Лицей №239 из 8 в 9 класс 2010 год (вариант 1)
СкачатьПечать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2010 год
Вариант 1- Вычислите: $5379^{2}-5378 \cdot 5380$
- Разложите на множители: $3 x^{2}-11 x y-4 y^{2}$
- Сократите дробь: $\frac{x^{3}+5 x^{2}+3 x-9}{x^{2}+6 x+9}$
- Найдите значение выражения: $\sqrt{27+10 \sqrt{2}}-\sqrt{2}$
- Решите уравнение: $\left(x^{2}-x+1\right)\left(2 x^{2}-2 x+1\right)=10$
- Решите уравнение: $\left|x^{2}-10\right|=6$
- Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}-16 y^{2}+x+4 y=0 \\ 3 x-4 y=16 \end{array}\right. $$
- Решите неравенство: $\frac{(x-1)^{2}\left(x^{2}-x-2\right)}{x^{2}+3 x+2} \geq 0$
- Постройте график функции $y=\frac{x^{2}-x-20}{x-5}$
- Решите уравнение: $$ 2 x^{2}+3 x-17=2(2-\sqrt{7})^{2}+3(2-\sqrt{7})-17 $$
- Определите, при каких значениях параметра а уравнение $a x^{2}-(2 a+6) x+3 a+3=0$ имеет единственное решение.
- Из $A$ в $B$ одновременно выехали 2 автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/час, а вторую половину пути - со скоростью на 16 км/час больше скорости первого, в результате чего прибыл в $B$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
- В треугольнике $A B C$ углы $A$ и $B$ равны соответственно $48^{\circ}$ и $76^{\circ}$. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины $C$.
- На стороне $A B$ параллелограмма $A B C D$ отметили точку М. Площадь треугольника MCD равна 38 см $^{2}$. Найдите площадь параллелограмма.
- Расстояние от вершины квадрата до середины стороны, не содержащей эту вершину, равно 3 см. Найдите площадь квадрата.
- В прямоугольный треугольник вписана окружность, которая точкой касания делит гипотенузу на 2 части - 2 см и 3 см. Найдите радиус окружности.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите: $5379^{2}-5378 \cdot 5380$
Решение:
$5379^{2} - 5378 \cdot 5380 = 5379^{2} - (5379 - 1)(5379 + 1) = 5379^{2} - (5379^{2} - 1) = 1$
Ответ: 1. - Разложите на множители: $3 x^{2}-11 x y-4 y^{2}$
Решение:
$3x^{2} - 11xy - 4y^{2} = 3x^{2} - 12xy + xy - 4y^{2} = 3x(x - 4y) + y(x - 4y) = (3x + y)(x - 4y)$
Ответ: $(3x + y)(x - 4y)$. - Сократите дробь: $\frac{x^{3}+5 x^{2}+3 x-9}{x^{2}+6 x+9}$
Решение:
Числитель: $x^{3} + 5x^{2} + 3x - 9 = (x + 3)^{2}(x - 1)$
Знаменатель: $x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}$
Сокращаем: $\frac{(x + 3)^{2}(x - 1)}{(x + 3)^{2}} = x - 1$
Ответ: $x - 1$. - Найдите значение выражения: $\sqrt{27+10 \sqrt{2}}-\sqrt{2}$
Решение:
$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = 5 + \sqrt{2}$, тогда выражение равно $(5 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 5$
Ответ: 5. - Решите уравнение: $\left(x^{2}-x+1\right)\left(2 x^{2}-2 x+1\right)=10$
Решение:
Замена $t = x^{2} - x$:
$(t + 1)(2t + 1) = 10 \Rightarrow 2t^{2} + 3t - 9 = 0$
Корни: $t = 1.5$ и $t = -3$ (второй не подходит)
Возвращаемся к $x$: $2x^{2} - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$
Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$. - Решите уравнение: $\left|x^{2}-10\right|=6$
Решение:
$x^{2} - 10 = \pm 6 \Rightarrow x^{2} = 16$ или $x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 4$, $x = \pm 2$
Ответ: $\pm 4$, $\pm 2$. - Решите систему уравнений:
\left\{\begin{array}{l} $x^{2}-16 y^{2}+x+4 y=0$ \\ $3 x-4 y=16$ \end{array}\right.
Решение:
Из второго уравнения: $y = \frac{3x - 16}{4}$
Подставляем в первое уравнение:
$x^{2} - 16\left(\frac{3x - 16}{4}\right)^{2} + x + 4 \cdot \frac{3x - 16}{4} = 0$
После упрощений: $x = 4$ или $x = \frac{17}{2}$
Ответ: $(4; -1)$, $\left(\frac{17}{2}; \frac{19}{8}\right)$. - Решите неравенство: $\frac{(x-1)^{2}\left(x^{2}-x-2\right)}{x^{2}+3 x+2} \geq 0$
Решение:
После разложения и сокращения:
$\frac{(x - 1)^{2}(x - 2)}{x + 2} \geq 0$, $x \neq -1$
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup \{1\} \cup [2; +\infty)$. - Постройте график функции $y=\frac{x^{2}-x-20}{x-5}$
Решение:
Упрощаем: $y = x + 4$ при $x \neq 5$ (выколотая точка при $x = 5$)
Ответ: Прямая $y = x + 4$ с выколотой точкой $(5; 9)$. - Решите уравнение:
$2 x^{2}+3 x-17=2(2-\sqrt{7})^{2}+3(2-\sqrt{7})-17$
Решение:
Правая часть равна левой при $x = 2 - \sqrt{7}$. Проверка показывает, что других корней нет.
Ответ: $x = 2 - \sqrt{7}$. - Определите, при каких значениях параметра а уравнение $a x^{2}-(2 a+6) x+3 a+3=0$ имеет единственное решение.
Решение:
При $a = 0$ линейное уравнение. При $a \neq 0$ дискриминант равен нулю:
$D = (2a + 6)^{2} - 4a(3a + 3) = 0 \Rightarrow a = 3$ или $a = -1.5$
Ответ: $a = 0$, $3$, $-1.5$. - Найдите скорость первого автомобиля.
Решение:
Пусть скорость первого $v$, расстояние $S$:
$\frac{S}{v} = \frac{S}{2 \cdot 24} + \frac{S}{2(v + 16)}$
После упрощений: $v = 32$ км/ч
Ответ: 32 км/ч. - Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины $C$.
Решение:
Угол $C = 56^{\circ}$. Биссектриса делит его на $28^{\circ}$, высота образует $14^{\circ}$ с катетом. Разность: $14^{\circ}$
Ответ: $14^{\circ}$. - Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Площадь треугольника $MCD$ равна половине площади параллелограмма. Ответ: $76$ см². - Найдите площадь квадрата.
Решение:
Сторона квадрата $a$, расстояние от вершины до середины противоположной стороны: $\frac{a\sqrt{5}}{2} = 3 \Rightarrow a = \frac{6}{\sqrt{5}}$, площадь $a^{2} = \frac{36}{5} = 7.2$ см².
Ответ: $7.2$ см². - Найдите радиус окружности.
Решение:
Радиус $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a = r + 3$, $b = r + 2$, $c = 5$. Решая уравнение, получаем $r = 1$ см.
Ответ: $1$ см.
Материалы школы Юайти