8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 8 в 9 класс 2011 год (вариант 1)

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2011 год

Вариант 1

Все 20 примеров Вы, вероятнее всего, сделать не успеете. Поэтому решайте те, которые Вам кажутся легче. Чем Больше примеров Вы решите, тем лучше. Обязательно постарайтесь сделать, по крайней мере, 2 задачи по геометрии. Закончив работу, впишите полученные результаты в таблицу ответов. Сдавать надо Вашу работу, вариант и таблицу ответов.


  1. Упростить: $\frac{a \sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}-2}+\frac{3(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+2}$
  2. $\sqrt{t^{2}+\frac{4}{t^{2}}+4} .$ Вычислить при $t=-0,5 .$
  3. Сколько двузначных чисел делятся без остатка на 4 и на 6 ?
  4. Решить уравнение: $\frac{x}{x-2}+\frac{5}{x+2}=\frac{8}{x^{2}-4}$
  5. Решить неравенство: $\frac{x^{2}}{x+2} \leq-x$.
  6. Товар стоил $a$ рублей. Потом он подорожал на $10 \%$. После чего подешевел на $10 \%$ от новой цены. Сколько стал стоить товар после удешевления?
  7. $x_{1}$ и $x_{2}$ корни уравнения $3 x^{2}-5 x-11=0$. Составить квадратное уравнение с корнями $\frac{1}{x_{1}}$ и $\frac{1}{x_{2}}$.
  8. Пароход прошѐл 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 час. Найти скорость парохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
  9. Построить график $y=\frac{(x+1) \cdot(x-3)}{|x-1|+2}$.
  10. Решить неравенство: $|3 x+2| \geq x^{2}-2$.
  11. Найти произведение вещественных корней уравнения $x^{4}-3 x^{2}-4=0$.
  12. При каких значениях $a$ уравнение $a x^{2}-4 x+a=0$ имеет два различных корня?
  13. При каких значениях $t$ уравнение $\frac{(x-t) \cdot(x-2 t)}{x-1}=0$ имеет два различных корня?
  14. Решить уравнение: $x^{1024}+1=\frac{1}{2+x^{318}}$.
  15. Найти уравнения прямых, проходящих через точку $A(0 ; 2)$ и отсекающих прямоугольный треугольник площадью 4 с катетами, лежащими на осях координат.
  16. Площадь прямоугольной трапеции 54 см $^{2}$. Две меньшие стороны равны между собой, а острый угол равен $45^{0} .$ Найти меньшее основание.
  17. Сторона ромба $10, \mathrm{a}$ одна из диагоналей $12 .$ Найти вторую диагональ.
  18. В равнобедренном треугольнике с углом $70^{\circ}$ при вершине найти угол между высотами, проведѐнными на боковые стороны.
  19. Диагональ $A C$ параллелограмма $A B C D$ равна 18. Середина $M$ стороны $A B$ соединена с точкой $D$. Найти отрезки, на которые диагональ $A C$ делится отрезком $D M .$
  20. В прямоугольном треугольнике угол $C$ прямой, катет $A C$ равен $m, \angle C A B$ равен $\alpha$. Найти катет $B C$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить: $\frac{a \sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}-2}+\frac{3(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+2}$
    Решение:
    Замена $t = \sqrt{a}$. Тогда выражение примет вид:
    $\frac{t^3 - 1}{t^2 + t - 2} + \frac{3(t + 1)}{t + 2} = \frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{(t - 1)(t + 2)} + \frac{3(t + 1)}{t + 2} = \frac{t^2 + t + 1 + 3t + 3}{t + 2} = \frac{t^2 + 4t + 4}{t + 2} = t + 2 = \sqrt{a} + 2$
    Ответ: $\sqrt{a} + 2$

  2. $\sqrt{t^{2}+\frac{4}{t^{2}}+4} .$ Вычислить при $t=-0,5 .$
    Решение:
    $\sqrt{t^2 + \frac{4}{t^2} + 4} = \sqrt{\left(t + \frac{2}{t}\right)^2} = \left|t + \frac{2}{t}\right|$
    Подставляем $t = -0,5$:
    $\left|-0,5 + \frac{2}{-0,5}\right| = \left|-0,5 - 4\right| = 4,5$
    Ответ: 4,5

  3. Сколько двузначных чисел делятся без остатка на 4 и на 6 ?
    Решение:
    НОК(4,6) = 12. Двузначные числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. Всего 8 чисел.
    Ответ: 8

  4. Решить уравнение: $\frac{x}{x-2}+\frac{5}{x+2}=\frac{8}{x^{2}-4}$
    Решение:
    Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$
    $x(x+2) + 5(x-2) = 8$
    $x^2 + 2x + 5x - 10 = 8$
    $x^2 + 7x - 18 = 0$
    Корни: $x = 2$ (посторонний) и $x = -9$
    Ответ: -9

  5. Решить неравенство: $\frac{x^{2}}{x+2} \leq -x$
    Решение:
    Переносим все в левую часть:
    $\frac{x^2 + x(x+2)}{x+2} \leq 0 \Rightarrow \frac{2x^2 + 2x}{x+2} \leq 0$
    Метод интервалов:
    Корни числителя: $x = 0$, $x = -1$
    Знаменатель обращается в ноль при $x = -2$
    Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 0]$

  6. Товар стоил $a$ рублей. После изменений цена стала:
    $a \cdot 1,1 \cdot 0,9 = 0,99a$
    Ответ: $0,99a$

  7. Составить квадратное уравнение с корнями $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$:
    По теореме Виета:
    $x_1 + x_2 = \frac{5}{3}$, $x_1x_2 = -\frac{11}{3}$
    Новое уравнение: $x^2 + \frac{5}{11}x - \frac{3}{11} = 0 \Rightarrow 11x^2 + 5x - 3 = 0$
    Ответ: $11x^2 + 5x - 3 = 0$

  8. Пусть скорость парохода $v$ км/ч:
    $\frac{9}{v} + \frac{20}{v+3} = 1$
    Решаем уравнение:
    $9(v+3) + 20v = v(v+3) \Rightarrow v^2 - 26v - 27 = 0 \Rightarrow v = 27$
    Ответ: 27 км/ч

  9. График функции $y = \frac{(x+1)(x-3)}{|x-1| + 2}$ анализируется по участкам:
    При $x \geq 1$: $y = \frac{(x+1)(x-3)}{x+1} = x-3$
    При $x < 1$: $y = \frac{(x+1)(x-3)}{3 - x}$
    Ответ: график состоит из прямой $y = x-3$ при $x \geq 1$ и гиперболы при $x < 1$

  10. Решение неравенства $|3x+2| \geq x^2 - 2$:
    Рассматриваем два случая:
    1) $3x+2 \geq 0$: $3x+2 \geq x^2 - 2 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow x \in [-1;4]$
    2) $3x+2 < 0$: $-3x-2 \geq x^2 - 2 \Rightarrow x^2 + 3x \leq 0 \Rightarrow x \in [-3;0]$
    Объединение: $x \in [-3;4]$
    Ответ: $[-3;4]$

  11. Произведение вещественных корней уравнения $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$:
    Замена $y = x^2$: $y^2 - 3y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4$ (корни $\pm2$) и $y = -1$ (нет вещественных корней)
    Произведение: $2 \cdot (-2) = -4$
    Ответ: -4

  12. Уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$ имеет два различных корня при:
    $D = 16 - 4a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < 4 \Rightarrow a \in (-2;0) \cup (0;2)$
    Ответ: $a \in (-2;0) \cup (0;2)$

  13. Уравнение $\frac{(x-t)(x-2t)}{x-1} = 0$ имеет два корня при:
    $t \neq 2t$ (т.е. $t \neq 0$) и $t \neq 1$, $2t \neq 1$
    Ответ: $t \neq 0$, $t \neq \frac{1}{2}$

  14. Уравнение $x^{1024} + 1 = \frac{1}{2 + x^{318}}$ анализируется:
    Левая часть $\geq 1$, правая $\leq \frac{1}{2}$. Решений нет.
    Ответ: нет решений

  15. Уравнения прямых: $y = -\frac{1}{2}x + 2$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$
    Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 2$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$

  16. Меньшее основание трапеции:
    Высота равна меньшему основанию $a$. Площадь: $\frac{a + (a + a)}{2} \cdot a = 54 \Rightarrow a = 6$ см
    Ответ: 6 см

  17. Вторая диагональ ромба:
    Половины диагоналей: $6$ и $d/2$. По теореме Пифагора: $6^2 + (d/2)^2 = 10^2 \Rightarrow d = 16$
    Ответ: 16

  18. Угол между высотами:
    В равнобедренном треугольнике угол между высотами равен $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$
    Ответ: $110^\circ$

  19. Отрезки диагонали $AC$:
    Точка пересечения делит диагональ в отношении $1:2$. Отрезки: $6$ см и $12$ см
    Ответ: 6 см и 12 см

  20. Катет $BC$:
    $BC = AC \cdot \tan\alpha = m \tan\alpha$
    Ответ: $m \tan\alpha$
Материалы школы Юайти