Лицей №239 из 8 в 9 класс 2012 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2012 год

1. $x_{1}$ меньший корень уравнения $2 x^{2}+4 x-5=0$. Вычислите $4 x_{1}^{2}+8 x_{1}-7$.
2. Вычислить: $\frac{5,1}{0,017}+\frac{0,09}{0,003}+\frac{1}{0,1}$
3. Решить в целых числах $x \cdot(y-2)=3$, если известно, что $x<0$.
4. Решить уравнение: $(x+2)^{3}-x^{3}=2$
5. Решить неравенство: $\frac{(x-1)^{2} \cdot(x+3) \cdot(x-3)}{\sqrt{x+2}} \geq 0$.
6. Если $x^{2}-12 x+15=(x+a)^{2}+b$, то чему равно значение $b$ ?
7. $x_{1}$ и $x_{2}$ корни уравнения $. x^{2}+p x+6=0$. Решить уравнение, если $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=37$.
8. Велосипедист проехал за 2,5 часа 58 км, а за следующий час еще 19 км. Найдите среднюю скорость велосипедиста.
9. Построить график $|y|=|x-2|$.
10. Решить уравнение: $\left|x^{2}-4 x\right|=x^{2}+x-5$.
11. Сравнить числа $a=4+2 \sqrt{2}$ и $b=\sqrt{11}+\sqrt{13}$.
12. При каких значениях $a$ уравнение $x^{3}+6 x^{2}+a x=0$ имеет два различных корня?
13. При каких значениях $a$ система $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2}-4 x+3 \\ y=a\end{array}\right.$ имеет единственное решение?
14. Из Петербурга в Москву можно проехать двумя способами, а из Москвы в Братск четырьмя способами. Сколькими способами можно проехать их Петербурга в Братск?
15. Найдите координаты точки, через которую проходят все прямые вида $y-2=\kappa x-\kappa$
16. Диагонали ромба 14 см и13 см. Найдите его площадь.
17. Около прямоугольного треугольника $A B C$ с прямым углом $C$ описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если $A C=18 \mathrm{~cm}, \angle B=30^{\circ}$.
18. В прямоугольном треугольнике угол $C$ прямой, $\cos \angle A=\frac{2}{3}$. Найдите тангенс этого угла.
19. В равнобедренном треугольнике угол между высотами, проведѐнными к боковым сторонам, равен $40^{\circ} .$ Найдите угол при вершине треугольника.
20. В четырехугольнике $A B C D$ точки $M, N . P, Q$ - середины сторон. Найдите площадь четырехугольника $M N P Q$, если площадь четырехугольника $A B C D$ равна $S$.
    

Решения задач

1. $x_{1}$ меньший корень уравнения $2 x^{2}+4 x-5=0$. Вычислите $4 x_{1}^{2}+8 x_{1}-7$.
   Решение: Поскольку $x_{1}$ — корень уравнения, $2x_{1}^{2} + 4x_{1} = 5$. Умножив обе части на 2: $4x_{1}^{2} + 8x_{1} = 10$. Тогда $4x_{1}^{2} + 8x_{1} - 7 = 10 - 7 = 3$.
   Ответ: 3.
2. Вычислить: $\frac{5,1}{0,017}+\frac{0,09}{0,003}+\frac{1}{0,1}$
   Решение: $\frac{5,1}{0,017} = 300$, $\frac{0,09}{0,003} = 30$, $\frac{1}{0,1} = 10$. Сумма: $300 + 30 + 10 = 340$.
   Ответ: 340.
3. Решить в целых числах $x \cdot(y-2)=3$, если известно, что $x<0$.
   Решение: Целые делители 3: $\pm1, \pm3$. При $x<0$ возможны пары: $(-1, -1)$ и $(-3, 1)$.
   Ответ: $(-1; -1)$, $(-3; 1)$.
4. Решить уравнение: $(x+2)^{3}-x^{3}=2$
   Решение: Раскроем куб: $6x^{2} + 12x + 8 = 2 \Rightarrow 6x^{2} + 12x + 6 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
   Ответ: $-1$.
5. Решить неравенство: $\frac{(x-1)^{2} \cdot(x+3) \cdot(x-3)}{\sqrt{x+2}} \geq 0$.
   Решение: Область определения: $x > -2$. Нули числителя: $x = 1$, $x = \pm3$. Метод интервалов даёт решение: $x = 1$ и $x \geq 3$.
   Ответ: $x = 1$, $x \geq 3$.
6. Если $x^{2}-12 x+15=(x+a)^{2}+b$, то чему равно значение $b$ ?
   Решение: Приравняем коэффициенты: $a = -6$, $b = 15 - 36 = -21$.
   Ответ: $-21$.
7. $x_{1}$ и $x_{2}$ корни уравнения $x^{2}+p x+6=0$. Решить уравнение, если $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=37$.
   Решение: По теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = -p$, $x_{1}x_{2} = 6$. Из условия: $p^{2} - 12 = 37 \Rightarrow p = \pm7$. Корни: $x = -1, -6$ при $p=7$ и $x=1,6$ при $p=-7$.
   Ответ: $1,6$ или $-1,-6$.
8. Велосипедист проехал за 2,5 часа 58 км, а за следующий час еще 19 км. Найдите среднюю скорость велосипедиста.
   Решение: Общее расстояние: $58 + 19 = 77$ км. Время: $2,5 + 1 = 3,5$ ч. Средняя скорость: $\frac{77}{3,5} = 22$ км/ч.
   Ответ: 22 км/ч.
9. Построить график $|y|=|x-2|$.
   Решение: График состоит из двух прямых: $y = x - 2$ и $y = -(x - 2)$ при $x \geq 2$, и $y = 2 - x$ и $y = -(2 - x)$ при $x < 2$.
   Ответ: График "двойного" V-образного вида.
10. Решить уравнение: $\left|x^{2}-4 x\right|=x^{2}+x-5$.
    Решение: Рассмотрим случаи $x \leq 0$ или $x \geq 4$ и $0 < x < 4$. Единственный корень: $x = 2,5$.
    Ответ: $2,5$.
11. Сравнить числа $a=4+2 \sqrt{2}$ и $b=\sqrt{11}+\sqrt{13}$.
    Решение: Возведём в квадрат: $a^{2} \approx 46,627$, $b^{2} \approx 47,916$. Следовательно, $b > a$.
    Ответ: $b > a$.
12. При каких значениях $a$ уравнение $x^{3}+6 x^{2}+a x=0$ имеет два различных корня?
    Решение: Уравнение имеет корни $x=0$ и корни квадратного трёхчлена. Дискриминант квадратного уравнения равен нулю при $a=9$.
    Ответ: $a=9$.
13. При каких значениях $a$ система $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2}-4 x+3 \\ y=a\end{array}\right.$ имеет единственное решение?
    Решение: Уравнение $x^{2} - 4x + 3 = a$ имеет один корень при $a = -1$ (вершина параболы).
    Ответ: $a = -1$.
14. Из Петербурга в Москву можно проехать двумя способами, а из Москвы в Братск четырьмя способами. Сколькими способами можно проехать их Петербурга в Братск?
    Решение: По правилу умножения: $2 \cdot 4 = 8$.
    Ответ: 8.
15. Найдите координаты точки, через которую проходят все прямые вида $y-2=\kappa x-\kappa$
    Решение: Уравнение можно записать как $y = \kappa(x - 1) + 2$. Все прямые проходят через точку $(1, 2)$.
    Ответ: $(1; 2)$.
16. Диагонали ромба 14 см и13 см. Найдите его площадь.
    Решение: Площадь ромба: $\frac{14 \cdot 13}{2} = 91$ см².
    Ответ: 91 см².
17. Около прямоугольного треугольника $A B C$ с прямым углом $C$ описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если $A C=18 \mathrm{~cm}, \angle B=30^{\circ}$.
    Решение: Гипотенуза $AB = 36$ см (катет против угла 30°). Радиус: $\frac{36}{2} = 18$ см.
    Ответ: 18 см.
18. В прямоугольном треугольнике угол $C$ прямой, $\cos \angle A=\frac{2}{3}$. Найдите тангенс этого угла.
    Решение: Противолежащий катет: $\sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}$. Тангенс: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
    Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
19. В равнобедренном треугольнике угол между высотами, проведёнными к боковым сторонам, равен $40^{\circ}$. Найдите угол при вершине треугольника.
    Решение: Угол между высотами равен $180^{\circ} - 2\alpha = 40^{\circ} \Rightarrow \alpha = 70^{\circ}$.
    Ответ: $70^{\circ}$.
20. В четырехугольнике $A B C D$ точки $M, N, P, Q$ - середины сторон. Найдите площадь четырехугольника $M N P Q$, если площадь четырехугольника $A B C D$ равна $S$.
    Решение: По теореме о средней линии площадь четырёхугольника из середин равна $\frac{S}{2}$.
    Ответ: $\frac{S}{2}$.