Ответ: График состоит из двух прямых.
    
    
11. Сколько граммов воды надо добавить к 220 г сиропа с 25% сахара, чтобы получить 20% сироп?
    Решение: Масса сахара: $220 \cdot 0.25 = 55$ г. Пусть $x$ — добавленная вода:
    $\frac{55}{220 + x} = 0.2 \Rightarrow x = 55$ г.
    Ответ: 55 г.
    
    
12. При каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет единственную общую точку с графиком $y=(x+1)^{2}$?
    Решение: Уравнение $(x+1)^2 = kx$ должно иметь один корень:
    $x^2 + (2 - k)x + 1 = 0$
    Дискриминант: $(2 - k)^2 - 4 = 0 \Rightarrow k = 0$ или $k = 4$
    Ответ: $k = 0$, $k = 4$.
    
    
13. Найдите наименьшее значение выражения $\sqrt{2 x-2 y+10}+\sqrt{x+3 y-3}$
    Решение: Минимум достигается при $2x - 2y + 10 = 0$ и $x + 3y - 3 = 0$:
    Решение системы: $x = -3$, $y = 2$. Значение: $0$.
    Ответ: 0 при $x = -3$, $y = 2$.
    
    
14. Сколько различных пар валетов можно получить из колоды 36 карт?
    Решение: Количество сочетаний из 4 валетов по 2: $C(4,2) = 6$.
    Ответ: 6.
    
    
15. При каких значениях параметра $a$ число 1 расположено между корнями уравнения $x^{2}+(1-a)x-a^{2}=0$?
    Решение: $f(1) < 0$:
    $1 + 1 - a - a^2 0 \Rightarrow a 1$.
    Ответ: $a 1$.
    
    
16. Периметр равнобедренного треугольника 27 см, одна из сторон меньше другой на 9 см. Найти стороны.
    Решение: Основание 3 см, боковые стороны 12 см.
    Ответ: 3 см, 12 см, 12 см.
    
    
17. Найти уравнение прямой через точки $A(2;5)$ и $B(4;9)$.
    Решение: Угловой коэффициент $k = \frac{9 - 5}{4 - 2} = 2$. Уравнение: $y = 2x + 1$.
    Ответ: $y = 2x + 1$.
    
    
18. Гипотенуза $AB = c$, угол $A = \alpha$. Найти площадь треугольника.
    Решение: Катеты $AC = c \cos \alpha$, $BC = c \sin \alpha$. Площадь: $\frac{c^2 \sin 2\alpha}{4}$.
    Ответ: $\frac{c^2 \sin 2\alpha}{4}$.
    
    
19. В трапеции с основанием 22 см и углами 58° и 32° найти расстояние до середины большего основания.
    Решение: Расстояние: $11(\cot 32^\circ - \tan 32^\circ)$. Численно ≈ 11*(1.6 - 0.625) ≈ 11*0.975 ≈ 10.725 см.
    Ответ: ≈ 10.725 см.
    
    
20. Две окружности с радиусами 4r и r. Общая касательная 16 см. Найти радиусы.
    Решение: Длина касательной: $4r = 16 \Rightarrow r = 4$. Радиусы: 4 см и 16 см.
    Ответ: 4 см и 16 см.