Лицей №239 из 8 в 9 класс 2009 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2009 год

1. Упростить: $\frac{x}{a}-\frac{x^{2}-a^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a}{x+a}$
2. Комната с размерами 4 метра и 6 метров составляет $75 \%$ от всей квартиры. Найдите площадь квартиры.
3. Решить неравенство: $|2 x-7|<x$.
4. Вычислить: $\frac{1}{\sqrt{7+4 \sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{7-4 \sqrt{3}}}$
5. Вычислить $3 x^{2}-2 x-1$ при $x=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$
6. Решить неравенство: $\frac{x^{2}-3}{x+2} \geq-6$.
7. При каких значениях $x$ выполняется равенство $\sqrt{x^{2}-4 x+3}=\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{3-x}$ ?
8. Найдите наименьшее значение выражения $2 x^{2}+4 x y+4 y^{2}+3$
9. Построить график $y=1-|x-2|$.
10. При каких значениях $t$ неравенство $\frac{\sqrt{x-t}}{(x-2) \cdot(x-3)}<0$ не имеет решений?
11. Решить уравнение: $\frac{4 x+8}{x^{2}-4}+2 x+5=0$
12. Число $n$ при делении на 5 даѐт в остатке 4. Найти остаток от деления числа $(4 n+3)$ на 5.
13. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине еѐ можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй?
14. При каких значениях $a$ уравнение $(a-1) x^{2}+2 a x+4=0$ имеет два различных корня?
15. Периметр параллелограмма равен 18 см, а одна из его высот в два раза больше другой. Найти стороны.
16. Сумма внутренних углов многоугольника в 2 раза больше суммы внутренних углов квадрата. Найти число сторон многоугольника
17. В треугольнике $A B C$ на стороне $A C$ взяли точку $M$ и провели прямую, параллельную $A B$, которая пересекла сторону $B C$ в точке $N$. Найти отношение площади треугольника $M C N$ к площади трапеции $A M N B$, если $A M: M C=2: 3$.
18. Периметр прямоугольника 34 см, а диагональ 13 см. Найти стороны прямоугольника
19. Найти уравнение прямой проходящей через точку $\mathrm{A}(2 ; 3)$ и отсекающую на осях координат равные по длине отрезки.
20. В прямоугольной трапеции основания 2 см и 6 см. Меньшая боковая сторона равна 3 см. Найти косинус острого угла.

Решения задач

1. Упростить: $\frac{x}{a}-\frac{x^{2}-a^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a}{x+a}$
   Решение:
   $\frac{x}{a} - \frac{(x^2 - a^2)}{a^2} \cdot \frac{a}{x + a} = \frac{x}{a} - \frac{(x - a)(x + a)}{a^2} \cdot \frac{a}{x + a} = \frac{x}{a} - \frac{x - a}{a} = \frac{x - (x - a)}{a} = \frac{a}{a} = 1$
   Ответ: 1.
2. Комната с размерами 4 метра и 6 метров составляет $75 \%$ от всей квартиры. Найдите площадь квартиры.
   Решение: Площадь комнаты $4 \cdot 6 = 24$ м². Это 75% от площади квартиры:
   $24 : 0,75 = 32$ м².
   Ответ: 32 м².
3. Решить неравенство: $|2 x-7|<x$
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1. $2x - 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3,5$:
   $2x - 7 < x \Rightarrow x < 7$. Итог: $3,5 \leq x < 7$.
   2. $2x - 7 < 0 \Rightarrow x < 3,5$:
   $-(2x - 7) < x \Rightarrow 7 \frac{7}{3}$. Итог: $\frac{7}{3} < x < 3,5$.
   Объединение решений: $\frac{7}{3} < x < 7$.
   Ответ: $\left(\frac{7}{3}; 7\right)$.
4. Вычислить: $\frac{1}{\sqrt{7+4 \sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{7-4 \sqrt{3}}}$
   Решение: Упростим выражения под корнями:
   $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$; $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
   Тогда сумма:
   $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4}{1} = 4$.
   Ответ: 4.
5. Вычислить $3 x^{2}-2 x-1$ при $x=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$
   Решение: Подставим $x$:
   $3\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{3}\right) - 1 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3} - \frac{2 - 2\sqrt{2}}{3} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
   Ответ: $-\frac{2}{3}$.
6. Решить неравенство: $\frac{x^{2}-3}{x+2} \geq-6$
   Решение: Преобразуем неравенство:
   $\frac{x^2 - 3 + 6(x + 2)}{x + 2} \geq 0 \Rightarrow \frac{(x + 3)^2}{x + 2} \geq 0$.
   Решение: $x > -2$ (кроме $x = -3$, где числитель равен нулю, но знаменатель отрицательный).
   Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.
7. При каких значениях $x$ выполняется равенство $\sqrt{x^{2}-4 x+3}=\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{3-x}$?
   Решение: ОДЗ: $x \leq 1$. Возведем в квадрат:
   $x^2 - 4x + 3 = (1 - x)(3 - x) \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = x^2 - 4x + 3$. Тождество верно при всех $x \leq 1$.
   Ответ: $x \leq 1$.
8. Найдите наименьшее значение выражения $2 x^{2}+4 x y+4 y^{2}+3$
   Решение: Преобразуем выражение:
   $2x^2 + 4xy + 4y^2 + 3 = 2(x + y)^2 + 2y^2 + 3$. Минимум достигается при $x = 0$, $y = 0$ и равен 3.
   Ответ: 3.
9. Число $n$ при делении на 5 даѐт в остатке 4. Найти остаток от деления числа $(4 n+3)$ на 5.
   Решение: $n = 5k + 4$. Тогда:
   $4n + 3 = 4(5k + 4) + 3 = 20k + 19 \Rightarrow 19 \mod 5 = 4$.
   Ответ: 4.
10. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине еѐ можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй?
    Решение: Пусть первая машина делает работу за $t$ минут, тогда вторая за $t + 15$:
    $\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 15} = \frac{1}{10}$. Решая уравнение, получим $t = 15$ минут, вторая машина — 30 минут.
    Ответ: 15 и 30 минут.
11. При каких значениях $a$ уравнение $(a-1) x^{2}+2 a x+4=0$ имеет два различных корня?
    Решение: Условия: $a \neq 1$ и дискриминант $D = 4a^2 - 16(a - 1) = 4(a - 2)^2 > 0 \Rightarrow a \neq 2$.
    Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$.
12. Периметр параллелограмма равен 18 см, а одна из его высот в два раза больше другой. Найти стороны.
    Решение: Пусть стороны $a$ и $b$, высоты $h$ и $2h$. Из равенства площадей: $a \cdot h = b \cdot 2h \Rightarrow a = 2b$. Периметр: $2(a + b) = 18 \Rightarrow 3b = 9 \Rightarrow b = 3$ см, $a = 6$ см.
    Ответ: 6 см и 3 см.
13. Сумма внутренних углов многоугольника в 2 раза больше суммы внутренних углов квадрата. Найти число сторон многоугольника
    Решение: Сумма углов квадрата: $360^\circ$. Сумма углов многоугольника: $720^\circ$. Формула: $180(n - 2) = 720 \Rightarrow n = 6$.
    Ответ: 6.
14. В треугольнике $A B C$ на стороне $A C$ взяли точку $M$ и провели прямую, параллельную $A B$, которая пересекла сторону $B C$ в точке $N$. Найти отношение площади треугольника $M C N$ к площади трапеции $A M N B$, если $A M: M C=2: 3$.
    Решение: Коэффициент подобия треугольников $MCN$ и $ABC$: $\frac{3}{5}$. Площадь $MCN = \left(\frac{3}{5}\right)^2 S_{ABC} = \frac{9}{25}S$. Площадь трапеции: $S_{ABC} - S_{MCN} = \frac{16}{25}S$. Отношение: $\frac{9}{16}$.
    Ответ: $\frac{9}{16}$.
15. Периметр прямоугольника 34 см, а диагональ 13 см. Найти стороны прямоугольника
    Решение: Система уравнений:
    $2(a + b) = 34 \Rightarrow a + b = 17$;
    $a^2 + b^2 = 169$. Решая, получим $a = 12$ см, $b = 5$ см.
    Ответ: 12 см и 5 см.
16. Найти уравнение прямой проходящей через точку $\mathrm{A}(2 ; 3)$ и отсекающую на осях координат равные по длине отрезки.
    Решение: Уравнение в отрезках: $x + y = a$. Подставляя точку $A$: $2 + 3 = a \Rightarrow a = 5$. Уравнение: $x + y = 5$.
    Ответ: $x + y = 5$.
17. В прямоугольной трапеции основания 2 см и 6 см. Меньшая боковая сторона равна 3 см. Найти косинус острого угла.
    Решение: Проекция большей боковой стороны на основание: $6 - 2 = 4$ см. Длина боковой стороны: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см. Косинус угла: $\frac{4}{5}$.
    Ответ: $\frac{4}{5}$.